Преобразуем уравнение:

(0,6)^x · $(0,6^{-2})^{x^2 - 12}$ = (0,6³)³;

$(0,6)^{-2x^2 + x + 24}$ = 0,6⁹ −2x² + x + 24 = 9;

2x² – x – 15 = 0;

x₁ = −$\displaystyle\frac{5}{2}$, x₂ = 3.

Область допустимых значений: $\begin{cases}x>0, \\ x - \sqrt{x} \neq 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>0, \\ \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \neq 0, \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>0, \\ x \neq 1, \end{cases} $

Преобразуем уравнение:

$5^{\displaystyle\frac{1}{x-\sqrt{x}}} \cdot (5^{-1})^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}} = \displaystyle\sqrt[3]{5^2} \Leftrightarrow 5^{\displaystyle\frac{1}{x - \sqrt{x}} -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}} = 5 ^{\displaystyle\frac{2}{3}} \Rightarrow\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x} - 1)} -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} =\displaystyle\frac{2}{3}$

3(1 − √x + 1) = 2(x − √x);

6 – 3√x = 2x – 2√x;

2x + √x – 6 = 0.

Пусть √x = y, y > 0, тогда x² = y, получим уравнение:

2y² + y – 6 = 0;

y₁ = −2, y₂ = $\displaystyle\frac{3}{2}$.

y₁ = −2 — не удовлетворяет условию y > 0 и является посторонним корнем.

√x = $\displaystyle\frac{3}{2} \Rightarrow $ x = $\displaystyle\frac{9}{4}$=2,25 — входит в область допустимых значений.

Область допустимых значений переменной: x ≥ 0, [0; ∞).

Преобразуем уравнение, перенося степени с основанием 2 в левую часть уравнения, а 12 оставим в правой части.

2^√x+2 − 2^√x+1 − 2^√x−1 = 12.

Вынесем общий множитель в левой части за скобки, получим:

2^√x−1(2³ – 2² − 1) = 12;

2^√x−1 · 3 = 12;

2^√x−1 = 2^2;

√x – 1 = 2;

√x = 3;

x = 9.

Проверка: x = 9,

2³⁺² – 2³⁺¹ = 12 + 2³⁻¹;

2⁵ – 2⁴ = 12 + 2²;

32 – 16 = 12 + 4;

16 = 16.

x = 9 — является корнем уравнения.

Преобразуем уравнение:

10^x – 5^x · 5⁻¹ · 2^x · 2⁻² = 950;

10^x − $\displaystyle\frac{1}{5} \cdot \displaystyle\frac{1}{4}$ · (5 · 2)^x = 950;

20 · 10^x – 10^x = 19000;

10^x · (20 − 1) = 19000;

10^x · 19 = 19000;

10^x = 10³;

x = 3.

Проверка: x = 3,

10³ – 5² · 2¹ = 950;

1000 – 50 = 950;

950 = 950.

x = 3 — является корнем уравнения.

Преобразуем уравнение:

3 · 4^2x + 2 · 9^2x – 5 · (4 · 9)^x = 0;

3 · 4^2x + 2 · 9^2x – 5 · 4^x · 9^x = 0.

Разделим обе части уравнения на 9^2x > 0, получим уравнение:

$3\cdot \displaystyle\frac{4^{2x}}{9^{2x}} + 2 -\displaystyle\frac{5\cdot 4^x \cdot 9^x}{9^{2x}} = 0; \\ 3\cdot\displaystyle (\displaystyle\frac{4}{9})^{2x} - 5\cdot (\displaystyle\frac{4}{9})^x + 2 = 0$

Пусть $ \displaystyle(\displaystyle\frac{4}{9})^x $ = y, y > 0 получим $\begin{cases}3y^2 -5y + 2 = 0, \\ y > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}y_1 =\displaystyle\frac{2}{3} \\y_2 = 1\end{cases}\\ y > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y_1 =\displaystyle\frac{2}{3}\\ y_2 = 1 \end{cases}$

$ \displaystyle(\displaystyle\frac{4}{9})^x $ = $ \displaystyle\frac{2}{3}$;

$ \displaystyle(\displaystyle\frac{2}{3})^{2x} $ = $ \displaystyle\frac{2}{3}$;

2x = 1;

x₁ = $ \displaystyle\frac{1}{2}$;

$ \displaystyle(\displaystyle\frac{4}{9})^x $ = 1;

x₂ = 0.

Область допустимых значений: x ≠ 0.

Преобразуем уравнение: $(\displaystyle 10^{\displaystyle\frac{2}{x}})^2 + (\displaystyle 5^{\displaystyle\frac{1}{x}})^2 - 4,25\cdot \displaystyle 10^{\displaystyle\frac{1}{x}}\cdot \displaystyle 5^{\displaystyle\frac{1}{x}} = 0$

Разделим обе части уравнения на $(\displaystyle 5^{\displaystyle\frac{1}{x}})^2$, получим уравнение:

$(\displaystyle\frac{10}{5})^{\displaystyle\frac{2}{x}}$ + 1 – 4,25 · $\displaystyle\frac{10^{\displaystyle\frac{1}{x}} \cdot 5^{\displaystyle\frac{1}{x}}}{(5^{\displaystyle\frac{1}{x}})^2}$ = 0;

$2\displaystyle\frac{2}{x}$ − 4,25 · $2\displaystyle\frac{1}{x}$ + 1 =0;

4 · $2\displaystyle\frac{2}{x}$ − 17 · $2\displaystyle\frac{1}{x}$ + 4 = 0.

Пусть $2\displaystyle\frac{1}{x}$ = y, y > 0, получим $\begin{cases}4y^2 -17y + 4 = 0, \\ y > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}y_1 =\displaystyle\frac{1}{4}, \\y_2 = 4,\end{cases}\\ y > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y_1 =\displaystyle\frac{1}{4},\\ y_2 = 4 \end{cases}$

y₁ = $\displaystyle\frac{1}{4}$ = 2⁻²;

y₂ = 4 = 2²;

$2\displaystyle\frac{1}{x}$ = 2⁻²;

$\displaystyle\frac{1}{x}$ = −2;

x₁ = −$\displaystyle\frac{1}{2}$;

$2\displaystyle\frac{1}{x}$ = 2²;

$\displaystyle\frac{1}{x}$ = 2;

x₂ = $\displaystyle\frac{1}{2}$.

Область допустимых значений x −7 ≠ 0, x – 3 ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 7 или (−∞; 3), (3; 7), (7; ∞).

$(2^5)^{\displaystyle\frac{x + 5}{x - 7}} =\displaystyle\frac{1}{4} \cdot 128^{\displaystyle\frac{x + 17}{x - 3}} ; \\ 2^{\displaystyle\frac{5x + 25}{x - 7}} = 2^{-2}\cdot (2^7)^{\displaystyle\frac{x + 17}{x - 3}} ; \\ 2^{\displaystyle\frac{5x + 25}{x - 7}} = 2^{-2 +\displaystyle\frac{7x + 119}{x - 3}} ; \\ \displaystyle\frac{5x + 25}{x - 7} = -2 +\displaystyle\frac{7x + 119}{x - 3}$ ;

(x − 3)·(5x + 25) = −2(x − 3) · (x − 7) + (7x + 119) · (x − 7);

5x² + 10x – 75 = −2x² + 20x – 42 + 7x² + 70x – 833;

80x – 800 = 0;

x = 10.

Проверка:

x = 10;

32⁵ = 2⁻² · $128^{\displaystyle\frac{27}{7}}$;

2²⁵ = 2⁻² · 2²⁷;

2²⁵ = 2²⁵;

x = 10 — является корнем уравнения.

