В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \frac{g}{2}k^2t^2$, где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана $H_0 = 20$ м – начальная высота столба воды $k = \frac{1}{50}$ – отношение площадей поперечных сечений крана и бака g – ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \text{м}/c^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону l = l₀$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$_, где l₀ = 5м — длина покоящейся ракеты, с = 3 ∙ 10⁵ км/с — скорость света, ʋ — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону $m(t) = m_02^{-t/T}$, где $m_0$ – начальная масса изотопа, t (мин) – прошедшее от начального момента время, а T – период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени $m_0 = 40$ мг изотопа Z, период полураспада которого $T = 10$ мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^{a} = const$, где p (Па) – давление в газе, V – объем газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее чем в 4 раза.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = const, где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k = $\frac{5}{3}$) из начального состояния, в котором const = 10⁵ Па ∙ м³, газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 3,2 ∙ 10⁶ Па. Ответ выразите в кубических метрах.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением pV^1,4 = const, где p (атм.) — давление в газе, V — объем газа в литрах. Изначально объём газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: P = δST⁴, где δ = 5,7 ∙ 10^-8 ― постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = $\frac{1}{16}$ ∙ 10²⁰ м², а излучаемая ею мощность P не менее 9,12 ∙ 10²⁵ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени ϑ = 3 моля воздуха объемом V₁ = 8 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражение A = αϑTlog₂$\frac{V_1}{V_2}$ (Дж), где α = 5,75 постоянная T = 300K — температура воздуха. Какой объём V₂ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж.