Преобразуем неравенство, замечая, что 5 = $(\displaystyle \frac{1}{5})^{-1}$ = (0,2)⁻¹.

Получим неравенство: $(0,2)^{-x^2}$ · (0,2)^21x < (0,2)^19x−3 ⇔ $(0,2)^{-x^2 +21x}$ < (0,2)^19x−3.

Показательная функция с основанием 0,2 является убывающей на промежутке (−∞; +∞), значит, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента:

−x² + 21x > 19x − 3 ⇔ x² – 2x – 3 < 0 ⇔ (x + 1) · (x −3) < 0.

Рассмотрим три случая.

1-й случай, x – 2 > 1 ⇒ x > 3, получим систему:

$\begin{cases} x > 3, \\ x^2-6x+8>0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x > 3, \\ (x-2)(x-4) > 0 \end{cases}$

x ϵ (4; +∞).

2-й случай, 0 < x – 2 < 1 ⇔ 2 < x < 3, получим систему:

$\begin{cases} 2 < x < 3, \\ x^2 -6x + 8 0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 2 < x < 3, \\ (x-2)(x-4)< 0 \end{cases}$ ⇔  $\begin{cases} 2 < x < 3, \\ 2 < x < 4 \end{cases}$ ⇒ x ϵ (2; 3).

3-й случай, x – 2 = 1, x = 3, получим: 1⁻¹ > 1 ⇒ 1 = 1 — неравенство не выполняется.

Рассмотрим три случая:

1-й случай, если x − 3 > 1 ⇔ x > 4 ⇒ x ϵ (4; +∞). В этом случае функция является возрастающей: $\displaystyle \frac{x+1}{4}$ ≥ $\displaystyle \frac{x-2}{3}$ ⇔ 3x + 3 ≥ 4x − 8 ⇔ x ≤ 11. Получим систему неравенств:

$\begin{cases} x>4, \\x \leq 11, \end{cases}$ ⇒ x ϵ (4; 11].

2-й случай, если 0 < x − 3 < 1 ⇔ 3 < x < 4. Показательная функция, в этом случае, является убывающей, значит: $\displaystyle \frac{x+1}{4}$ ≤ $\displaystyle \frac{x-2}{3}$ ⇔ x ≥ 11.

Получим систему: $\begin{cases} 3 < x < 4, \\x \leq 11, \end{cases}$ Система не имеет решений.

3-й случай, если x − 3 = 1 ⇒ x = 4, неравенство примет вид: $1^{\displaystyle \frac{5}{4}}$ ≥ $1^{\displaystyle \frac{2}{3}}$ ⇒ 1 = 1, значит, x = 4 является решением неравенства.

Окончательно получим: x ϵ [4; 11].

Область допустимых значений: x ≥ 0.

Преобразуем неравенство:

$3^{\sqrt{x}} + \displaystyle \frac{3^{\sqrt{x}}}{3} - \displaystyle \frac{3^{\sqrt{x}}}{9}$ < 11 ⇔ $9\cdot 3^{\sqrt{x}}$ + $3\cdot 3^{\sqrt{x}}$ − $3^{\sqrt{x}}$ < 11 · 9 ⇔ $11\cdot 3^{\sqrt{x}}$ < 11 · 9 ⇔ $3^{\sqrt{x}}$ < 9 ⇒ √x < 2.

Получим систему:

$\begin{cases} x\geq 0, \\ x<4 \end{cases}$ ⇒ x ϵ [0; 4).

Для использования метода замены преобразуем имеющееся выражение.

2 ∙ 5^2x – 5 ∙ 5^x + 2 ≤ 0.

Пусть 5^x = t, t > 0, тогда: 2t² – 5t + 2 ≤ 0.

Разложим на множители левую часть:

2t² – 5t + 2= 0;

D = 25 – 16 = 9;

t₁ = 2, t₂ = $\displaystyle \frac{1}{2}$.

Получим неравенство: 2(t – 2) $(t - \displaystyle \frac{1}{2})$ ≤ 0.

По методу интервалов решение данного неравенства: $[\displaystyle \frac{1}{2}; 2]$.

Вернемся к переменной х.

$\begin{cases} 5^x \geq \displaystyle \frac{1}{2} \\ 5^x \leq 2 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 5^x \geq 5^{\log_{5}\displaystyle \frac{1}{2}} \\ 5^x \leq 5^{\log_{5}2} \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq \log_{5}\displaystyle \frac{1}{2} \\ x \leq \log_{5}2 \end{cases}$.

Решение неравенства: x ∈ $[\log_{5}\displaystyle \frac{1}{2} ; \log_{5}2 ]$.

Разделим обе части на 4^x:

$(\displaystyle \frac{3}{2})^{2x}$ – 2$(\displaystyle \frac{3}{2})^{x}$ – 3 ≤ 0.

Сделаем замену z = $(\displaystyle \frac{3}{2})^{x}$. Получаем:

z² – 2z – 3 ≤ 0;

–1 ≤ z ≤ 3.

Обратная замена дает: $(\displaystyle \frac{3}{2})^{x}$ ≤ 3; x ≤ log_1,53.

$9^{x+1} - 28\cdot 3^x + 3 \leq 0 \\ 9\cdot 9^{x} - 28\cdot 3^{x} + 3\leq 0 \\ 9\cdot (3^{x})^2 - 28\cdot 3^x + 3 \leq 0 \\ 3^x = t , \; t > 0 \\ 9t^2 - 28t + 3 \leq 0 \\ \begin{cases} t = \displaystyle \frac{14+13}{9} = 3 \\ t =\displaystyle \frac{14-13}{9} = \displaystyle \frac{1}{9} \end{cases} \\ 9(t - 3)(t-\displaystyle \frac{1}{9}) \leq 0 \\ \displaystyle \frac{1}{9} \leq t \leq 3 \\ \displaystyle \frac{1}{9} \leq 3^{x} \leq 3 \\ -2 \leq x \leq 1$