Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

(1) $\begin{cases}x < 0, \\ \displaystyle\frac{2x^2 - 6}{-x-1} = -x +3, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x < 0, x \neq -1 \\ 2x^2 - 6= (x + 1)(x - 3), \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 0, x \neq -1 \\ 2x^2 - 6 = x^2 - 2x - 3 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 0, x \neq -1 \\ x^2 + 2x - 3 =0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 0, x \neq -1 \\ \begin{gathered} x = -3 \\ x = 1, \end{gathered} \end{cases} \Leftrightarrow $ x = −3.

(2) $\begin{cases}x \geq 0, \\ \displaystyle\frac{2x^2 - 6}{x-1} = x +3, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0, x \neq -1 \\ 2x^2 - 6= (x - 1)(x + 3), \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0, x \neq -1 \\ 2x^2 - 6 = x^2 + 2x - 3 , \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 0, x \neq -1 \\ x^2 - 2x - 3 =0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0, x \neq -1 \\ \begin{cases} x = 3 \\ x = -1, \end{cases} \end{cases} \Leftrightarrow $ x = 3.

Найдем значения x, при которых каждый из модулей обращается в нуль (0 и 1) и отложим их на числовой прямой:

Получим три промежутка, на каждом из которых решим уравнение:

(1) $\begin{cases} x < 0, \\ -x-x+1=1, \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x < 0, \\ -2x= 0, \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x < 0, \\ x = 0, \end{cases}$ — решений нет;

(2) $\begin{cases} 0\leq x \leq 1, \\ x-x+1=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0\leq x \leq 1, \\ 1 = 1, \end{cases}$ 0 ≤ x <1;

(3) $\begin{cases} x \geq 1, \\ x+x-1=1, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1, \\ 2x = 2, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1, \\ x = 1, \end{cases} $ x = 1.

Объединяя решения второй и третьей систем, получим: 0 ≤ x ≤ 1.

Найдем значения x, при которых x² − 5x + 6 ≥ 0. Разложим трехчлен на множители и решим полученное неравенство методом промежутков:

x² − 5x + 6 ≥ 0, (x – 3) · (x – 2) ≥ 0

Решением неравенства является объединение промежутков: (−∞; 2] $\cup$ [3; ∞) или x ≤ 2, x ≥ 3.

Решим данное уравнение, учитывая, что x² − 5x + 6 ≥ 0. Для этого воспользуемся определением абсолютной величины, получим совокупность двух смешанных систем:

(1) $\begin{cases} x \leq 2, \; x \geq 3 , \\ 5x -x^2 - 6 = x^2 - 5x + 6 \end{cases}$ и (2) $\begin{cases} x \leq 2, \; x \geq 3 , \\ 5x -x^2 - 6 = -x^2 + 5x - 6 \end{cases}$.

Решим каждую из этих систем:

(1) $\begin{cases} x \leq 2, \; x \geq 3 , \\ 5x -x^2 - 6 = x^2 - 5x + 6 \end{cases}$, $\begin{cases} x \leq 2, \; x \geq 3 , \\ 2x^2 - 10x +12 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \leq 2, \; x \geq 3 , \\ x^2-5x + 6 = 0 \end{cases}$, x₁ = 2, x₂ = 3.

(2) $\begin{cases} x \leq 2, \; x \geq 3 , \\ 5x -x^2 - 6 = -x^2 + 5x - 6 \end{cases}$, $\begin{cases} x \leq 2, \; x \geq 3 , \\ 0 = 0 \end{cases}$.

Решения первой системы входят в решения второй, значит, решением уравнения является множество: (−∞; 2] $\cup$ [3; ∞).

Воспользуемся известным тождеством (x + 1)² = │x + 1│², получим уравнение │x+1│² + │x + 1│ − 2 = 0.

Пусть │x + 1│ = t, t ≥ 0, получим систему:

$\begin{cases} t \geq 0, \\ t^2 +t - 2 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t \geq 0, \\ \begin{cases} t = -2, \Rightarrow t = 1 \\ t = 1\end{cases} \end{cases}$ , │x + 1│ = 1 $\Leftrightarrow \begin{cases} x +1 = -1, \\ x + 1 = 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \\ x = 0\end{cases}$

Найдем значения x, при которых каждый из модулей обращается в нуль, и отложим эти значения на числовой прямой:

Получим три промежутка, на каждом из которых решим уравнение. Получим три системы:

(1) $\begin{cases} x < -1, \\ -x +3 -2x -2 = 4, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < -1, \\ -3x = 3, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < -1, \\ x = -1, \end{cases}$ — решений нет.

(2) $\begin{cases} -1 \leq x < 3, \\ -x + 3 +2x + 2 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -1 \leq x < 3, \\ x = -1 \end{cases} \Rightarrow$ x = −1.

(3) $\begin{cases} x \geq 3, \\ x - 3 + 2x + 2= 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 3, \\ 3x =5; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 3, \\ x = \frac{5}{3}\end{cases}$ — решений нет.