Область допустимых значений — множество всех действительных чисел, так как при всех x ϵ R, 2 · 3^-x + 5 > 0.

Преобразуем уравнение: log₃(2 · 3^-x + 5) = x − 1.

По определению логарифма имеем 2 · $\displaystyle\frac{1}{3^x}$ + 5 = $\displaystyle\frac{3^x}{3}$. Получим показательное уравнение, которое решим методом приведения к алгебраическому.

Пусть 3^x = y, y > 0, получим уравнение 2 · $\displaystyle\frac{1}{y}$ + 5 − $\displaystyle\frac{y}{3}$ = 0

−y² + 15y + 6 = 0 $\Rightarrow$

y² − 15y – 6 = 0 $\Rightarrow$

D = 225 + 24 = 249;

$\begin{cases} y_1 = \displaystyle\frac{15 - \sqrt{249}}{2} \\ y_2 = \displaystyle\frac{15 + \sqrt{249}}{2}\end{cases}$;

y₁ = $\displaystyle\frac{15 - \sqrt{249}}{2}$ — не удовлетворяет условию y > 0 и является посторонним.

3^x = $\displaystyle\frac{15 + \sqrt{249}}{2} \Rightarrow$

x = log₃$(\displaystyle\frac{15 + \sqrt{249}}{2})$.

Область допустимых значений:

$\begin{cases} x^4 + x^2 - 2x - 3> 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1\end{cases}$

По определению логарифма имеем x⁴ + x² – 2x – 3 = x⁴;

x² – 2x – 3 = 0;

x₁ = −1;

x₂ = 3.

Проверим, входят ли полученные значения в область допустимых значений.

При x₁ = −1, получим $\begin{cases} 1+1+2-3 >0 \\ -1 > 0 \\ -1 \neq 1 \end{cases}$ система не выполняется, значит, x₁ = −1 не является корнем уравнения.

При x₂ = 3, получим $\begin{cases} 81+9-6-3>0 \\ 3 > 0, \qquad 3 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow$

$\begin{cases} 81 > 0 \\ 3 > 0, 3\neq 1 \end{cases} \Rightarrow$ система выполняется, значит, x₂ = 3 является корнем уравнения.

Область допустимых значений:

$\begin{cases} x^2 +2x + 1>0, \\ x + 3> 0, \\ x + 1> 0,\\ x + 1\neq 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x+1)^2>0, \\ x > -3, \\ x > -1, \\ x \neq 0\end{cases} \Leftrightarrow $

$\Rightarrow$ (−1; 0) U (0; ∞).

Преобразуем уравнение:

$\displaystyle\frac{log_{x+1}(x + 1)^2}{log_{x+1}(x+1)^{-1}}$ + log_x+1(x + 3) = 0 $\Rightarrow$

$\displaystyle\frac{2}{-1}$ + log_x+1(x + 3) = 0;

log_x+1(x + 3) = 2 $\Rightarrow$

x + 3 = x² + 2x + 1 $\Rightarrow$

x² + x – 2 = 0 $\Rightarrow \begin{cases} x_1 = -2 \\ x_2 = 1 \end{cases}$

x₁ = −2 не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

x₂ = 1 входит в область допустимых значений.

Область допустимых значений: $\begin{cases} x > 0, \\ log_{2} x > 0, \\ log_3 log_2 x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ log_2 x > log_2 1 \\ log_3 log_2 x > log_3 1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \\ log_2 x > 1 \end{cases} \Rightarrow =\begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \\ log_2 x > log_2 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0, \\ x > 1, \\ x>2 , \\ \end{cases} \Rightarrow $

x > 2 $\Rightarrow$ x ϵ (2; ∞)

По определению логарифма, имеем: $log_3 log_2 x = 4^{\displaystyle\frac{1}{2}} \Rightarrow$ log₃log₂x = 2 $\Rightarrow$ log₂x = 9 $\Rightarrow$ x = 2⁹ =512 входит в область допустимых значений, 2⁹ ϵ (0; ∞).

Область допустимых значений: $\begin{cases} 2x - 1 > 0, \; 2x - 1\neq 1 \\\displaystyle\frac{x^4 + 2}{2x + 1} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x >\displaystyle\frac{1}{2}, x \neq 1, \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x >\displaystyle\frac{1}{2}, x \neq 1, \\ x > -\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases} $

Получим объединение промежутков: $(\displaystyle\frac{1}{2}; 1)$ U (1; ∞).

По определению логарифма, имеем:

$\displaystyle\frac{x^4 + 2}{2x + 1}= 2x – 1 \Rightarrow$ x⁴ – 4x² + 3 = 0 $\Rightarrow \begin{cases} x^2 = 1, \\ x^2 = 3 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1 = -1, \\ x_2 = 1 \\ x_3 = -\sqrt{3} \\ x_4 = \sqrt{3} \end{cases}$

x₁ = −1, x₂ = 1, x₃ = −√3 не входят в область допустимых значений и являются посторонними корнями. Остается один корень: x =√3.

Область допустимых значений: $\begin{cases} 3^x >\displaystyle\frac{9}{4} \\ 3^{2x} > 6\end{cases}$

Показательная и логарифмическая функции с основанием 3 являются возрастающими, тогда получим:

$\begin{cases} x > log_3\displaystyle\frac{9}{4} \\ 2x > log_3 6 \end{cases}$

$\begin{cases} x > log_3\displaystyle\frac{9}{4} \\ x >\displaystyle\frac{1}{2}log_3 6 \end{cases}$

$\begin{cases} x > log_3\displaystyle\frac{9}{4} \\ x > log_3 \sqrt{6}\end{cases}$

$\ x > log_3 √6 $

$\ x ϵ (log_3 √6; ∞). $

Преобразуем уравнение:

$\ log_2 (4 · 3^x – 9) = 1 + log_2 (9^x – 6) $

$\ log_2 (4 · 3^x – 9) = log_2 2 + log_2 (9^x – 6) $

$\ log_2 (4 · 3^x – 9) = log_2 2 (9^x – 6) $

$\ 4 · 3^x – 9 = 2(9^x – 6) $

$\ 4 · 3^x – 9 – 2 · 3^{2x} + 12 = 0 $

$\ 2 · 3^{2x} – 4 · 3^x – 3 = 0. $

Положим $\ 3^x = y, y > 0, $ получим систему:

$\begin{cases} y>0 , \\ 2y^2 - 4y - 3 = 0\end{cases} \Rightarrow$

$\begin{cases}y > 0 \\ \begin{cases} y_1 = \displaystyle\frac{2 - \sqrt{10}}{2} \\ y_2 = \displaystyle\frac{2 + \sqrt{10}}{2}\end{cases}\end{cases}$

$\ y = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}; $

$\ 3^x = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}. $

$\ x = log_{3} \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ — этот корень входит в область допустимых значений. 

Проверка.

При $\ x = log_{3} \frac{2 + \sqrt{10}}{2} $ уравнение примет вид:

$\log_{2} (4\cdot 3^{\displaystyle\log_{3}\displaystyle\frac{2 + \sqrt{10}}{2}} - 9) - \log_{2}(9^{{\displaystyle\log_{3}\displaystyle\frac{2 + \sqrt{10}}{2}}} - 6) = 1 \Rightarrow \log_{2} (4 + 2\sqrt{10} - 9) -\log{2}(\displaystyle (\displaystyle\frac{2+\sqrt{10}}{2})^2 - 6) = 1 \Rightarrow \log_{2} (2\sqrt{10} - 5) - \log_{2} (\displaystyle\frac{4 + 4\sqrt{10} +10}{4} - 6) = 1 \Rightarrow \log_{2}(2\sqrt{10} -5) - \log_{2}(\displaystyle\frac{2\sqrt{10}-5}{2} ) = 1 \Rightarrow \log_{2}((2\sqrt{10} - 5) : \displaystyle\frac{2\sqrt{10}-5}{2}) = 1 \Rightarrow \log_{2} (\displaystyle\frac{2\cdot (2\sqrt{10} - 5)}{2\sqrt{10} - 5}) = 1 \Rightarrow\log_{2} 2 = 1 \Rightarrow 1 = 1 $ Значит, $x = \displaystyle\log_{3}\displaystyle\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ удовлетворяет решению

Область допустимых значений: $\begin{cases} 3x - 2 > 0, \\ x+ 2 > 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x >\displaystyle\frac{2}{3} \\ x > -2, \end{cases} \Rightarrow $ x > $\displaystyle\frac{2}{3}$.

Получим промежуток $(\displaystyle\frac{2}{3} ; \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

2lg(3x – 2) – 4 = lg(x + 2) – 2lg50 $\Rightarrow$

lg(3x – 2)² – lg(x + 2) = lg10000 – lg2500 $\Rightarrow$

lg(3x – 2)² + lg2500 = lg(x + 2) + lg10000 $\Rightarrow$

lg2500(3x – 2)² = lg10000 (x + 2) $\Rightarrow$

2500(3x – 2)² = 10000(x + 2) $\Rightarrow$

9x² – 12x + 4 = 4x + 8 $\Rightarrow$

9x² – 16x – 4 = 0 $\Rightarrow$

$\begin{cases} x_1 = -\displaystyle\frac{2}{9}\\ x_2 = 2, \end{cases} \Rightarrow $;

x₁ = −$\displaystyle\frac{2}{9}$ — не входит в область допустимых значений $-\displaystyle\frac{2}{9}\notin (\displaystyle\frac{2}{3} ; \infty)$ и является посторонним корнем; 2 ϵ $(\displaystyle\frac{2}{3} ; \infty)$.

Область допустимых значений:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 3 >0 , \\ x+ 1 > 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \displaystyle (x -\displaystyle\frac{-3-\sqrt{21}}{2})(x -\displaystyle\frac{-3+\sqrt{21}}{2}) > 0, \\ x > -1\end{cases}$

Получим промежуток $(\displaystyle\displaystyle\frac{-3+\sqrt{21}}{2}; \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\displaystyle\frac{1}{2}$lg(x² + 3x – 3) + log₂4 = 2lg(x + 1) − 2lg(x + 1) + log₂4 $\Rightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{2}$lg(x² + 3x – 3) = 0 $\Rightarrow$

lg(x² + 3x – 3) = 0 $\Rightarrow$

x² + 3x – 3 = 1 $\Rightarrow$

x² + 3x – 4 = 0 $\Rightarrow$

$\begin{cases} x_1 = -4 \\ x_2 = 1\end{cases}$;

x₁ = −4 — не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

Область допустимых значений: $\begin{cases} x^2 - 55 x + 90 > 0, \\ x > 36\end{cases}$

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\displaystyle\frac{1}{2}$lg(x² − 55x + 90) = $\displaystyle\frac{1}{2}$ (lg(2x – 72)) $\Rightarrow$

lg(x² − 55x + 90) = lg(2x – 72) $\Rightarrow$

x² − 57x + 162 = 0 $\Rightarrow$

D = 3249 – 648 = 2601 $\Rightarrow$

$\sqrt{2601}$ = 51 $\Rightarrow$

$\begin{cases} x_1 = \displaystyle\frac{57-51}{2} = 3, \\ x_2 = 54 \end{cases}$

x₁ = 3 — не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

Область допустимых значений: $\begin{cases} x>0, \\ (x - 1)^2 > 0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>0, \\ x \neq 1, \end{cases} \Rightarrow$

(0; 1) U (1; ∞)

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

log₃(√x)²+ log₃$\displaystyle\sqrt{(x - 1)^2}$ = log₃3 + log₃4 $\Rightarrow$

log₃(x·| x – 1 | ) = log₃12 $\Rightarrow$

x·| x – 1 | = 12.

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

$\begin{cases} \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x\cdot (-(x -1)) = 12 \end{cases} \\ \begin{cases} x > 1 \\ x\cdot (x - 1) = 12\end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x^2 - x + 12 = 0\end{cases} \\ \begin{cases} x > 1 \\ x^2 - x - 12 = 0 \end{cases} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1, \\ \begin{cases} x_1 = -3 \\ x_2 = 4\end{cases} \\ \end{cases} \Rightarrow $ x = 4.

Область допустимых значений: 2^x + 1 > 0, x ϵ R.

Преобразуем уравнение:

lg6 + xlg5 − x = lg(2^x + 1) ⇒

lg6 + x(lg5 – 1) = lg(2^x + 1) ⇒

lg6 – x(lg10 – lg5) = lg(2^x + 1)

lg6 – xlg2 = lg(2^x + 1) ⇒

lg6 – lg2^x = lg(2^x + 1) ⇒

lg$\displaystyle\frac{6}{2^x}$ = lg(2^x + 1) ⇒

2^x + 1 = $\displaystyle\frac{6}{2^x}$ ⇒

2^x + 1 − $\displaystyle\frac{6}{2^x}$ = 0.

Пусть 2^x = y, y > 0, тогда получим систему:

$\begin{cases} y > 0 \\ y + 1 - \displaystyle\frac{6}{y} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0 \\ y^2 + y - 6 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0 \\ y_1 = -3, y_2 = 2 \end{cases}$

y = 2 ⇒

2^x = 2 ⇒

x = 1.

Область допустимых значений: $\begin{cases} x^2 - 6x + 7 > 0, \\ 100(x - 3) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - (3 - \sqrt{2}))(x - (3 + \sqrt{2}))>0, \\ x > 3\end{cases}$

Получим промежуток (3 + √2; ∞).

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

lg(x² – 6x + 7) − lg100 – lg(x – 3) + 2 = 0 ⇒

lg(x² – 6x + 7) – 2 – lg(x – 3) + 2 = 0 ⇒

lg(x² – 6x + 7) = lg(x – 3) ⇒

x² – 6x + 7 = x – 3 ⇒

x² – 7x + 10 = 0 ⇒

$\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 5 \end{cases}$

x₁ = 2 — не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.

Область допустимых значений:

$\begin{cases} x + 7 > 0 \\ x - 5> 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > -7, \\ x > 5, \end{cases} \Rightarrow $

x > 5 или x ∈ (5; ∞).

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\displaystyle\frac{1}{2}$lg(x + 7) = lg(x – 5) – 2lg2;

lg(x + 7) = 2lg(x – 5) – 4lg2;

x + 7 = $\displaystyle\frac{(x - 5)^2}{16}$.

16x + 112 = x² – 10x + 25 ⇒

x² – 26x – 87 = 0;

D = $\sqrt{1024}$ = 32

$\begin{cases} x _1 =\displaystyle\frac{26-32}{2} = -3 \\ x_2 = 29 \end{cases} \Rightarrow $

x₁ = −3 — не входит в область допустимых значений и является посторонним корнем.