Область допустимых значений: $\begin{cases} 5 - x > 0, \\ x + 1> 0, \\ x - 1> 0, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < 5, \\ x > -1, \\ x > 1, \end{cases}$ ⇔ 1 < x < 5, x ϵ (1; 5).

Преобразуем неравенство: $\log_{3\displaystyle \frac{1}{2}} (5-x)$ − log₃(x + 1) < log₃3 + log₃ (x − 1) ⇔

⇔ 2log₃(5 − x) – log₃3 < log₃(x + 1) + log₃(x − 1) ⇔ log₃$\displaystyle \frac{(5-x)^2}{3}$< log₃(x² − 1) ⇒

⇒$\displaystyle \frac{(5-x)^2}{3}$ <x² – 1 ⇔ 25 – 10x + x²< 3x² – 3 ⇔ 2x² + 10x – 28 > 0 ⇔

⇔x² + 5x – 14 > 0 ⇔ (x + 7) · (x − 2) > 0.

Получим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 < x < 5, \\(x+7)(x-2) > 0 \end{cases}$

Пересечением всех ограничений будет являться промежуток (2; 5).

Область допустимых значений:

$\begin{cases} x - 3 > 0. \\2x^2-6x+7 > 0\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x > 3. \\ -\infty < x < +\infty \end{cases}$ ⇔ x > 3, x ϵ (3; +∞).

Преобразуем неравенство:

log₅(x − 3) + $\displaystyle \frac{1}{2}$log₅3 <$\displaystyle \frac{1}{2}$log₅(2x² – 6x + 7) ⇔ 2log₅(x − 3) + log₅3 < log₅(2x² – 6x + 7) ⇔

⇔ 3(x − 3)² < 2x² – 6x + 7 ⇔ 3x² – 18x + 27 < 2x² – 6x + 7 ⇔ x² – 12x + 20 < 0 ⇔

⇔ (x − 2) · (x − 10) < 0.

Получим систему неравенств: $\begin{cases} (x-2)(x-10) < 0, \\ x>3 \end{cases}$

Рассмотрим два случая, получим две системы неравенств:

(1) $\begin{cases} 0 < x<1, \\ 5x+2>0, \\ 2x+3>0, \\5x+2>2x+3, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 0 < x<1, \\ x >-0,4, \\ x>-1,5, \\ x >\displaystyle \frac{1}{3}, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 0 < x<1, \\ x >\displaystyle \frac{1}{3}, \end{cases}$ ⇒ $\displaystyle \frac{1}{3}$ < x < 1.

(2) $\begin{cases} x>1 \\ x >0,4 \\ x> -1,5 \\ x < \displaystyle \frac{1}{3}\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x > 1, \\ x<\displaystyle \frac{1}{3}, \end{cases}$ ⇒ решений нет.

Преобразуем неравенство, полученное неравенство равносильно системе:

$\log_{0,5}\displaystyle \frac{3x+1}{x+1}$ ≥ $\log_{0,5}2$ ⇔ $\begin{cases} \displaystyle \frac{3x+1}{x+1} > 0 \\ \displaystyle \frac{3x+1}{x+1} \leq 2,\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} \displaystyle \frac{3x+1}{x+1} > 0 \\ \displaystyle \frac{x-1}{x+1} \leq 0,\end{cases}$

Получаем итоговое пересечение: $(-\displaystyle \frac{1}{3}; 1]$

Область допустимых значений:

$\begin{cases} x>0, \\ \log_{4}x > 0, \\ \log_{2} x > 0, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x>0, \\ \log_{4}x > \log_{4} 1, \\ \log_{2} x > \log_{2} 1, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x>0, \\ x>1, \end{cases}$ ⇒ x > 1, x ϵ (1; +∞).

Преобразуем неравенство:

log₂$\log_{2^2}x$ + $\log_{2^2}$log₂x ≤ 2 ⇔ log₂$(\displaystyle \frac{1}{2}\log_{2}x)$ + $\displaystyle \frac{1}{2}$log₂log₂x ≤ 2 ⇒

⇒ 2log₂(log₂√x) + log₂log₂x ≤ 4 ⇔ log₂ (log₂x · $\log_{2}^2\sqrt{x}$) ≤ log₂16 ⇒

⇒log₂x · $\log_{2}^2\sqrt{x}$ ≤ 16 ⇔ $\log_{2}^3x$ ≤ 64 ⇔ $\log_{2}^3x$ ≤ $\log_{2}^3$16 ⇔ x ≤ 16.

