9. Базовая математика Читать 0 мин.

9.58. Делимость

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

Если числа делится на b, то пишут $ a\; \vdots \;b $

Пример.

$ 95\; \vdots \;5\;\; так\;как\;\;95\;=\;5\; \cdot \;19 $

Свойства делимости

Если a делится на b, то для любого числа k число ka делится на b. $ a\; \vdots \;b\rightarrow ak\; \vdots \;b $
Если a делится на c и b делится на c, то сумма, разность и произведение чисел a и b делится на c. $ \begin{cases} a\; \vdots \;c \\ b\; \vdots \;c \end{cases}\rightarrow \begin{bmatrix}(a + b)\; \vdots \;c\\(a - b)\; \vdots \;c\\(a \cdot b)\; \vdots \;c\\ \end{bmatrix} $
Если a делится на b и b делится на c, то a делится c. $ \begin{cases} a\; \vdots \;b \\ b\; \vdots \;c \end{cases}\rightarrow a\; \vdots \;c $
Если a делится на b и c делится на d, то ac делится bd. $ \begin{cases} a\; \vdots \;b \\ c\; \vdots \;d \end{cases}\rightarrow ac\; \vdots \;bd $

Простые и составные числа

Число p $ \rho\geq2 $ называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.

Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Пример.

Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.

Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признаки делимости

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2 (последняя цифра – четная).

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 4.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры числа делятся на 8.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 25.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Пример 1.

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2.

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11.

Деление с остатком

Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия: $$ \begin{cases}a = bc + d\\0 \leq d <|b|\end{cases} $$

От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.

Пример 1.

19 : 7 = 2 (ост. 5)

19 = 7 ∙ 2 + 5

Пример 2.

22 : (-3) = -7 (ост. 1).

22 = -3 ∙ (-7) + 1

Пример 3.

-22 : 3 = -8 (ост. 2)

-22 = 3 ∙ (-8) + 2

Теоремы:

1) Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.

Пример.

$ \begin{cases} 15\; \div \;2=7(ост.1) \\ 16\; \div \;2=8(ост.0) \end{cases}\rightarrow (15+16)\div \;2=15(ост.1)\;(1+0)\div \;2=0(ост.1) $

2) Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.

Пример.

$ \begin{cases} 13\; \div \;3=4(ост.1) \\ 20\; \div \;3=6(ост.2) \end{cases}\rightarrow (13\cdot 20)\div \;3=86(ост.2)\;(1\cdot 2)\div \;3=0(ост.2) $

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно