13. Уравнения

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Отбор корней

12 заданий
№1

а) Решите уравнение $\;\sin(\pi - x)+\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}+x\right)+2\sin^2x=\displaystyle\frac{3}{2}$

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right]$.

ответ

а) Решим уравнение, применяя формулы приведения:

sinx + sinx + 2sin2x = $\displaystyle\frac{3}{2} \Leftrightarrow$

2sinx + 2sin2x = $\displaystyle\frac{3}{2} \Leftrightarrow$

4sin2x + 4sinx − 3 = 0.

Пусть sinx = t, |t| ≤ 1.

Получим систему:

$\left\{\begin{aligned}&4t^2+4t-3=0\\&|t|\le1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{aligned}&\left[\begin{aligned}&t_1=-1.5\\&t_2={\small\frac{1}{2}}\end{aligned}\right.\\&|t|\le1\end{aligned}\right. \Rightarrow$

t = $\displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow$

sinx = $\displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow$

x = (−1)k$\,\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + πk, k ϵ $\mathbb{Z}$.

Результат решения этого уравнения разложим на два составляющих решения:

$\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z},\\[2pt]&x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\;m\in\mathbb{Z}.\end{aligned}\right.$

б) Каждое из этих решений должно находиться на промежутке $\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right]$.

−$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ≤ $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + 2πn ≤ π $\Leftrightarrow$

−$\displaystyle\frac{2}{3}$π ≤ 2πn ≤ $\displaystyle\frac{5}{6}$π $\Leftrightarrow$

− $\displaystyle\frac{1}{3}$ ≤ n ≤ $\displaystyle\frac{5}{12}$, n = 0.

При n = 0, получим $\displaystyle\frac{\pi}{6}$.

−$\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ≤ $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$ + 2πm ≤ π $\Leftrightarrow$

−$\displaystyle\frac{4}{3}$π ≤ 2πm ≤ $\displaystyle\frac{1}{6}$π $\Leftrightarrow$

−$\displaystyle\frac{4}{6}$ ≤ m ≤ $\displaystyle\frac{1}{12}$, m = 0.

При m = 0 получим x = $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

а) Решите уравнение 2sin2x = 4cosx – sinx + 1

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\displaystyle\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$.

ответ

а) Преобразуем уравнение:

4sinx·cosx – 4cosx + sinx – 1 = 0;

4cosx·(sinx – 1) + (sinx – 1) = 0;

(sinx – 1)·(4cosx + 1) = 0;

$\left[\begin{aligned}&\sin x - 1 = 0\\&4\cos x + 1 = 0\end{aligned}\right.$

Получаем: sinx = 1 или cosx = −$\displaystyle\frac{1}{4}$, откуда x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πk, или x = ±arccos$\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)$ + 2πk, k ϵ $\mathbb{Z}$.

б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке $\left[\displaystyle\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$, в данной задаче это можно сделать визуально без каких−либо дополнительных расчётов:

Заданному интервалу принадлежат корни:

$\displaystyle\frac{\pi}{2}$, arccos$\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)$, 2π − arccos$\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

а) Решите уравнение $\;\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\cos x$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\displaystyle\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

ответ

а) Используем формулу приведения:

cos$\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2x\right)$ = cosx.

Напомним, что можно обойтись без понятия формулы приведения, расписав косинус суммы двух углов и подставив в полученное выражение значения функций синус и косинус в точке $\displaystyle\frac{3\pi}{2}$.

2sinx·cosx = cosx, теперь вынесем общий множитель за скобку:

sin2x = cosx;

2sinx·cosx = cosx;

2sinx·cosx – cosx = 0;

cosx·(2sinx – 1) = 0.

Тогда cosx = 0 или sinx = $\displaystyle\frac{1}{2}$.

Решая cosx = 0 получим: x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, k ϵ $\mathbb{Z}$.

Решая sinx = $\displaystyle\frac{1}{2}$ получим: x = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + 2πk, k ϵ $\mathbb{Z}$ или x = $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$ + 2πk, k ϵ $\mathbb{Z}$.

Таким образом: x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πk, x = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + 2πk, x = $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$ + 2πk, k ϵ $\mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке $\left[\displaystyle\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

Находим: $\displaystyle\frac{5\pi}{2},\,\frac{17\pi}{6},\,\frac{7\pi}{2}$.

Без расчётов, визуально сходу определить корни принадлежащие отрезку может далеко не каждый, нужна серьёзная практика, поэтому покажем безошибочный способ отбора корней, которым советуем пользоваться: переведём радианы в градусы. Так как π радиан это 180º, то отрезок $\left[\displaystyle\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$ будет выглядеть следующим образом: [450º; 720º]. Отберём корни, подставляя значения k в полученное решение уравнения:

При k = 1:

x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + π = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + $\displaystyle\frac{2\pi}{2}$ = $\displaystyle\frac{3\pi}{2}$ = 270º;

x = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + 2π = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + $\displaystyle\frac{12\pi}{6}$ = $\displaystyle\frac{13\pi}{6}$ = 390º;

x = $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$ + 2π = $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$ + $\displaystyle\frac{12\pi}{6}$ = $\displaystyle\frac{17\pi}{6}$ = 510º.

