Мой прогресс

13. Уравнения

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Иррациональные уравнения

7 заданий
№1

Решите уравнение

$\displaystyle\sqrt[3]{\displaystyle\frac{12-2x}{x-1}} + \sqrt[3]{\displaystyle\frac{x - 1}{12 - 2x}} =\displaystyle\frac{5}{2}$

ответ

О.Д.З. : $\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq 6 \end{cases}$;

Сделаем замену y = $\displaystyle\sqrt[3]{\displaystyle\frac{12-2x}{x-1}}$;

$\displaystyle\frac{1}{y}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x-1}{12-2x}}$

Получим уравнение: y + $\displaystyle\frac{1}{y}$ = $\displaystyle\frac{5}{2}$ ⇒

$\displaystyle\frac{2y^2 - 5y + 2}{y}$ = 0 ⇒

$\begin{cases} y \neq 0 \\ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \neq 0 \\ \begin{cases} y = 2 \\ y = 0,5 \end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2 \\ y = 0,5 \end{cases} \Rightarrow $

 

 

Вернемся к замене:

1) $\displaystyle\sqrt[3]{\displaystyle\frac{12-2x}{x-1}}$ = 2;

$\displaystyle\frac{12-2x}{x-1}$ = 8;

$\displaystyle\frac{20-10x}{x-1}$ = 0;

x1 = 2.

2) y = $\displaystyle\frac{1}{2}$ ⇒

$\displaystyle\frac{12 - 2x}{x - 1} =\displaystyle\frac{1}{8} \\ x_2 =\displaystyle\frac{97}{17}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

Решите уравнение $\displaystyle\sqrt{20 - 2x} - \displaystyle\sqrt{2x -15} = 1$

ответ

Область допустимых значений:

$\begin{cases} 20 - 2x \geq 0, \\ 2x - 15 \geq 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2x \geq -20, \\ 2x \geq 15, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 10, \\ x \geq 7,5, \end{cases} \Rightarrow $

7,5 < x < 10.

Преобразуем уравнение: $\sqrt{20 - 2x} = 1 + \sqrt{2x - 15}$. Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$(\sqrt{20-2x})^2 = (1 + \sqrt{2x - 15})^2; \\ 20 -2x = 1 + 2\sqrt{2x - 15} + 2x - 15; \\ 2\displaystyle\sqrt{2x-15} = 34-4x; \\ \displaystyle\sqrt{2x - 15} = 17 - 2x;$

Полученное уравнение равносильно смешанной системе:

$\begin{cases} 7,5 \leq x \leq 10 , \\ 17 - 2x \geq 0, \\ (\sqrt{2x-15})^2 = (17 - 2x)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7,5 \leq x \leq 10 , \\ x \leq 8,5 \\ 2x - 15 = 289 - 68x + 4x^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7,5 \leq x \leq 8,5 , \\ 2x^2 - 35x + 152 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7,5 \leq x \leq 8,5 , \\ x_1 = 8, x_2 = 9,5. \end{cases} $

x = 8.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

Решите уравнение $\sqrt{4x - 3} + \sqrt{5x + 1} = \sqrt{15x + 4}$

ответ

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

Решите уравнение $2x\cdot\sqrt[3]{x} - 3x\cdot\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{x}} = 20$

ответ

Область допустимых значений переменной: x ≠ 0 или x ϵ (–∞; 0) U (0; ∞).

Преобразуем уравнение. Внесем переменную x под корень:

$2\cdot\sqrt[3]{x^3\cdot x} - 3\cdot\sqrt[3]{x^3\cdot\displaystyle\frac{1}{x}} -20 = 0 \\ 2\sqrt[3]{x^4} - 3\sqrt[3]{x^2} - 20 = 0$

Пусть $\sqrt[3]{x^2}$ = y, y > 0 $\sqrt[3]{x^4}$ = y2 получим смешанную систему:

$\begin{cases} y > 0, \\ 2y^2 - 3y - 20 = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0, \\ y =\displaystyle\frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0, \\ \begin{cases} y = -2,5, \\ y = 4, \end{cases} \end{cases} \Rightarrow $

y = 4.

Выполним обратную подстановку:

$\sqrt[3]{x^2}$ = 4 ⇒

($\sqrt[3]{x^2}$)3 = 43

x2 = 64, x1,2 = ±8.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

Решите уравнение $x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 -5x + 20} = 0$

ответ

Пусть $\sqrt{x^2 -5x + 20}$ = y, y ≥ 0 ⇒

тогда ($\sqrt{x^2 -5x + 20}$ )2 = y2;

x2 – 5x + 20 = y2;

x2 – 5x = y2 – 20.

Получим систему:

$\begin{cases} y \geq 0, \\ y^2 - 20 +16 -3y = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \geq 0 , \\ y^2 -3y -4 = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y \geq 0, \\ y_1 = -1, y_2 = 4 \end{cases} \Rightarrow $

y = 4.

x2 – 5x + 20 = 16 ⇒

x2 – 5x + 4 = 0 ⇒

x1 = 1, x2 = 4.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

Решите уравнение $\sqrt{2x+2} - \sqrt{3x - 2} = 1$.

ответ

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№7

Решите уравнение $\sqrt{3x + 7} - \sqrt{4 - x}= \sqrt{x +6} $ .

ответ

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно