13. Уравнения

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Тригонометрические уравнения

12 заданий
№1

Решите уравнение:

4 – 5cos7x – 2sin27x = 0

ответ

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin27x = 1 – cos27x, получим уравнение:

4 – 5cos7x – 2(1 – cos27x) = 0;

2cos27x – 5cos7x + 2 = 0.

Пусть cos7x = y, |y| ≤ 1, приходим к системе:

$\begin{cases} 2y^2 - 5y + 2 = 0; \\ |y| \leq 1. \end{cases} \begin{cases} \begin{cases} y_1 = \frac{1}{2}; \\ y_2 = 2; \end{cases} \\ |y| \leq 1. \end{cases}$

y = $\displaystyle\frac{1}{2}$;

cos7x = $\displaystyle\frac{1}{2}$;

7x = ± arccos$\displaystyle\frac{1}{2}$ + 2πn, n ϵ Z $\Rightarrow$ x = ± $\displaystyle\frac{\pi}{21}$ + $\displaystyle\frac{2}{7}$ πn, n ϵ Z.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

Решите уравнение:

$\sin^2 x -\displaystyle\frac{1}{2} (12 -\sqrt{2})\sin x - 3\sqrt{2} = 0$

ответ

Пусть $\sin x = t, -1\leq t \leq 1.$ Тогда $t^2 - \displaystyle\frac{1}{2}(12 -\sqrt{2})t - 3\sqrt{2} = 0 \\ D = \displaystyle\frac{1}{4}(12-\sqrt{2})^2 + 12\sqrt{2} = \frac{1}{4}(144 - 24\sqrt{2} + 2) + 12\sqrt{2} = 36 - 6\sqrt{2} +\frac{1}{2} + 12\sqrt{2} \\ \displaystyle 36 +6\sqrt{2} + \frac{1}{2} = (6 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 \\ t = \displaystyle\frac{6 - \frac{1}{\sqrt{2}} \pm (6 + \frac{1}{\sqrt{2}})}{2} \\ \begin{cases} t = 6 > 1, \text{не подходит} \\ t = -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \\ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \begin{cases} x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z \\ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z \end{cases}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

Решите уравнение:

$\cos 2x + 6\sin x - 5 = 0$

ответ

Преобразуем уравнение, используя формулы: cos2x = 1 – 2sin2x. Тогда уравнение примет вид:

1 – 2sin2x + 6sinx – 5 = 0

2sin2x – 6sinx + 4 = 0

sin2x – 3sinx + 2 = 0.

Положим sinx = y получим:

$\begin{cases} y^2 - 3y + 2 = 0 \\ |y| \leq 1, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} y_1 = 1, \\ y_2 = 2, \end{cases} \\ |y| \leq 1, \end{cases}$

y = 1.

Отсюда находим: sinx = 1;

x = $\frac{\pi}{2}$ + 2πn, n ϵ Z.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

Решите уравнение:

7sin5x + 4 = cos10x

ответ

Преобразуем уравнение, применив формулу для косинуса двойного угла: cos10x = 1 – 2sin25x.

Получим уравнение:

7sin5x + 4 = 1 – 2sin25x;

2sin25x + 7sin5x + 3 = 0.

Пусть sin5x = y, |y| ≤ 1, тогда:

$\begin{cases} 2y^2 + 7y + 3 = 0; \\ |y| \leq 1 \end{cases} \begin{cases} \begin{cases} y_1 = -3; \\ y_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \\ |y| \leq 1 \end{cases}$

$y = -\frac{1}{2}; \\ \sin 5x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \\ 5x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad 5x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n\in Z; \\ x = -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{5}, n \in Z.$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

Решите уравнение:

$\sin 2x = \sin x - 2\cos x + 1$

ответ

Перенесем все слагаемые в левую сторону и применим формулу для синуса двойного угла:

$\sin 2x - \sin x + 2\cos x - 1 = 0 \\ 2\sin x\cos x -\sin x +2\cos x - 1 = 0$

 

Сгруппируем слагаемые и вынесем повторяющиеся элементы:

$(2\sin x \cos x - \sin x) + (2\cos x - 1) = 0 \\ \sin x (2\cos x - 1) + (2\cos x - 1) = 0 \\ (2\cos x - 1)(\sin x + 1) = 0$

Произведение равно 0, если хотя бы 1 слагаемое равно 0.

$\begin{cases} 2\cos x - 1 = 0 \\ \sin x + 1 = 0 \end{cases} \begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \\ \sin x = -1 \end{cases} \begin{cases} x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \\ x = -\frac{\pi}{2} +2\pi k, k\in Z \end{cases}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

Решите уравнение:

$\sin 2x + 2\sin x = \sqrt{3}\cos x +\sqrt{3}$

ответ

Перенесем все слагаемые в левую сторону и применим формулу для синуса двойного угла:

$2\sin x\cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x -\sqrt{3} = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем повторяющиеся элементы:

$(2\sin x\cos x + 2\sin x) + (-\sqrt{3}\cos x - \sqrt{3}) = 0 \\ 2\sin x (\cos x + 1) - \sqrt{3} (\cos x +1 ) = 0 \\ (2\sin x - \sqrt{3})(\cos x + 1) = 0$

Произведение равно 0, если хотя бы 1 слагаемое равно 0.

$\begin{cases} \cos x + 1 = 0 \\ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \end{cases} \begin{cases} \cos x = -1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \begin{cases} x = \pi + 2\pi k, k \in Z \\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \end{cases}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№7

Решите уравнение:

$2\sin 2x \cos x = (1 - \cos 2x)(1 + \cos 2x)$

ответ

Преобразуем уравнение. Применим формулы понижения степени: 1 – cos2x = 2sin2x и 1 + cos2x = 2cos2x.

Уравнение примет вид:

2sin2x · cosx = 4sin2x · cos2x;

2sin2x · cosx = (2sinx · cosx)2;

2sinx2x · cosx = sin22x;

2sin2x · cosx – sin2 2x = 0;

sin2x · (2cosx – sin2x) = 0;

sin2x · (2cosx – 2sinx · cosx) = 0;

2sin2x · cosx · (1 – sinx) = 0;

sin2x · cosx · (1 – sinx) = 0.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

$\begin{cases} \sin 2x = 0, \\ \cos x = 0, \\ 1 -\sin x = 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \pi n, n \in Z \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z, \\ \sin x = 1, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x = \pi n, n \in Z \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z, \\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} n, n \in Z \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z, \\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z, \end{cases} $

Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.

Объединим два последних решения в одно:

$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πm,

k = 2m – это значит, что при четных значениях k из множества корней x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z получаются корни x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πm, m ϵ Z, значит, x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z являются общими решениями двух последних решений.

Далее, найдем общие решения x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z и x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z;

$\displaystyle\frac{\pi}{2}$n = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, n = 2k + 1, т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z получаются корни x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ Z, следовательно, x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ n, n ϵ Z – являются общими решениями трех полученных результатов.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№8

Решите уравнение:

$\cos^3 x - 6\cos^2 x + 11\cos x - 6 = 0$

ответ

Пусть $\cos x = t , -1 \leq t \leq 1$, тогда уравнение примет вид:

$t^3 - 6t^2 + 11 t - 6 = 0$

Подберем корень уравнения, перебирая делители свободного члена. С помощью подстановки убеждаемся, что $t=1$ подходит. Разделим левую часть на $t - 1$.

$\begin{matrix} t^3 - 6t^2 + \;\; 11t - 6 \; \; \; \vert t-1 \qquad\quad\; \\ \underline{t^3 \;\; - t^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert t^2 - 5t + 6} \\ - 5t^2 \;\; + 11t \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\; \\ \underline{- 5t^2 +5t \qquad\;} \qquad\quad\;\;\; \\ 6t - 6 \quad \\ \underline{ 6t - 6} \quad \\ \quad\; 0 \end{matrix}$

Разложим на множители $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)$.

Получим, что: $(t - 1)(t - 2)(t-3) = 0$

Что равносильно совокупности:

$\begin{cases} t = 1, \\ t = 2 > 1, \text{не подходит} \\ t = 3 > 1, \text{не подходит} \end{cases} \\ \cos x = 1 \\ x = 2\pi k, k \in Z$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№9

Решите уравнение:

$\displaystyle2 ctg^4(\frac{\pi}{2} + x) + ctg ^3 (\frac{\pi}{2} - x) - tg^2 (\pi + x) - 34 tg (2\pi + x) + 32 = 0$

ответ

Преобразуем выражения, используя формулы приведения и правило лошади:

$ctg (\frac{\pi}{2} + x) = \left[ \begin{array}{ccc} tg x \\ - \\ \end{array} \right] = -tg x \\ ctg(\frac{\pi}{2} - x) = \left[ \begin{array}{ccc} tg x \\ + \\ \end{array} \right] = tg x \\ tg (\pi + x) = \left[ \begin{array}{ccc} tg x \\ + \\ \end{array} \right] = tg x \\ tg(2\pi + x) = tg x $

Получим, что $2 tg^4 x + tg^3 x - tg^2 x - 34 tg x + 32 = 0$

Пусть $tg x = t$, тогда уравнение примет вид:

$2t^4 + t^3 - t^2 -34t + 32 = 0$

Подберем корень уравнения, перебирая делители свободного члена. С помощью подстановки убеждаемся, что $t=2$ подходит. Разделим левую часть на $t-2$ .

$\begin{matrix} 2t^4 + t^3 - t^2 - \;\; 34t + 32 \qquad\qquad\;\;\;\;\;\; \vert t-2 \qquad \qquad\qquad \\ \underline{2t^4 - 4t^3 \;\;\quad \quad \quad } \quad \qquad\quad \qquad\quad\quad \quad \overline{\vert 2t^3 + 5t^2 + 9t - 16} \\ 5t^3 - t^2 \;\; -34t + 32 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\;\;\;\;\;\;\; \\ \underline{5t^3 -10t^2 \qquad\; \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 9t^2 - 34t + 32 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \underline{ 9t^2 - 18t} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ -16t + 32 \quad \quad \quad \quad\quad \quad\\ \underline{ -16t+32} \quad \quad\quad \quad \end{matrix}$

Рассмотрим 2t3 + 5t2 + 9t – 16 = 0. С помощью подстановки убеждаемся, что t = 1 корень уравнения. Разделим левую часть на t ‒ 1.

$\begin{matrix} 2t^3 + 5t^2 + \;\; 9t - 16 \; \; \; \vert t-1 \qquad\quad\; \\ \underline{2t^3 \;\; - 2t^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert 2t^2 + 7t + 16} \\ 7t^2 \;\; + 9t -16 \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\; \\ \underline{7t^2 -7t \qquad\;} \qquad\quad\;\;\;\;\;\;\;\; \\ 16t - 16 \quad \\ \underline{ 16t -1 6} \quad \\ \quad\; 0 \end{matrix}$

Дискриминант уравнения $2t^2 +7t + 16 = 0$ меньше 0, значит, данное уравнение корней не имеет. Поэтому имеем следующую совокупность:

$\begin{cases} x = arctg 2 + \pi k, k \in Z \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z \end{cases}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№10

Решите уравнение:

$\displaystyle\frac{\cos 3x}{\sin 2x} = 1$

ответ

Область допустимых значений:

sin2x ≠ 0 $\Rightarrow$

2x ≠ πn $\Rightarrow$

x ≠ $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z.

Преобразуем уравнение:

cos3x – sin2x = 0 $\Rightarrow$ sin $\displaystyle(\frac{\pi}{2} -3x)$ – sin2x = 0 $\Rightarrow$

2sin$\displaystyle\frac{\frac{\pi}{2} - 3x -2x}{2}$ · cos$\displaystyle\frac{\frac{\pi}{2} - 3x +2x}{2}$ = 0 $\Rightarrow$ sin$\displaystyle(\frac{\pi}{2} - \frac{5}{2}x)$ · cos$\displaystyle(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})$ = 0 $\Rightarrow$

$\begin{cases} \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{5}{2}x) = 0 \\ \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{\pi}{4} - \frac{5}{2}x = \pi \cdot k, k \in Z \\ \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi\cdot m, m \in Z, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\frac{5}{2}x = - \frac{\pi}{4} + \pi\cdot k, k \in Z , \\ -\frac{x}{2} = \frac{x}{4} + \pi \cdot m, m \in Z \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{10} +\frac{2}{5} \pi \cdot k, k \in Z, \\ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot m, m \in Z \end{cases} $

Из области допустимых значений x ≠ $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ n, n ϵ Z следует, что:

$\displaystyle\frac{\pi}{2}n \neq - \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot m \\ m \neq \displaystyle\frac{n + 1}{4}$

 

Получаем, что любое m можно выразить через n и, значит, второе множество x = –$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πm не входит в область допустимых значений.

Проверим первое множество значений:

При x = $\displaystyle\frac{\pi}{10}$ + $\displaystyle\frac{2}{5}$πk получим:

$\displaystyle\frac{\pi}{10}$ + $\displaystyle\frac{2}{5}$πk ≠ $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n; k, n ϵ Z $\Rightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{10}$ + $\displaystyle\frac{2}{5}$k ≠ $\displaystyle\frac{1}{2}$n $\Rightarrow$

4k ≠ 5n – 1 $\Rightarrow$

k ≠ $\displaystyle\frac{5n - 1}{4}$.

Совершенно очевидно, что найдутся целые значения n, при которых k будет равняться полученной дроби. Эти значения должны быть исключены из множества решений.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№11

Решите уравнение:

$\sin^4 x + \cos^4 x = \displaystyle\frac{5}{8}$

ответ

Преобразуем уравнение:

sin4x + 2sin2x · cos2x + cos4x – 2sin2 · xcos2x = $\displaystyle\frac{5}{8}$;

Соберем полный квадрат:

(sin2x + cos2x)2 – $\displaystyle\frac{1}{2}$ · 4sin2x · cos2x = $\displaystyle\frac{5}{8}$;

Учтем, что sin2x + cos2x=1.

1 – $\displaystyle\frac{1}{2}$ · 4sin2x · cos2x = $\displaystyle\frac{5}{8}$;

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

–$\displaystyle\frac{1}{2}$sin2 2x = $\displaystyle\frac{5}{8}$ – 1;

sin2 2x = $\displaystyle\frac{3}{4}$.

Получим совокупность уравнений:

$\begin{cases} \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = (-1)^k\cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi\cdot k, k \in Z, \\ 2x = (-1)^m \cdot \frac{\pi}{3} + \pi\cdot m, m \in Z, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = (-1)^k\cdot (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{2}\cdot k, k \in Z, \\ x = (-1)^m \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\cdot m, m \in Z, \end{cases}$

x = ± $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ Z.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№12

Решите уравнение:

sin6x + cos6x = sin2x

ответ

Преобразуем уравнение, разложив правую часть по формуле суммы кубов:

(sin2x + cos2x) · (sin4x – sin2x · cos2x + cos4x) = sin2x;

Учтем, что sin2x + cos2x = 1, получим:

sin4x – sin2x · cos2x + cos4x = sin2x

Добавим и вычтем 3sin2x · cos2x, чтобы еще раз собрать полный квадрат:

sin4x – sin2x · cos2x + 3sin2x · cos2x - 3sin2x · cos2x + cos4x = sin2x, тогда:

(sin4x + 2sin2x·cos2x + cos4x) – 3sin2x · cos2x – sin2x = 0;

Свернем квадрат и применим формулу синуса суммы:

(sin2x + cos2x)2 – $\displaystyle\frac{3}{4}$sin22x – sin2x = 0;

–$\displaystyle\frac{3}{4}$sin22x – sin2x + 1 = 0;

3sin22x + 4sin2x – 4 = 0.

Пусть sin2x = y, |y| ≤ 1, получим:

$\begin{cases} 3y^2 + 4y - 4 = 0; \\ |y| \leq 1 . \end{cases} \\ \begin{cases} \begin{cases} y_1 = -2; \\ y_2 = \frac{2}{3} \end{cases} \\ |y| \leq 1 . \end{cases}$

y = $\displaystyle\frac{2}{3}$.

sin2x = $\displaystyle\frac{2}{3} \Rightarrow $ 2x = (–1)narcsin $\displaystyle\frac{2}{3}$ + πn, n ϵ Z $ \Rightarrow $ x = (–1)n $\displaystyle\frac{1}{2}$ arcsin$\displaystyle\frac{2}{3}$ + $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ n, n ϵ Z.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно