При температуре $0^{\circ} C$ рельс имеет длину $l_0 = 10$ м При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^{\circ}) = l_0 (1+\alpha t^{\circ})$ , где $a = 1,2 \cdot 10^{-5} (^{\circ}C)^{-1}$ - коэффициент теплового расширения, $t^{\circ}$ - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Компания продает свою продукцию по цене p = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi (q) = q\cdot (p-v) - f$. Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300 000 руб.

Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \big( \frac{v^2}{L} - g \big)$, где m – масса воды в килограммах, v – скорость движения ведерка в м/с, L – длина веревки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \text{м/}c^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\frac{1}{100} \text{м}^{-1}$, $b = 1$ – постоянные параметры x (м) – смещение камня по горизонтали y (м) – высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением закону $T(t) = T_0 + bt +at^2$, где t – время в минутах, $T_0 = 1400K, \; a = -10K / \text{мин}^2, \; b = 200 K/ \text{мин}$.

Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_0 = 20 \text{м} / c$ начал торможение с постоянным ускорением $a = 5 \text{м} / c^2$. За t секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \frac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 8$ кг, радиуса $R = 10$ см и двух боковых с массами $M = 1$ кг и с радиусами $R + h$. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг $\cdot \text{см}^2$ , даётся формулой: $I = \frac{(m +2M)R^2}{2} + M(2Rh + h^2)$.

При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения $625$ кг $\cdot \text{см}^2$? Ответ выразите в сантиметрах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 30 $ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 440 $ Гц . Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f(v) = \frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где c – скорость в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 315 \text{м/с}$. Ответ выразите в м/с.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1 = 90$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$ Ом и $R_2$ Ом их общее сопротивление дается формулой $R_{\text{общ}} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в Омах.

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой $m_{\text{в}}$ (в килограммах) от температуры $t_1$ до температуры $t_2$ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы $m_{др}$ (кг) кг. Он определяется формулой $\eta = \frac{c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}} (t_2 - t_1)}{q_{\text{др}} \cdot m_{\text{др}}} \cdot 100\% $, где $c_{\text{в}} = 4,2 \cdot 10^3 (\frac{\text{Дж}}{кг} \cdot K)$ – теплоёмкость воды $q_{\text{др}} = 8,3 \cdot 10^6 $ Дж/кг – удельная теплота сгорания дров.

Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть $m_{\text{в}} = 83$ кг воды от 10°C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ в килограммах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле:

$v = c\frac{f - f_0}{f + f_0}, \; \text{где} \; c = 1500 \text{м/с}$ – скорость звука в воде, $f_0$ – частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ – частота отраженного от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 2 м/с.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t², где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. Насколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q = 100 – 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r (p) = q ∙ p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r (p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём выраженная в метрах, меняется по закону H (t) = at² + bt + H₀, где H₀ = 4 м — начальный уровень воды, а = $\frac{1}{100}$ м/мин² и b = –$\frac{2}{5}$ м/мин² ― постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону φ = ωt + $\frac{\beta t^2}{2}$, где t ― время в минутах, ω = 20°/мин ― начальная угловая скорость вращения катушки, β = 4°/мин ― угловое ускорение, с которым наматывается кабель.

Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 1200°. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I = $\frac{\varepsilon}{R + r}$, где ɛ

— ЭДС источника (в вольтах), r = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I_кз = $\frac{\varepsilon}{r}$? (Ответ выразите в Омах).

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле A_ω = $\frac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}$, где w ― частота вынуждающей силы ( в с^-1), А₀ ― постоянный параметр, ω_p = 360 c^-1 ― резонансная частота. Найдите максимальную частоту w, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A₀ не более чем на 12,5%. Ответ выразите в c^-1.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η = $\frac{T_1 - T_2}{T_1}$ ∙ 100%, где T₁ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T₂ — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T₁ КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника Т₂ = 340К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f₀ = 150 Гц и определяется следующим выражением: f = f₀ $\frac{c + u}{c-v}$(Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), u = 10 м/с и ʋ = 15 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 160 Гц.

Автомобиль, масса которого равна m = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остается неизменным, и проходит за это время путь S = 500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно F = $\frac{2mS}{t^2}$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400Н. Ответ в секундах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:

$F_{a} = \rho gl^3$, где l – длина ребра куба в метрах $\rho = 1000 \text{кг/}\text{м}^3$ – плотность воды g – ускорение свободного падения (считайте $g = 9,8 \text{Н/кг}$).

Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: F_a = αpgr³, где α = 4,2 ― постоянная, r ― радиус аппарата в метрах, p = 1000 кг/м³ ― плотность воды, g ― ускорение свободного падения (считайте g = 10 H/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ запишите в метрах.