Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin²7x = 1 – cos²7x, получим уравнение:

4 – 5cos7x – 2(1 – cos²7x) = 0;

2cos²7x – 5cos7x + 2 = 0.

Пусть cos7x = y, |y| ≤ 1, приходим к системе:

$\begin{cases} 2y^2 - 5y + 2 = 0; \\ |y| \leq 1. \end{cases} \begin{cases} \begin{cases} y_1 = \frac{1}{2}; \\ y_2 = 2; \end{cases} \\ |y| \leq 1. \end{cases}$

y = $\displaystyle\frac{1}{2}$;

cos7x = $\displaystyle\frac{1}{2}$;

7x = ± arccos$\displaystyle\frac{1}{2}$ + 2πn, n ϵ Z $\Rightarrow$ x = ± $\displaystyle\frac{\pi}{21}$ + $\displaystyle\frac{2}{7}$ πn, n ϵ Z.

Пусть $\sin x = t, -1\leq t \leq 1.$ Тогда $t^2 - \displaystyle\frac{1}{2}(12 -\sqrt{2})t - 3\sqrt{2} = 0 \\ D = \displaystyle\frac{1}{4}(12-\sqrt{2})^2 + 12\sqrt{2} = \frac{1}{4}(144 - 24\sqrt{2} + 2) + 12\sqrt{2} = 36 - 6\sqrt{2} +\frac{1}{2} + 12\sqrt{2} \\ \displaystyle 36 +6\sqrt{2} + \frac{1}{2} = (6 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 \\ t = \displaystyle\frac{6 - \frac{1}{\sqrt{2}} \pm (6 + \frac{1}{\sqrt{2}})}{2} \\ \begin{cases} t = 6 > 1, \text{не подходит} \\ t = -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \\ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \begin{cases} x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z \\ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z \end{cases}$

Преобразуем уравнение, используя формулы: cos2x = 1 – 2sin²x. Тогда уравнение примет вид:

1 – 2sin²x + 6sinx – 5 = 0

2sin²x – 6sinx + 4 = 0

sin²x – 3sinx + 2 = 0.

Положим sinx = y получим:

$\begin{cases} y^2 - 3y + 2 = 0 \\ |y| \leq 1, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} y_1 = 1, \\ y_2 = 2, \end{cases} \\ |y| \leq 1, \end{cases}$

y = 1.

Отсюда находим: sinx = 1;

x = $\frac{\pi}{2}$ + 2πn, n ϵ Z.

Преобразуем уравнение, применив формулу для косинуса двойного угла: cos10x = 1 – 2sin²5x.

Получим уравнение:

7sin5x + 4 = 1 – 2sin²5x;

2sin²5x + 7sin5x + 3 = 0.

Пусть sin5x = y, |y| ≤ 1, тогда:

$\begin{cases} 2y^2 + 7y + 3 = 0; \\ |y| \leq 1 \end{cases} \begin{cases} \begin{cases} y_1 = -3; \\ y_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \\ |y| \leq 1 \end{cases}$

$y = -\frac{1}{2}; \\ \sin 5x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \\ 5x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad 5x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n\in Z; \\ x = -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{5}, n \in Z.$

Перенесем все слагаемые в левую сторону и применим формулу для синуса двойного угла:

$\sin 2x - \sin x + 2\cos x - 1 = 0 \\ 2\sin x\cos x -\sin x +2\cos x - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем повторяющиеся элементы:

$(2\sin x \cos x - \sin x) + (2\cos x - 1) = 0 \\ \sin x (2\cos x - 1) + (2\cos x - 1) = 0 \\ (2\cos x - 1)(\sin x + 1) = 0$

Произведение равно 0, если хотя бы 1 слагаемое равно 0.

$\begin{cases} 2\cos x - 1 = 0 \\ \sin x + 1 = 0 \end{cases} \begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \\ \sin x = -1 \end{cases} \begin{cases} x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \\ x = -\frac{\pi}{2} +2\pi k, k\in Z \end{cases}$.

Перенесем все слагаемые в левую сторону и применим формулу для синуса двойного угла:

$2\sin x\cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x -\sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем повторяющиеся элементы:

$(2\sin x\cos x + 2\sin x) + (-\sqrt{3}\cos x - \sqrt{3}) = 0 \\ 2\sin x (\cos x + 1) - \sqrt{3} (\cos x +1 ) = 0 \\ (2\sin x - \sqrt{3})(\cos x + 1) = 0$

Произведение равно 0, если хотя бы 1 слагаемое равно 0.

$\begin{cases} \cos x + 1 = 0 \\ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \end{cases} \begin{cases} \cos x = -1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \begin{cases} x = \pi + 2\pi k, k \in Z \\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \end{cases}$

Преобразуем уравнение. Применим формулы понижения степени: 1 – cos2x = 2sin²x и 1 + cos2x = 2cos²x.

Уравнение примет вид:

2sin2x · cosx = 4sin²x · cos²x;

2sin2x · cosx = (2sinx · cosx)²;

2sinx2x · cosx = sin²2x;

2sin2x · cosx – sin² 2x = 0;

sin2x · (2cosx – sin2x) = 0;

sin2x · (2cosx – 2sinx · cosx) = 0;

2sin2x · cosx · (1 – sinx) = 0;

sin2x · cosx · (1 – sinx) = 0.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

$\begin{cases} \sin 2x = 0, \\ \cos x = 0, \\ 1 -\sin x = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \pi n, n \in Z \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z, \\ \sin x = 1, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \pi n, n \in Z \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z, \\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} n, n \in Z \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z, \\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z, \end{cases} $

Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.

Объединим два последних решения в одно:

$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πm,

k = 2m – это значит, что при четных значениях k из множества корней x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z получаются корни x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πm, m ϵ Z, значит, x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z являются общими решениями двух последних решений.

Далее, найдем общие решения x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z и x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z;

$\displaystyle\frac{\pi}{2}$n = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, n = 2k + 1, т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z получаются корни x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z, следовательно, x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ n, n ϵ Z – являются общими решениями трех полученных результатов.

Пусть $\cos x = t , -1 \leq t \leq 1$, тогда уравнение примет вид:

$t^3 - 6t^2 + 11 t - 6 = 0$

Подберем корень уравнения, перебирая делители свободного члена. С помощью подстановки убеждаемся, что $t=1$ подходит. Разделим левую часть на $t - 1$.

$\begin{matrix} t^3 - 6t^2 + \;\; 11t - 6 \; \; \; \vert t-1 \qquad\quad\; \\ \underline{t^3 \;\; - t^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert t^2 - 5t + 6} \\ - 5t^2 \;\; + 11t \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\; \\ \underline{- 5t^2 +5t \qquad\;} \qquad\quad\;\;\; \\ 6t - 6 \quad \\ \underline{ 6t - 6} \quad \\ \quad\; 0 \end{matrix}$

Разложим на множители $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)$.

Получим, что: $(t - 1)(t - 2)(t-3) = 0$

Что равносильно совокупности:

$\begin{cases} t = 1, \\ t = 2 > 1, \text{не подходит} \\ t = 3 > 1, \text{не подходит} \end{cases} \\ \cos x = 1 \\ x = 2\pi k, k \in Z$

Преобразуем выражения, используя формулы приведения и правило лошади:

$ctg (\frac{\pi}{2} + x) = \left[ \begin{array}{ccc} tg x \\ - \\ \end{array} \right] = -tg x \\ ctg(\frac{\pi}{2} - x) = \left[ \begin{array}{ccc} tg x \\ + \\ \end{array} \right] = tg x \\ tg (\pi + x) = \left[ \begin{array}{ccc} tg x \\ + \\ \end{array} \right] = tg x \\ tg(2\pi + x) = tg x $

Получим, что $2 tg^4 x + tg^3 x - tg^2 x - 34 tg x + 32 = 0$

Пусть $tg x = t$, тогда уравнение примет вид:

$2t^4 + t^3 - t^2 -34t + 32 = 0$

Подберем корень уравнения, перебирая делители свободного члена. С помощью подстановки убеждаемся, что $t=2$ подходит. Разделим левую часть на $t-2$ .

$\begin{matrix} 2t^4 + t^3 - t^2 - \;\; 34t + 32 \qquad\qquad\;\;\;\;\;\; \vert t-2 \qquad \qquad\qquad \\ \underline{2t^4 - 4t^3 \;\;\quad \quad \quad } \quad \qquad\quad \qquad\quad\quad \quad \overline{\vert 2t^3 + 5t^2 + 9t - 16} \\ 5t^3 - t^2 \;\; -34t + 32 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\;\;\;\;\;\;\; \\ \underline{5t^3 -10t^2 \qquad\; \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 9t^2 - 34t + 32 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \underline{ 9t^2 - 18t} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ -16t + 32 \quad \quad \quad \quad\quad \quad\\ \underline{ -16t+32} \quad \quad\quad \quad \end{matrix}$

Рассмотрим 2t³ + 5t² + 9t – 16 = 0. С помощью подстановки убеждаемся, что t = 1 корень уравнения. Разделим левую часть на t ‒ 1.

$\begin{matrix} 2t^3 + 5t^2 + \;\; 9t - 16 \; \; \; \vert t-1 \qquad\quad\; \\ \underline{2t^3 \;\; - 2t^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert 2t^2 + 7t + 16} \\ 7t^2 \;\; + 9t -16 \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\; \\ \underline{7t^2 -7t \qquad\;} \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 16t - 16 \quad \\ \underline{ 16t -1 6} \quad \\ \quad\; 0 \end{matrix}$

Дискриминант уравнения $2t^2 +7t + 16 = 0$ меньше 0, значит, данное уравнение корней не имеет. Поэтому имеем следующую совокупность:

$\begin{cases} x = arctg 2 + \pi k, k \in Z \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z \end{cases}$

Область допустимых значений:

sin2x ≠ 0 $\Rightarrow$

2x ≠ πn $\Rightarrow$

x ≠ $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z.

Преобразуем уравнение:

cos3x – sin2x = 0 $\Rightarrow$ sin $\displaystyle(\frac{\pi}{2} -3x)$ – sin2x = 0 $\Rightarrow$

2sin$\displaystyle\frac{\frac{\pi}{2} - 3x -2x}{2}$ · cos$\displaystyle\frac{\frac{\pi}{2} - 3x +2x}{2}$ = 0 $\Rightarrow$ sin$\displaystyle(\frac{\pi}{2} - \frac{5}{2}x)$ · cos$\displaystyle(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})$ = 0 $\Rightarrow$

$\begin{cases} \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{5}{2}x) = 0 \\ \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{\pi}{4} - \frac{5}{2}x = \pi \cdot k, k \in Z \\ \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi\cdot m, m \in Z, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\frac{5}{2}x = - \frac{\pi}{4} + \pi\cdot k, k \in Z , \\ -\frac{x}{2} = \frac{x}{4} + \pi \cdot m, m \in Z \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{10} +\frac{2}{5} \pi \cdot k, k \in Z, \\ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot m, m \in Z \end{cases} $

Из области допустимых значений x ≠ $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ n, n ϵ Z следует, что:

$\displaystyle\frac{\pi}{2}n \neq - \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot m \\ m \neq \displaystyle\frac{n + 1}{4}$

Получаем, что любое m можно выразить через n и, значит, второе множество x = –$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πm не входит в область допустимых значений.

Проверим первое множество значений:

При x = $\displaystyle\frac{\pi}{10}$ + $\displaystyle\frac{2}{5}$πk получим:

$\displaystyle\frac{\pi}{10}$ + $\displaystyle\frac{2}{5}$πk ≠ $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n; k, n ϵ Z $\Rightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{10}$ + $\displaystyle\frac{2}{5}$k ≠ $\displaystyle\frac{1}{2}$n $\Rightarrow$

4k ≠ 5n – 1 $\Rightarrow$

k ≠ $\displaystyle\frac{5n - 1}{4}$.

Совершенно очевидно, что найдутся целые значения n, при которых k будет равняться полученной дроби. Эти значения должны быть исключены из множества решений.

Преобразуем уравнение:

sin⁴x + 2sin²x · cos²x + cos⁴x – 2sin² · xcos²x = $\displaystyle\frac{5}{8}$;

Соберем полный квадрат:

(sin²x + cos²x)² – $\displaystyle\frac{1}{2}$ · 4sin²x · cos²x = $\displaystyle\frac{5}{8}$;

Учтем, что sin²x + cos²x=1.

1 – $\displaystyle\frac{1}{2}$ · 4sin²x · cos²x = $\displaystyle\frac{5}{8}$;

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

–$\displaystyle\frac{1}{2}$sin² 2x = $\displaystyle\frac{5}{8}$ – 1;

sin² 2x = $\displaystyle\frac{3}{4}$.

Получим совокупность уравнений:

$\begin{cases} \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = (-1)^k\cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi\cdot k, k \in Z, \\ 2x = (-1)^m \cdot \frac{\pi}{3} + \pi\cdot m, m \in Z, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = (-1)^k\cdot (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{2}\cdot k, k \in Z, \\ x = (-1)^m \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\cdot m, m \in Z, \end{cases}$

x = ± $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z.

Преобразуем уравнение, разложив правую часть по формуле суммы кубов:

(sin²x + cos²x) · (sin⁴x – sin²x · cos²x + cos⁴x) = sin2x;

Учтем, что sin²x + cos²x = 1, получим:

sin⁴x – sin²x · cos²x + cos⁴x = sin2x

Добавим и вычтем 3sin²x · cos²x, чтобы еще раз собрать полный квадрат:

sin⁴x – sin²x · cos²x + 3sin²x · cos²x - 3sin²x · cos²x + cos⁴x = sin2x, тогда:

(sin⁴x + 2sin²x·cos²x + cos⁴x) – 3sin²x · cos²x – sin2x = 0;

Свернем квадрат и применим формулу синуса суммы:

(sin²x + cos²x)² – $\displaystyle\frac{3}{4}$sin²2x – sin2x = 0;

–$\displaystyle\frac{3}{4}$sin²2x – sin2x + 1 = 0;

3sin²2x + 4sin2x – 4 = 0.

Пусть sin2x = y, |y| ≤ 1, получим:

$\begin{cases} 3y^2 + 4y - 4 = 0; \\ |y| \leq 1 . \end{cases} \\ \begin{cases} \begin{cases} y_1 = -2; \\ y_2 = \frac{2}{3} \end{cases} \\ |y| \leq 1 . \end{cases}$

y = $\displaystyle\frac{2}{3}$.

sin2x = $\displaystyle\frac{2}{3} \Rightarrow $ 2x = (–1)ⁿarcsin $\displaystyle\frac{2}{3}$ + πn, n ϵ Z $ \Rightarrow $ x = (–1)ⁿ $\displaystyle\frac{1}{2}$ arcsin$\displaystyle\frac{2}{3}$ + $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ n, n ϵ Z.