Преобразуем уравнение, учитывая, что:

$0,125 =\displaystyle\frac{125}{1000} =\displaystyle\frac{1}{8} = 2^{-3}; \\ 0,25 =\displaystyle\frac{25}{100} =\displaystyle\frac{1}{4} = 2^{-2}; \\ \sqrt{2} = 2^{\displaystyle\frac{1}{2}}$

Получим уравнение:

2⁻³ · (2²)^2x−3 = $(\displaystyle\frac{2^{-2}}{2^{\displaystyle\frac{1}{2}}})^{-x}$ ⇔ 2^4x−9 = $(\displaystyle 2^{ -\displaystyle\frac{5}{2}})^{-x}$ ⇔ 2^4x−9 = $(2)^{\displaystyle\frac{5}{2}x} \Rightarrow$ 4x – 9 = $\displaystyle\frac{5}{2}$x;

8x – 18 = 5x;

3x = 18;

x = 6.

Проверка.

При x = 6 получим:

0,125 · 4⁹ = $(\displaystyle\frac{0,25}{\sqrt{2}})^{-6}$;

2⁻³ · 2¹⁸ = (2^−2,5)⁻⁶;

2¹⁵ = 2¹⁵, значит, x = 6 удовлетворяет уравнению.

Область допустимых значений: x ≠ 0, x ϵ (−∞; 0), (0; ∞).

Преобразуем уравнение:

$\displaystyle\sqrt{2^x \sqrt[3]{2^{2x}} \cdot (2^{-3})^{\displaystyle\frac{1}{x}}} = 2^2 \cdot 2^{\displaystyle\frac{1}{3}}; \\ \displaystyle\sqrt{2^x \sqrt[3]{2^{2x -\displaystyle\frac{3}{x}}}} = 2^{2 +\displaystyle\frac{1}{3}}; \\ \displaystyle\sqrt{2^x \cdot 2^{\displaystyle\frac{2x}{3} -\displaystyle\frac{1}{x}}} = 2^{\displaystyle\frac{7}{3}} ;\\ \sqrt{2^x \cdot 2^{\displaystyle\frac{2x^2 - 3}{3x}}} = 2^{\displaystyle\frac{7}{3}}; \\ \sqrt{2^{\displaystyle\frac{5x^2-3}{3x}}} = 2^{\displaystyle\frac{7}{3}}; \\ 2^{\displaystyle\frac{5x^2 - 3}{6x}} = 2^{\displaystyle\frac{7}{3}} \Rightarrow \displaystyle\frac{5x^2 - 3}{6x} =\displaystyle\frac{7}{3}; $

5x² – 14x – 3 = 0;

x₁ = −0,2, x₂ = 3.

$3\displaystyle\frac{x - 54}{2}$ − 7 · $3\displaystyle\frac{x - 58}{2}$ = 162;

$3^{\displaystyle\frac{x}{2} - 27}$ − 7 · $3^{\displaystyle\frac{x}{2} - 29}$ = 162;

$3^{\displaystyle\frac{x}{2} - 29}$ · (3² − 7) = 162;

$3^{\displaystyle\frac{x}{2} - 29}$ · 2 = 162;

$3^{\displaystyle\frac{x}{2} - 29}$ = 81;

$3^{\displaystyle\frac{x}{2} - 29}$ = 3⁴;

$\displaystyle\frac{x}{2}$ − 29 = 4;

$\displaystyle\frac{x}{2}$ = 29 + 4;

$\displaystyle\frac{x}{2}$ = 33;

x = 66.

Проверка. x = 66,

$\displaystyle\sqrt{3^{66 - 54}}$ − 7 · $\displaystyle\sqrt{3^{66 - 58}}$ = 162;

$\displaystyle\sqrt{3^{12}}$ − 7 · $\displaystyle\sqrt{3^{8}}$ = 162;

3⁶ – 7 · 3⁴ = 162;

3⁴ · (3² − 7) = 162;

81 · 2 = 162;

162 = 162.

x = 66 — является корнем уравнения.