При k = 2:

x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2π = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + $\displaystyle\frac{4\pi}{2}$ = $\displaystyle\frac{5\pi}{2}$ = 450º;

x = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + 4π = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + $\displaystyle\frac{24\pi}{6}$ = $\displaystyle\frac{25\pi}{6}$ = 750º;

x = $\displaystyle\frac{5\pi}{2}$ + 4π = $\displaystyle\frac{5\pi}{2}$ + $\displaystyle\frac{24\pi}{6}$ = $\displaystyle\frac{29\pi}{6}$ = 870º.

При k = 3:

x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 3π = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + $\displaystyle\frac{6\pi}{2}$ = $\displaystyle\frac{7\pi}{2}$ = 630º;

x = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + 6π = $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ + $\displaystyle\frac{36\pi}{6}$ = $\displaystyle\frac{37\pi}{6}$ = 1100º;

x = $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$ + $\displaystyle\frac{36\pi}{6}$ = $\displaystyle\frac{41\pi}{6}$ = 1230º.

При k = 4: проверять корни нет смысла, так как видно, что результат будет лежать вне пределов интервала: x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 4π > 720º.

Отрезку [450º; 720º] принадлежат корни 390º; 450º; 510º, в радианах это $\displaystyle\frac{5\pi}{2},\,\displaystyle\frac{17\pi}{6},\,\displaystyle\frac{7\pi}{2}$. Ответ можно записывать либо в градусах, либо радианах, значения не имеет.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

а) Решите уравнение ctgx·sin2x + cos2x = 1

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу (0; π).

ответ

p>Преобразуем уравнение:

$\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}$·2sinx·cosx – (1 – cos2x) = 0 $\;\Leftrightarrow\;$ 2cos2x – 2sin2x = 0 $\;\Leftrightarrow\;$ cos2x = 0 $\;\Rightarrow$

2x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + πn, n ϵ $\mathbb{Z}$;

x = $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ + $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n, n ϵ $\mathbb{Z}$.

0 < $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ + $\displaystyle\frac{\pi}{2}$n < π $\;\Leftrightarrow\;$ −1/4 < n/2 < 3/4 $\;\Leftrightarrow\;$ −1/2 < n < 3/2, n = 0,1 $\;\Leftrightarrow$

При n = 0, получим x = $\displaystyle\frac{\pi}{4}$, а при n = 1 получим $\displaystyle\frac{3\pi}{4}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

p>а) Решите уравнение $\;\displaystyle 49^{\sin x}=\left(\frac{1}{7}\right)^{-\sqrt{2}\sin 2x}$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\displaystyle\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

$7^{\,2\sin x}=7^{\sqrt{2}\sin 2x}$

$2\sin x=\sqrt{2}\sin 2x$

Перенесем все слагаемые влево, воспользуемся формулой синуса двойного угла и вынесем повторяющийся элемент за скобки:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0:

б) Отметим корни на числовой окружности и выделим необходимый промежуток

Все найденные корни располагаются во втором периоде.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

а) Решите уравнение $\large\;\displaystyle 25^{\sqrt{3}\cos\left(x+\textstyle\frac{3\pi}{2}\right)}=\left(\frac{1}{5}\right)^{2\cos(x+\pi)}$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\displaystyle\frac{7\pi}{2};\displaystyle\frac{9\pi}{2}\right]$.

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

$\large 5^{2\sqrt{3}\cos\left(x+\textstyle\frac{3\pi}{2}\right)}=5^{-2\cos(x+\pi)}$

$2\sqrt{3}\cos\left(x+\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)=-2\cos(x+\pi)$

Перенесем слааемые в левую части и используем формулы приведения:

$2\sqrt{3}\sin x-2\cos x=0$

Получили однородное уравнение первой степени. Разделим на cosx ≠ 0 (cosx ≠ 0, ибо, в противном случае, из уравнения следует, что и sinx = 0, что невозможно, так как тогда не будет выполняться основное тригонометрическое тождество sin2x + cos2x =1).

$\mathop{\mathrm{tg}}x = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\pi k,\,k\in\mathbb{Z}$

б) Построим график функции тангенс и определим корни, принадлежащие промежутку.

Видно, что нужный корень располагается в 3 периоде, то есть $\,x=4\pi+\displaystyle\frac{\pi}{6}=\frac{25\pi}{6}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№7

а) Решите уравнение $\,\log_{13}(2\cos^2 x + 3\cos x - 1)=0$

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $\left[-\displaystyle\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифма

Пусть $\cos x = t,\,-1\le t\le1$.

Тогда

$2t^2+3t-2=0 \\[5pt] D=9+16=25 \\[3pt] t=\displaystyle\frac{-3\pm5}{4} \\ \left[\begin{aligned}&\vphantom{\Bigl{|}}t=-2\,<-1,\,не\ подходит\\&t=\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right. \\[10pt] \cos x = \displaystyle\frac{1}{2} \\[10pt] x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}$

б) Построим график косинуса и определим корни в промежутке $\left[-\displaystyle\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.

Единственный корень в промежутке – ближайший корень левее чем $-2\pi$.

$x=-2\pi-\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{7\pi}{3}$

 

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№8

а) Решите уравнение $\,\log_{13}(\cos 2x - 9\sqrt{2}\cos x - 8)=0$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]$.

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифма

$\cos x = -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x = \pm \displaystyle\frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}$

б) Построим график косинуса и определим корни в промежутке $\left[-2\pi;-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]$.

Первый корень получается движением от $-2\pi$ вправо, то есть $x=-2\pi+\displaystyle\frac{3\pi}{4}=-\displaystyle\frac{5\pi}{4}$, а второй движением от 0 влево $x=0-\displaystyle\frac{3\pi}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№9

а) Решите уравнение $\large\;4^x-2^{x+3}+15=0$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2;\sqrt{10}\right]$.

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

$(2^x)^{2}-8\!\cdot\!2^x+15=0$

б) Так как основание логарифма больше 1, то данная функция возрастает.

$\log_23<\log_24=2<\log_25$, поэтому корень $\log_23$ не попадает в нужный промежуток.

Заметим, что $9<10\Rightarrow3<\sqrt{10}$

$\log_25<\log_28=3<\sqrt{10}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№10

а) Решите уравнение $\;27^x-5\!\cdot\!9^x-3^{x+2}+45=0$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_34;\log_310\right].$

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

$(3^x)^3-5\!\cdot\!(3^x)^2-9\!\cdot\!3^x+45=0$

Сгруппируем слагаемые

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

б) Так как основание логарифма больше 1, то данная функция возрастает.

$1=\log_33<\log_34<\log_35<\log_310\,$ и $\,x=1$ не попадает в нужный интервал.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№11

а) Решите уравнение $\;\log_2(x^2-14x)=5$

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_30.1;5\sqrt{10}\right]$.

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифма

$x^2-14x=32 \\ x^2-14x-32=0$

По теореме Виета

$\left[\begin{aligned}&x=-2\\&x=16\vphantom{\bigl(}\end{aligned}\right.$

б) Так как основание логарифма больше 1, то данная функция возрастает.

Приведём к одному основанию.

$-2=\log_3\displaystyle\frac{1}{9}=\log_3\frac{10}{90} \\[1pt] \log_30.1=\log_3\displaystyle\frac{1}{10}=\log_3\frac{9}{90}$

Откуда:

$-2=\log_3\displaystyle\frac{10}{90}>\log_3\frac{9}{90}=\log_30.1$

Очевидно, что -2 меньше $5\sqrt{10}$.

Тогда корень (-2) входит в промежуток.

Заметим, что , то есть левая граница данного в условии промежутка отрицательная. Корень 16 – положительное число, значит, оно явно больше левой границы.

Сравним 16 и $5\sqrt{10}$

$\begin{aligned}16&\vee5\sqrt{10}\\256&\vee25\!\cdot\!10\\256&\vee250\\256&>250 \Rightarrow 16>5\sqrt{10},\ тогда\ корень\ 16\ не\ входит\ в\ промежуток.\end{aligned}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№12

а) Решите уравнение $\bigl|\cos x + \sin x\bigr|=\sqrt{2}\sin 2x$

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\displaystyle\frac{9\pi}{2}\right]$.

ответ

а) Отметим, что выражение √2sin2x ≥ 0, так как |cosx + sinx| имеет неотрицательное значение, поэтому sin2x ≥ 0.

Используя свойство модуля, получим два отдельных уравнения, решения каждого из них будут являться решением данного уравнения:

cosx + sinx = √2sin2x или –(cosx + sinx) = √2sin2x.

Решаем cosx + sinx = √2sin2x.

Возводим в квадрат обе части:

(cosx + sinx)2 = 2sin22x;

cos2x + 2cosx·sinx + sin2x = 2sin22x;

2sin22x − sin2x – 1 = 0.

Решая квадратное уравнение, получим: sin2x = 1 и sin2x = $-\displaystyle\frac{1}{2}$.

Так как sin2x ≥ 0 (это область допустимых значений), то второе уравнение решать нет смысла.

Решаем sin2x = 1, получим:

2x = $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ + 2πn, n ϵ $\mathbb{Z}$ $\;\mathbf{\Biggl|}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}$;

x = $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ + πn, n ϵ $\mathbb{Z}$.

Решением уравнения –(cosx + sinx) = √2sin2x является тот же корень, так как при возведении в квадрат обеих частей получим то же уравнение.

б) Сделаем отбор корней на данном в условии промежутке , используя метод двойного неравенства.

Для этого подставим найденный в пункте а) корень x = $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ + πn, n ϵ $\mathbb{Z}$ в промежуток, а затем учтем, что n может быть только целым числом.

В этот промежуток входят только два целых значения n – это n=3 и 4.

Подставим их в изначальный корень.

$x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\pi\!\cdot\!4=\frac{\pi+16\pi}{4}=\frac{17\pi}{4} \\[15pt] x = \displaystyle\frac{\pi}{4}+\pi\!\cdot\!3=\frac{\pi+12\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно