О.Д.З. : $\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq 6 \end{cases}$;

Сделаем замену y = $\displaystyle\sqrt[3]{\displaystyle\frac{12-2x}{x-1}}$;

$\displaystyle\frac{1}{y}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x-1}{12-2x}}$

Получим уравнение: y + $\displaystyle\frac{1}{y}$ = $\displaystyle\frac{5}{2}$ ⇒

$\displaystyle\frac{2y^2 - 5y + 2}{y}$ = 0 ⇒

$\begin{cases} y \neq 0 \\ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \neq 0 \\ \begin{cases} y = 2 \\ y = 0,5 \end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2 \\ y = 0,5 \end{cases} \Rightarrow $

Вернемся к замене:

1) $\displaystyle\sqrt[3]{\displaystyle\frac{12-2x}{x-1}}$ = 2;

$\displaystyle\frac{12-2x}{x-1}$ = 8;

$\displaystyle\frac{20-10x}{x-1}$ = 0;

x₁ = 2.

2) y = $\displaystyle\frac{1}{2}$ ⇒

$\displaystyle\frac{12 - 2x}{x - 1} =\displaystyle\frac{1}{8} \\ x_2 =\displaystyle\frac{97}{17}$

Область допустимых значений:

$\begin{cases} 20 - 2x \geq 0, \\ 2x - 15 \geq 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2x \geq -20, \\ 2x \geq 15, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 10, \\ x \geq 7,5, \end{cases} \Rightarrow $

7,5 < x < 10.

Преобразуем уравнение: $\sqrt{20 - 2x} = 1 + \sqrt{2x - 15}$. Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$(\sqrt{20-2x})^2 = (1 + \sqrt{2x - 15})^2; \\ 20 -2x = 1 + 2\sqrt{2x - 15} + 2x - 15; \\ 2\displaystyle\sqrt{2x-15} = 34-4x; \\ \displaystyle\sqrt{2x - 15} = 17 - 2x;$

Полученное уравнение равносильно смешанной системе:

$\begin{cases} 7,5 \leq x \leq 10 , \\ 17 - 2x \geq 0, \\ (\sqrt{2x-15})^2 = (17 - 2x)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7,5 \leq x \leq 10 , \\ x \leq 8,5 \\ 2x - 15 = 289 - 68x + 4x^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7,5 \leq x \leq 8,5 , \\ 2x^2 - 35x + 152 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7,5 \leq x \leq 8,5 , \\ x_1 = 8, x_2 = 9,5. \end{cases} $

x = 8.

Область допустимых значений переменной: x ≠ 0 или x ϵ (–∞; 0) U (0; ∞).

Преобразуем уравнение. Внесем переменную x под корень:

$2\cdot\sqrt[3]{x^3\cdot x} - 3\cdot\sqrt[3]{x^3\cdot\displaystyle\frac{1}{x}} -20 = 0 \\ 2\sqrt[3]{x^4} - 3\sqrt[3]{x^2} - 20 = 0$

Пусть $\sqrt[3]{x^2}$ = y, y > 0 $\sqrt[3]{x^4}$ = y² получим смешанную систему:

$\begin{cases} y > 0, \\ 2y^2 - 3y - 20 = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0, \\ y =\displaystyle\frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0, \\ \begin{cases} y = -2,5, \\ y = 4, \end{cases} \end{cases} \Rightarrow $

y = 4.

Выполним обратную подстановку:

$\sqrt[3]{x^2}$ = 4 ⇒

($\sqrt[3]{x^2}$)³ = 4³ ⇒

x² = 64, x_1,2 = ±8.

Пусть $\sqrt{x^2 -5x + 20}$ = y, y ≥ 0 ⇒

тогда ($\sqrt{x^2 -5x + 20}$ )² = y²;

x² – 5x + 20 = y²;

x² – 5x = y² – 20.

Получим систему:

$\begin{cases} y \geq 0, \\ y^2 - 20 +16 -3y = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \geq 0 , \\ y^2 -3y -4 = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \geq 0, \\ y_1 = -1, y_2 = 4 \end{cases} \Rightarrow $

y = 4.

x² – 5x + 20 = 16 ⇒

x² – 5x + 4 = 0 ⇒

x₁ = 1, x₂ = 4.