Получим систему неравенств: $\begin{cases} x>1, \\ x\leq 16 \end{cases}$ ⇒ x ϵ (1; 16].

Область допустимых значений:

$\begin{cases} x^2 -3x - 4 >0, \\ x + 5> 0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} (x+1)(x-4) > 0, \\ x > -5 \end{cases}$

О.Д.З. −5 <x < −1, 4 < x < +∞.

Преобразуем неравенство:

log_0,5(x² – 3x − 4) + 1 ≥ log_0,5(x + 5) ⇔ log_0,5(x² – 3x − 4) + log_0,50,5 ≥ log_0,5(x + 5) ⇔

⇔ $\displaystyle \frac{1}{2}$(x² – 3x − 4) ≤ x + 5 ⇒ x² – 5x – 14 ≤ 0 ⇔ (x + 2) · (x − 7) ≤ 0.

Получим систему неравенств:

$\begin{cases} (x+2)(x-7) > 0, \\ -5 < x < -1, \; 4< x < +\infty \end{cases}$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

(1) $\begin{cases} x > 1, \\ \displaystyle \frac{4x + 1}{6(x-1)} > 0, \\ \displaystyle \frac{4x+1}{6(x-1)} < 1, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x > 1, \\ \displaystyle \frac{4x + 1}{(x-1)} > 0, \\ \displaystyle \frac{2x-7}{(x-1)} > 0, \end{cases}$

Результатом решения является промежуток: (3,5; +∞).

(2) $\begin{cases} 0 < x < 1, \\ \displaystyle \frac{4x + 1}{6(x-1)} 0, \\ \displaystyle \frac{4x+1}{6(x-1)} > 1, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 0< x< 1, \\ \displaystyle \frac{4x + 1}{x-1}> 0, \\ \displaystyle \frac{2x-7}{x-1} < 0, \end{cases}$

Эта система не имеет решений.

Преобразуем неравенство log_x+3 ((3 – x )(3 + x)) – $\displaystyle \frac{1}{4}\log_{x+3}^2$│x – 3│ ≥ 2.

Найдем, при каких значениях х левая часть неравенства имеет смысл.

$\begin{cases} 9-x^2 >0 \\x+3>0 \\ x+3\neq 1\\x-3\neq 0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases}3-x >0 \\x+3>0 \\ x+3\neq 1 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < 3 \\ x>-3 \\ x\neq -2 \end{cases}$.

Получаем: –3 < x < –2 или –2 < x < 3 Значит, │x – 3│ = 3 – x при всех допустимых значениях х. Поэтому:

log_x+3 (3 – x) + log_x+3 (x + 3) –$\displaystyle \frac{1}{4}\log_{x+3}^2$(3 – x) ≥ 2.

Сделаем замену log_x+3 (3 – x) = y. Получаем y – $\displaystyle \frac{1}{4}$y² ≥ 1; (y – 2)² ≤ 0; y = 2.

Таким образом, log_x+3 (3 – x) = 2 откуда (x – 3)² = 3 – x; x² + 7x + 6 = 0. Корни уравнения: х₁ = −6 и х₂ = −1.

Условию –3 < x < –2 или –2 < x < 3 удовлетворяет только х₂ = −1, это и есть единственный корень.

Область допустимых значений: x > 0, x ≠ 1.

Преобразуем уравнение:

$(3^{\log_{3}x})^{\log_{3}x}$ + $x^{\log_{3}x}$ < 6 ⇔ $x^{\log_{3}x}$ + $x^{\log_{3}x}$ < 6 ⇔ $x^{\log_{3}x}$ < 3.

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 3, 3 > 1, получим:

(log₃x)² – 1 < 0 ⇔ (log₃x +1)(log₃x– 1) < 0, log₃x = t, (t + 1)(t – 1) < 0 ⇔ –1 < t < 1,

$\begin{cases} x>0, x\neq 1, \\ -1 <\log_{3}x <1,\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x>0, x\neq 1, \\ \displaystyle \frac{1}{3} < x < 3, \end{cases}$ ⇔ x ∈ $(\displaystyle \frac{1}{3}; 1)$ ∪ (1; 3).

При x = 1, получим: $(3^{\log_{3}x})^{\log_{3}x}$ + $1^{\log_{3}1}$ < 6 ⇔ 1 + 1 < 6, значит, x = 1 является решением неравенства.

Получем итоговое пересечение: $(\displaystyle \frac{1}{3}; 3)$

$\log_{3}^2 x$ + 2 > 3log₃x ⇒ $\log_{3}^2 x$ – 3log₃x + 2 > 0.

ОДЗ: x > 0.

Воспользуемся методом введения новой переменной y = log₃x, получим:

y² – 3y + 2 > 0 ⇒(y – 1)(y – 2) > 0 ⇒ y ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞).

Вернемся к переменной х.

Получаем: log₃x < 1 или log₃x > 2.

При решении данных неравенств, учитывая ОДЗ, получаем промежутки (0; 3) ∪ (9; +∞).

При условии х ≠ 0 преобразуем неравенство:

lg(80 ∙ 4^x) ≥ lg(5^x – 11 ∙ 2^x) + $\displaystyle \frac{x}{1+\log_{5}2}$;

lg(80 ∙ 4^x) ≥ lg(5^x – 11 ∙ 2^x) + lg5^x.

Это неравенство имеет смысл если:

5^x – 11 ∙ 2^x > 0;

$(\displaystyle \frac{5}{2})^x$ > 11;

x > $\log_{\displaystyle \frac{5}{2}}11$.

При этом условии получаем:

80 ∙ 4^x ≥ 5^x ∙ (5^x – 11 ∙ 2^x);

25^x – 11 ∙ 10^x – 80 ∙ 4^x ≤ 0;

$(\displaystyle \frac{25}{4})^x$ – 11$(\displaystyle \frac{5}{2})^x$ – 80 ≤ 0.

Сделаем замену y = $(\displaystyle \frac{5}{2})^x$, получаем:

y² – 11y – 80 ≤ 0,

(y+5)(y-16) ≤ 0,

–5 ≤ y ≤ 16.

–5 ≤ $(\displaystyle \frac{5}{2})^x$ ≤ 16.

0< $(\displaystyle \frac{5}{2})^x$ ≤ 16.

Значит, x ≤ $\log_{\displaystyle \frac{5}{2}}16$.

Получаем в итоговый ответ:

$\log_{\displaystyle \frac{5}{2}}11$ < x ≤ $\log_{\displaystyle \frac{5}{2}}16$.

Перейдём к неравенству: log₅$(10^{2x+1}(4^x - \displaystyle \frac{1}{10}))$ ≤ log₅5^2x–1. Равносильный переход:

$\begin{cases} 4^x - \displaystyle \frac{1}{10} > 0; \\ 10^{2x+1}(4^x - \displaystyle \frac{1}{10})\leq 5^{2x-1}\end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

10 ∙ 10^2x ∙ $(4^x - \displaystyle \frac{1}{10})$ ≤ $\displaystyle \frac{5^{2x}}{5}$;

4^x ∙ $(4^x - \displaystyle \frac{1}{10}) \leq \displaystyle \frac{1}{50}$.

Сделаем замену y = 4^x:

y² – $\displaystyle \frac{1}{10}$y – $\displaystyle \frac{1}{50}$ ≤ 0;

–$\displaystyle \frac{1}{10}$ ≤ y ≤ $\displaystyle \frac{1}{5}$.

Учитывая первое неравенство системы, получаем:

$\displaystyle \frac{1}{10}$ < 4^x ≤ $\displaystyle \frac{1}{5}$.

x ∈ (–log₄10; –log₄5].

Решим первое неравенство:

log_2x+1(4x – 5) + $\displaystyle \frac{1}{\log_{2x+1}(4x-5)}$ ≤ 2.

Сделаем замену y = log_2x+1(4x – 5):

y + $\displaystyle \frac{1}{y}$ ≤ 2;

$\displaystyle \frac{(y-1)^2}{y}$ ≤ 0.

Откуда y = 1 или y < 0.

Если log_2x+1(4x – 5) = 1, то: $\begin{cases} 2x+1=4x-5, \\2x+1>0,\\2x+1\neq 1 \end{cases}$ Откуда х = 3.

Если log_2x+1(4x – 5) < 0, то (по методу рационализации):

$\begin{cases} \displaystyle \frac{4x-5-1}{2x+1-1} < 0, \\ 2x+1>0,\\ 4x-5>0, \\ 2x+1\neq 1;\end{cases}$ ⇒ $\begin{cases} \displaystyle \frac{4x-6}{x} < 0 \\ x > \displaystyle \frac{5}{4};\end{cases}$ ⇒ $\displaystyle \frac{5}{4}$ < x < $\displaystyle \frac{3}{2}$.

Решение неравенства: $\displaystyle \frac{5}{4}$ < x < $\displaystyle \frac{3}{2}$ или х = 3.

При условии х ≠ 0 преобразуем неравенство:

log₆4^x+3 ≥ log₆(3^x –3 ∙ 2^x+2) + $\displaystyle \frac{x}{1+x\log_{3}2^{\displaystyle \frac{1}{x}}}$ ;

log₆(64 ∙ 4^x) ≥ log₆(3^x –12 ∙ 2^x) + log₆3^x.

Это неравенство имеет смысл если:

3^x – 12 ∙ 2^x > 0;

$(\displaystyle \frac{3}{2})^x$ > 12;

x > log_3/212.

При этом условии получаем:

64 ∙ 4^x ≥ 3^x(3^x – 12 ∙ 2^x);

9^x – 12 ∙ 6^x – 64 ∙ 4^x ≤ 0;

$(\displaystyle \frac{9}{4})^x$ – 12$(\displaystyle \frac{3}{2})^x$ – 64 ≤ 0.

Сделаем замену y = $(\displaystyle \frac{3}{2})^x$, получаем: y² – 12y – 64 ≤ 0, откуда –4 ≤ y ≤ 16. Значит, x ≤ log_3/216.

Тогда в итоге: x ∈ $(\log_{\displaystyle \frac{3}{2}}12;\log_{\displaystyle \frac{3}{2}}16]$.

Перейдём к неравенству:

log_{3$(6^{x+1}(2^x - \displaystyle \frac{1}{6}))$} ≤ log₃3^x–1;

$\begin{cases} 2^x - \displaystyle \frac{1}{6}> 0, \\ 6^{x+1}(2^x - \displaystyle \frac{1}{6})\leq 3^{x-1}\end{cases}$

Упростим второе неравенство системы и введем замену y = 2^x:

y² – $\displaystyle \frac{1}{6}y$ – $\displaystyle \frac{1}{18}$ ≤ 0;

–$\displaystyle \frac{1}{6}$ ≤ y ≤ $\displaystyle \frac{1}{3}$.

Учитывая первое неравенство системы, получаем: $\displaystyle \frac{1}{6}$ < 2^x ≤ $\displaystyle \frac{1}{3}$.

x ∈ (–log₂6; –log₂3].

Пусть t = $7^{-x^2}$, 0 < t < 1, тогда неравенство принимает вид:

log₅(t – 6)(7⁹t – 1) + log₅$\displaystyle \frac{t-6}{7^9 \cdot t - 1}$ > log₅(7³t – 5)²; 7⁹t – 1 < 0. Значит:

$\begin{cases} \log_{5} (t-6)^2 > \log_{5}(343t - 5)^2 \\ 0 < t <7^{-9}\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} |t - 6| > |343t - 5|\\ 0 < t <7^{-9}\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 6-t>5-343t\\ 0 < t <7^{-9} \end{cases}$ ⇔ 0 < t < 7^–9.

Тогда $7^{-x^2}$ < 7^–9 ⇔ x² > 9. Отсюда x ∈ (–∞; –3) ⋃ (3; +∞).