14. Стереометрия

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости

9 заданий
№1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВС1.

ответ

1) Искомое расстояние — перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую ВС1. По сути, перпендикуляр — это высота в треугольнике АВС1, опущенная из вершины А на сторону ВС1. Будем её искать.

2) В квадрате ВСС1В1 диагональ ВС1 равна √2.

В прямоугольном треугольнике АСD находим AC по теореме Пифагора:

AC2 = AD2DC2.

$AC=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

Из прямоугольного треугольника АСС1 имеем $AC_1=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2}=2$ по теореме Пифагора.

3) В треугольнике АВС1, используя теорему косинусов, получаем:

B AB2 = AC12 + BC12 – 2 ∙ AC1BC1 ∙ cosAC1B;

1 = 4 + 2 – 2 ∙ 2 ∙ √2 ∙ cosAC1B;

cosAC1B = $\displaystyle\frac{5}{4\sqrt{2}}$.

Найдем высоту АН:

$\sin AC_1B=\displaystyle\frac{AH}{AC_1}=\frac{AH}{2}$;

AH = sinAC1B ∙ 2.

Найдем sinAC1B через основное тригонометрическое тождество:

sin2AC1B = 1 – cos2AC1B = $1-\displaystyle\frac{25}{32}=\frac{7}{32}=\frac{14}{64}$;

sinAC1B = $\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{8}$.

Тогда АН равно:

AH = $2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{8}=\frac{\sqrt{14}}{4}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

В основании прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит ромб со стороной 8 и острым углом BAD, равным 30º. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 128. Найдите расстояние от середины ребра A1B1 до прямой CD.

ответ

1)Дополнительное построение: проведем MN параллельно АА1. Так как АА1 — перпендикуляр к плоскости основания параллелепипеда, то MN также является перпендикуляром к плоскости основания.

Отрезок NH, проведенный перпендикулярно прямой CD является проекцией наклонной MH на плоскость АВС.

$\left.\begin{gathered}MN\perp ABC\rightarrow MN\perp CD \\ NH\perp CD \\ MH\ -\ наклонная\end{gathered}\right\}\rightarrow MH\perp CD\ {(по\ теореме\ о\ трёх\atop перпендикулярах)}$

MH — искомое расстояние.

2) Посмотрим, что дано в условии:

Sбок = $4S_{AA_1B_1B}$ = 4AB · AA1 = 32AA1 = 128;

AA1 = 4.

3) MN = AA1 = 4, а KD — высота ромба, длина которой вычисляется из треугольника AKD, в котором катет KD лежит напротив угла в 30º, значит, NH = KD = 4.

По теореме Пифагора из треугольника MNH получим:

МН2 = MN2 + NH2

МН2 = 16 + 16 = 32

МН = 4√2.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

Основанием прямой призмы АВСDA1B1C1D1 служит трапеция с основаниями АD = 3, ВС = 1 и боковыми сторонами АВ = СD = 2. Боковое ребро призмы равно 2. Найдите расстояние от точки А1 до прямой ВС.

ответ

1) Искомое расстояние d есть длина перпендикуляра А1М, опущенного на прямую ВС. Поскольку A1D1 || BC, это расстояние равно также высоте ВН трапеции А1ВСD1.

2) Боковая сторона данной трапеции:

AA12 + AB2 = A1B2;

4 + 4 = 8 = A1B2;

A1B = 2√2.

Нарисуем эту трапецию отдельно:

Легко находим: A1H = $\displaystyle\frac{A_1D_1-BC}{2}$ = 1.

Тогда найдем d по теореме Пифагора:

d2 = A1B2A1H2 = 8 – 1 = 7

d = √7.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А до плоскости BDA1.

ответ

Первый способ

1) Дополнительной построение: пусть О — середина отрезка BD.

АО — медиана в равнобедренном треугольнике ABD. Значит, по свойству равнобедренного треугольника, АО — высота.

$\left.\begin{gathered}AO\perp BD \\ BD\perp AA_1 \\ AO\cap AA_1=A\end{gathered}\right\}\rightarrow BD\perp AA_1O\ {(по\ признаку\ перпендикулярности\atop прямой\ и\ плоскости)}$

Значит, BD перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Дополнительное построение. АН перпендикулярно А1О.

$\left.\begin{gathered}AH\perp A_1O \\ BD\perp AH \\ AO\cap BD=O\end{gathered}\right\}\rightarrow AH\perp A_1BD\ {(по\ признаку\ перпендикулярности\atop прямой\ и\ плоскости)}$

Следовательно, искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость ВDА1, является высота АН прямоугольного треугольника АОА1, в котором:

АА1 = 1, АО = $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$ (как половина диагонали грани куба).

Найдем ОА1 по теореме Пифагора:

OA12 = AO2 + AA12 = $1+\displaystyle\frac{2}{4}=\frac{6}{4}$

OA1 = $\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Высота в прямоугольном треугольнике находится по формуле:

$h=\displaystyle\frac{ab}{c}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Второй способ

Воспользуемся методом двойного выражения объемов.

$V_{AA_1BD}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot AA_1=\frac{1}{3}S_{A_1BD}\cdot h$, где h — искомый перпендикуляр.

Тогда:

$h=\displaystyle\frac{S_{ABD}\cdot AA_1}{S_{A_1BD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot AA_1}{BD^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{4}{2\cdot2\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

Точка М — середина ребра DD1 куба АВСDA1B1C1D1. Ребро куба равно 6. Найдите расстояние от точки М до плоскости ВС1D.

ответ

Первый способ

Воспользуемся методом двойного выражения объемов:

$V_{MBC_1D}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{MC_1D}\cdot BC=\frac{1}{3}\cdot S_{DC_1B}\cdot h$, где h — искомое расстояние.

$h=\displaystyle\frac{S_{MC_1D}\cdot BC}{S_{DC_1B}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot MD\cdot C_1D_1\cdot BC}{\frac{BD^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot3\cdot6\cdot6}{\frac{\left(6\sqrt{2}\right)^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{4\cdot3\cdot6\cdot6}{2\cdot6\cdot6\cdot2\cdot\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

Второй способ

Пусть искомое расстояние от точки М до плоскости ВС1D равно d. Тогда расстояние от точки D1 до этой плоскости равно 2d. Отрезок D1C делится плоскостью ВС1D пополам, поэтому расстояние от точки С до данной плоскости также равно 2d.

С другой стороны, расстояние от точки С до плоскости ВС1D есть высота СН треугольной пирамиды ВС1DC. Основанием этой пирамиды служит равносторонний треугольник ВС1D со стороной 6√2. Боковые рёбра пирамиды равны 6. Стало быть, данная пирамида является правильной, и точка Н — центр треугольника ВС1D.

Отрезок С1Н есть радиус окружности, описанной вокруг треугольника ВС1D. Имеем:

$C_1H=\displaystyle\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{6}$.

Тогда $CH=\sqrt{CC_1^2-C_1H^2}=\sqrt{6^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2}=2\sqrt{3}$. Следовательно, $d=\displaystyle\frac{CH}{2}=\sqrt{3}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания равна 2 и высота равна 1. Найдите расстояние от точки D до плоскости ВСS.

ответ

Первый способ

Дополнительное построение: ST – высота пирамиды SABCD

Воспользуемся методом двойного выражения объемов:

$V_{DBCS}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot ST=\frac{1}{3}\cdot S_{BCS}\cdot h$, где h — искомый перпендикуляр.

$h=\displaystyle\frac{S_{BCD}\cdot ST}{S_{BCS}}=\frac{\left(\frac{1}{2}\cdot CD\cdot BC\cdot ST\right)}{S_{BCS}} \\[15pt] S_{BCS}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot h_{BC}\cdot BC \\[15pt] h_{BC}=\sqrt{ST^2+MT^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \\[10pt] S_{BCS}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot h_{BC}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot2=\sqrt{2} \\[15pt] h=\displaystyle\frac{\left(\frac{1}{2}\cdot CD\cdot BC\cdot ST\right)}{S_{BCS}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Второй способ

Пусть — высота пирамиды. Точка Т является серединой отрезка . Тогда искомое расстояние d от точки D до плоскости ВСS равно удвоенному расстоянию от точки Т до этой плоскости по теореме Фалеса.

Расстояние от точки Т до плоскости ВСS равно высоте ТН треугольника SТМ (точка М — середина ВС). Действительно, ТН перпендикулярна также прямой ВС ( BC TM, BC ⊥ SM ⇒ BC STMBCTH), и потому ТН — перпендикуляр к плоскости ВСS. Из треугольника SТМ легко находим: ТН = $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда d = 2 · TH = √2.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№7

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O — центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

ответ

а) SABC — правильная пирамида, значит, О — центр вписанной и описанной окружности основания АВС. Таким образом, точки В, О и N лежат на одной прямой.

Пусть прямая NP пересекает прямую BS в точке К.

Рассмотрим треугольник SNB. Он равнобедренный, так как SN и BN — медианы в равных равносторонних треугольниках.

Найдем величину ON и ОР.

$ON=\displaystyle\frac{1}{3}BN=\frac{1}{3}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$;

$OB=\displaystyle\frac{2}{3}BN=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Найдем SO по теореме Пифагора из треугольника BSN:

$SO^2=BS^2-BO^2=SO^2=16-16\cdot\displaystyle\frac{3}{9}=16\cdot\frac{6}{9}$;

$SO=4\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}$;

$OP=\displaystyle\frac{1}{4}OS=\frac{1}{4}\cdot4\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Найдём PN по теореме Пифагора:

$PN^2=ON^2+OP^2=\displaystyle\frac{12}{9}+\frac{6}{9}=\frac{18}{9}=2$;

$PN=\sqrt{2}$.

Тогда:

$\cos ONP=\displaystyle\frac{ON}{PN}=\frac{2\sqrt{3}}{3}:\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}; \\[15pt] BS^2=BN^2+SN^2-2\cdot BN\cdot SN\cdot\cos SNB; \\[12pt] 16=12+12-2\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos SNB; \\[12pt] -8=-24\cos SNB; \\[10pt] \cos SNB=\displaystyle\frac{1}{3}.$

Найдем косинус угла, который в два раза меньше, чем угол SNB:

$\cos SNB=2\cos^2 \displaystyle\frac{SNB}{2}-1; \\[15pt] \displaystyle\frac{1}{3}=2\cdot\cos^2 \frac{SNB}{2}-1; \\[15pt] \cos^2 \displaystyle\frac{SNB}{2}=\frac{2}{3}; \\[15pt] \cos\displaystyle\frac{SNB}{2}=\sqrt{{\small\frac{2}{3}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}=\cos ONP.$

Значит, угол ОNP является половиной угла SNB. Следовательно, NK — биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная на основание, а по свойству равнобедренного треугольника эта биссектриса является высотой. Значит, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Так как NK является и высотой, и медианой в равнобедренном треугольнике SNB, то расстояние от точки B до прямой PN равно $BK=\displaystyle\frac{1}{2}BS=2$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№8

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 60, а боковое ребро SA равно 37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.

ответ

а) Прямая MN параллельна плоскости ABC, поэтому сечение пересекает плоскость ABC по прямой PQ, параллельной MN. Рассмотрим плоскость SCE. Пусть K — точка пересечения этой плоскости и прямой MN, L — точка пересечения этой плоскости и прямой PQ, O — центр основания пирамиды.

Плоскости SCE и MNQ перпендикулярны плоскости ABC, поэтому прямая KL перпендикулярна плоскости ABC, а значит, параллельна прямой SO.

Поскольку MN — средняя линия треугольника ASB, точка K является серединой ES. Следовательно, L — середина EO. Медиана CE треугольника ABC делится точкой O в отношении 2 : 1. Значит, CL : LE = 5 : 1.

б) Прямая CE перпендикулярна KL и PQ, поэтому прямая CE перпендикулярна плоскости MNQ. Прямые AB и PQ параллельны, значит, расстояние от вершины A до плоскости сечения равно расстоянию от точки E до плоскости сечения, то есть $EL=\displaystyle\frac{CE}{6}=5\sqrt{3}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№9

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что высота пирамиды, проведенная из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA = √5, AB = AC = 5, BC = 2√5.

ответ

а) 1) Дополнительное построение: пусть М — середина AS, K — середина АС, Т — середина АВ. Если мы соединим эти три точки, то получим плоскость.

Отрезки МК, КТ, МТ для треугольников ASC, SCB, ASB будут являться средними линиями.

2) Также давайте посмотрим на плоскости МКТ и SCB. Они параллельные, причем этому способствует признак параллельных плоскостей (две пересекающиеся прямые МК и МТ, принадлежащие плоскости МКТ, соответственно параллельны пересекающимся прямым SC и SB, принадлежащим плоскости SCB).

3) Отпустим перпендикуляр из точки А на плоскость МКТ и назовем его h1. Тогда продолжение этого перпендикуляра до плоскости SBC будет являться высотой, так как плоскости МКТ и SBC параллельны. Назовем этот перпендикуляр h2.

4) У нас есть два перпендикуляра, которые мы не можем изобразить. Давайте найдем отношение объемов пирамиды МАТК и SABC.

$V_{MATK}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot MA\cdot S_{ATK}$

$V_{SABC}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABC}$

По условию $\displaystyle\frac{MA}{SA}=\frac{1}{2}$, так как М — середина.

Треугольник АТК подобен треугольнику АВС по двум соответствующим сторонам и углу между ними, значит площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть

$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

Найдем отношение объемов:

$\displaystyle\frac{V_{MATK}}{V_{SABC}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot MA\cdot S_{ATK}}{\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABC}}=\frac{MA}{SA}\cdot\frac{S_{ATK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$.

Используем метод двойного выражения объемов, тогда:

$V_{MATK}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot h_1\cdot S_{MTK}$

$V_{SABC}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot h_2\cdot S_{SBC}$

Треугольники МТК и SBC подобны по трем сторонам, следовательно, их площади относятся, как $\displaystyle\frac{1}{4}$.

Тогда запишем отношение объемов:

$\displaystyle\frac{V_{MATK}}{V_{SABC}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot h_1\cdot S_{MTK}}{\frac{1}{3}\cdot h_2\cdot S_{SBC}}=\frac{h_1}{h_2}\cdot\frac{S_{MTK}}{S_{SBC}}=\frac{h_1}{h_2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$

Откуда получим, что $\displaystyle\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.

б) 1) Мы знаем, что расстояние от точки А до плоскости МКТ меньше в два раза, чем до плоскости SBC.

$h_1=\displaystyle\frac{h_2}{2}$

Найдем расстояние от точки А до плоскости SBC, а потом просто поделить пополам.

2) h1 и h2 расстояния — это высоты в пирамидах.

$V_{SABC}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot h_2\cdot S_{SBC}$

Треугольник АВС — равнобедренный, найдем высоту AD по теореме Пифагора:

$AD^2=AC^2-CD^2=20 \\[9pt] AD=2\sqrt{5}$

Тогда площадь треугольника АВС равна:

$S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=10$

3) SC будет равно SB, это можно доказать легко с помощью теоремы Пифагора.

Найдем один из этих отрезков по этой же теореме.

$SC^2=5+25=30 \\[9pt] SC=\sqrt{30}$

Аналогично треугольнику АВС найдем площадь в треугольнике SBC.

$SD^2=30-5=25 \\[9pt] SD=5$

Найдем площадь треугольника SBC:

$S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot5\cdot2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

4) Подставим всё найденное в формулу:

$\displaystyle\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot h_2\cdot S_{SBC} \\[15pt] SA\cdot S_{ABC}=h_2\cdot S_{SBC} \\[10pt] \sqrt{5}\cdot10=h_2\cdot5\sqrt{5}$

Откуда $h_2=2$.

Тогда $h_1=\displaystyle\frac{h_2}{2}=\frac{2}{2}=1$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно