Мой прогресс

0

из 6

Решил заданий

0

из 6

Не решил заданий

6

из 6

Осталось заданий

14. Стереометрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Расстояние между скрещивающимися прямыми

6 заданий
№1

В правильной четырёхугольной пирамиде SАВСD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и ВС.

ответ

Первый способ

Прямая ВС параллельна плоскости SАD, в которой лежит прямая . Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SАD или от любой точке прямой ВС до плоскости SAD.

Возьмем точку В.

Найдем искомое расстояние методом двойного выражения объемов.

$V_{BASD}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot h_{пирамиды}=\frac{1}{3}\cdot S_{SAD}\cdot h$, где h – искомое расстояние.

Найдем высоту пирамиды:

Рассмотрим треугольник $SBD.\ SD=SB=1.\ BD=\sqrt{2}$, как диагональ квадрата со стороной 1.

Треугольник SBD – прямоугольный, так как $SD^2+SB^2=BD^2$.

Высота в треугольнике SBD – высота пирамиды.

Значит, $h_{пирамиды}=\displaystyle\frac{ab}{c}=\frac{1\cdot1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Подставим все данные, чтобы найди искомое расстояние:

$h=\displaystyle\frac{S_{ABD}\cdot h_{пирамиды}}{S_{SAD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot h_{пирамиды}}{\frac{AD^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{1\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Второй способ

Прямая ВС параллельна плоскости SАD, в которой лежит прямая . Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SАD.

Пусть Е и F соответственно середины рёбер АD и ВС. Тогда искомым перпендикуляром будет высота треугольника SEF. В треугольнике SEF имеем:

EF=1, SE=SF=$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$, высота SO равна $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$. Для площади S треугольника SEF имеют место равенства $2S=EF\cdot SO=SE\cdot FH$, из которых получаем $FH=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВС1.

ответ

Первый способ

Прямая ВС1 параллельна плоскости B1AD1 при признаку параллельности прямой и плоскости.

Значит, расстояние между исходными прямыми равно расстоянию от любой точки прямой ВС1 до плоскости B1AD1. Возьмем точку В.

Найдем это расстояние методом двойного выражения площадей.

$V_{B_1D_1AB}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{ABB_1}\cdot A_1D_1=\frac{1}{3}\cdot S_{AB_1D_1}\cdot h$, h – искомое расстояние.

$h=\displaystyle\frac{S_{ABB_1}\cdot A_1D_1}{S_{AB_1D_1}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BB_1\cdot A_1D_1}{\frac{AB_1^{\,2}\sqrt{3}}{4}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot1}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Второй способ

Плоскости AB1D1 и BDC1, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.

Диагональ СА1 куба перпендикулярна этим плоскостям (А1Е высота в пирамиде А1AB1D1, аналогично с BDC1) . Обозначим Е и F как точки пересечения диагонали СА1 соответственно с плоскостями AB1D1 и BDC1. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми АВ1 и ВС1. Пусть О и O1 соответственно центры граней ABCD и A1B1C1D1 куба. В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя линия треугольника АСЕ и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается, что O1Е — средняя линия треугольника A1C1F и, значит, А1Е = EF. Таким образом, EF составляет одну треть диагонали CA1, т. е. EF=$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA.

ответ

Дополнительное построение: SO – высота пирамиды.

Пусть Е - основание перпендикуляра, опущенного из точки О на ребро SA.

$\begin{gathered}BD\perp AC \\ BD\perp SO \\ AC\cap SO=O\end{gathered}\Rightarrow BD\perp AOS$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

Значит, ВО перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости ASO $\rightarrow BO\perp OE$.

Таким образом, ОЕ - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ВD и SA .

Найдем его длину как высоту ОЕ, опущенную на гипотенузу AS треугольника AOS.

$AO=\displaystyle\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

AS = 1

Найдем SO по теореме Пифагора:

$SO^2=AS^2-AO^2=1-\displaystyle\frac{2}{4}=\frac{2}{4} \\ SO=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \\ h=\displaystyle\frac{ab}{c}=\frac{AO\cdot OS}{AS}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,\!5$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

В пирамиде SABC известны длины ребер AB=AC=SB=SC=10, BC=SA=12. Точка К – середина ВС.

а) Докажите, что плоскость SAK перпендикулярна плоскости АВС.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и ВС.

ответ

а) Точка К – середина ВС, значит, SK и АК – медианы в треугольниках SBC и АВС.

Эти треугольники по условию равнобедренные, значит, что SK и АВС высоты в треугольниках SBC и АВС.

$\left.\begin{gathered}SK\perp BC \\ AK\perp BC \\ SK\cap AK=K\end{gathered}\right\}\rightarrow BC\perp AKS\ {(по\ признаку\ перпендикулярности\atop прямой\ и\ плоскости)} \\[20pt] \left.\begin{gathered}BC\perp AKS \\ BC\in ABC\end{gathered}\right\}\rightarrow AKS\perp ABC\ {(по\ признаку\atop перпендикулярности\ плоскостей)}$

Что и требовалось доказать.

б) Дополнительное построение: пусть КН перпендикулярно прямой AS.

Тогда мы имеем:

$\left.\begin{gathered}KH\perp BC\ (по\ доказанному\ в\ пункте\ а)\!\!\!\!\! \\ KH\perp AS\ (по\ построению)\end{gathered}\right\}\rightarrow KH\ -\ общий\ перпендикуляр\ к\ скрещивающимся\ прямым\ SA\ и\ BC$

КН – высота в равнобедренном треугольнике AKS. Найдем боковые стороны в этом треугольнике.

$SC=10;\ KC=\displaystyle\frac{1}{2}BC=6$

Тогда найдем SK по теореме Пифагора:

$SK^2=SC^2-KC^2=100-36=64$

SK=8

SH=AH=6

SK=8

Тогда найдем КН по теореме Пифагора:

$KH^2=SK^2-SH^2=64-36=28 \\[8pt] KH=2\sqrt{7}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все ребра основания которой равны $2\sqrt{7}$. Сечение, проходящее через боковое ребро AA1, середину M ребра B1C1 и середину L ребра ВС, является квадратом.

а) Докажите, что $AM\perp A_1BC$.

б) Найдите расстояние между прямыми A1B и AM.

ответ

а) Сечение призмы — квадрат AA1ML. Тогда диагонали перпендикулярны: $AM\perp A_1L$.

$\left.\begin{gathered}AL\perp BC\ (по\ свойству\ равнобедренного\ треугольника)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ ML\perp BC\ (так\ как\ призма\ прямая)\end{gathered}\right\}\rightarrow AM\perp BC\ {(по\ теореме\ о\atop трёх\ перпендикулярах)} \\[15pt] \left.\begin{gathered}AM\perp BC \\ AM\perp A_1L\end{gathered}\right\}\rightarrow{(по\ признаку\ перпендикулярности\ прямой\ и\ плоскости)\atop\displaystyle AM\perp A_1BC\;}$

Что и требовалось доказать.

б) Из точки О опустим перпендикуляр ОР на прямую А1В.

$OP\!\perp\! A_1B$ (по построению) и $OP\!\perp\! AM$ (так как АМ перпендикулярно плоскости А1ВС), следовательно, ОР – общий перпендикуляр для прямых АМ и А1В.

Сторона квадрата AA1ML равна высоте треугольника ABC, то есть:

$h_{равностороннего\ треугольника}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{7}\!\cdot\!\sqrt{3}}{2}=\sqrt{21}=AL$

Диагональ квадрата AA1ML $A_1L=\sqrt{42}$. В равнобедренном треугольнике A1BC основание $BC=2\sqrt{7}$, боковая сторона $A_1B=7$. Отсюда, используя подобие треугольников A1OP и A1BL найдем

$OP=\displaystyle\frac{A_1O\cdot LB}{A_1B}=\frac{A_1L\cdot BC}{4A_1B}=\frac{\sqrt{42}\cdot2\sqrt{7}}{4\cdot7}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2\sqrt{3}$, а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N – середины ребер CD и AB соответственно, а NT – высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой отрезка SM.

б) Найдите расстояние между прямыми NT и SC.

ответ

а) 1) В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Точки M и N является серединами противоположных сторон квадрата, значит, они перпендикулярны сторонам АВ и CD и параллельны AD и ВС.

Тогда:

$\left.\begin{gathered}CD\perp NM\ (по\ доказанному) \\ CD\perp SM\ (по\ св\!-\!ву\ равнобедренного\ треугольника)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ NM\cap SM=M\end{gathered}\right\}\rightarrow\begin{gathered}\begin{smallmatrix}(по\ теореме\ о\ перпендикулярности \\ прямой\ и\ плоскости)\end{smallmatrix} \\ CD\perp SNM\end{gathered}$

2) Точка Т лежит на SM, потому что по-нашему с вами построению проведем NT перпендикулярно SM, тогда:

$\left.\begin{gathered}NT\perp SM\ (по\ построению) \\ CD\perp NT\ (по\ доказанному\ в\ п.1)\end{gathered}\right\}\rightarrow NT\ -\ перпендикулярно\ SCD.$

3) Рассмотрим треугольник SNM и найдем длину каждой стороны.

$SN^2=NH^2+SH^2=3+9=12 \\[8pt] SN=2\sqrt{3}$

SN равно SM как апофемы в правильной пирамиде.

$NM=AD=BC=2\sqrt{3}$

Имеем, что треугольник SNM – равносторонний, значит, каждая его высота является медианой, а NT – высота.

Что и требовалось доказать.

б) 1) Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки Т на прямую SC.

Прямая NT перпендикулярна прямой ТЕ, так как NT – высота пирамиды NCSD.

$\left.\begin{aligned}TE&\perp SC \\ TE&\perp NT\end{aligned}\right\}\rightarrow TE\ -\ общий\ перпендикуляр\ к\ скрещивающимся\ прямым\ SC\ и\ NT$

ТЕ – искомое расстояние.

2) Треугольники SET и SMC подобны по двум углам (один угол общий, второй угол прямой), следовательно:

$\displaystyle\frac{ET}{MC}=\frac{ST}{SC},\ откуда\ ET=\frac{ST\cdot CM}{SC}=\frac{SM}{2}\cdot\frac{CD}{2}\cdot\frac{1}{SC}$

SC по теореме Пифагора будет равно:

$SC^2=SM^2+MC^2=12+3=15 \\[8pt] SC=\sqrt{15} \\[3pt] ET=\displaystyle\frac{SM}{2}\cdot\frac{CD}{2}\cdot\frac{1}{SC}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно