ОДЗ: x ≥ 0.

$\sqrt{2x+1} - \sqrt{x} \leq 1 $

$\sqrt{2x+1} \leq \sqrt{x} + 1 $

$\ 2x + 1 ≤ x + 1 + 2 \sqrt{x}    $

$\ x ≤ 2 \sqrt{x} $

$\ x^2 ≤ 4x $

$\ (x − 4)x ≤ 0 $

$\ 0 ≤ x ≤ 4 $

$\ 3\sqrt{x} - \sqrt{x+3} > 1  $

$\ 3 \sqrt{x} > \sqrt{x+3} + 1 $

$\ 9x > x+ 3+1+2\sqrt{x+3}  $

$\ 8x-4 > 2\sqrt{x+3} $

$\ 4x-2 > \sqrt{x+3}  $

$\begin{cases} (4x-2)^2>x+3, \\ x > \displaystyle \frac{1}{2} \end{cases} $

$\begin{cases} 16x^2-17x+1>0, \\x >\displaystyle \frac{1}{2} \end{cases} $

$\begin{cases} \left [ \begin{gathered} x > 1; \\ x < \displaystyle \frac{1}{16}, \\ \end{gathered} \right. \\ x >\displaystyle \frac{1}{2};\end{cases} $

$\ x > 1 $

1-й случай, если 2 + x < 0, тогда неравенство не имеет решений, так как левая часть принимает неотрицательные значения и не может быть меньше отрицательного выражения.

2-й случай, если 2 + x ≥ 0, тогда неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2+x \geq 0, \\ 3x^2+5x-2 \geq 0, \\ (\sqrt{3x^2 + 5x -2})^2 \leq (2+x)^2, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\geq -2, \\ 3(x+2)(x-\displaystyle \frac{1}{3}) \geq 0 , \\ 3x^2 + 5x -2 \leq 4+4x+x^2, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -2, \\ (x+2)(x-\displaystyle \frac{1}{3}) \geq 0, \\ 2x^2+x-6\leq 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\geq -2, \\ (x+2)(x-\displaystyle \frac{1}{3})\geq 0, \\ 2(x+2)(x-1,5)\leq 0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\geq -2, \\ (x+2)(x-\displaystyle \frac{1}{3}) \geq 0, \\ (x+2)(x-1,5) \leq 0 \end{cases} $

$x \in \lbrace -2 \rbrace \cup [\displaystyle \frac{1}{3}; 1,5]$

$\sqrt{x^2 - 3x}$ > 2x – 2 

$\begin{cases} \begin{cases} x-1<0 \\ x^2-3x \geq 0 \end{cases} \\ x^2-3x > 4x^2-8x+4; \end{cases}$

$\begin{cases}x \leq 0, \\ 3x^2 -5x + 4 <0;\end{cases}$ 

$\ x ≤ 0. $

$\sqrt{x} + \sqrt{x+1} \leq 3 \Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}\leq 9 -x-(x+1), \\ x \geq 0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2\sqrt{x(x+1)}\leq 8-2x, \\ x\geq 0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x(x+1)\leq (4-x)^2, \\ 0\leq x \leq 4; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9x \leq 16, \\ 0\leq x \leq 4; \Leftrightarrow 0\leq x \leq \displaystyle \frac{16}{9}\end{cases}$

$\sqrt{5-2x} + \sqrt{x-1} > 2$⇔ $2\sqrt{(5-2x)(x-1)}$ > $ 4 – (5 – 2x) – (x − 1) $ ⇔ $2\sqrt{(5-2x)(x-1)} > x $ ⇔

$\begin{cases} \begin{cases} (5-2x)(x-1) \geq 0 \\ x>0 \end{cases} \\ 4(5-2x)(x-1) > x^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{cases} 1 \leq x \leq \displaystyle \frac{5}{2}, \\ x > 0, \end{cases} \\ 9x^2 - 28x + 20 < 0; \Leftrightarrow \displaystyle \frac{D}{4} = 142 - 9\cdot 20 = 4 \cdot(72-9\cdot 5) = 4\cdot 4; \end{cases} \\ x_1 = \displaystyle \frac{14-4}{9} \quad x_2 = \displaystyle \frac{14+4}{9} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{10}{9} < x < 2$

Левая и правая части неравенства неотрицательны, поэтому достаточно потребовать, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, возвести обе части в четвертую степень и получить систему неравенств:

$\begin{cases} 2-x \geq 0, \\ x+10\geq 0, \\ (\sqrt{2-x})^4 > (\sqrt[4]{x+10})^4\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \leq 2, \\ x\geq -10, \\ 4-4x+x^2 > x + 10, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} -10 \leq x \leq 2, \\ x^2 -5x - 6 > 0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} -10 \leq x \leq 2, \\ (x+1)(x-6) >0 \end{cases}$

x ϵ [−10; −1).

Это иррациональное неравенство со знаком >. Оно равносильно совокупности двух систем:

(1) $\begin{cases} x-5 < 0, \\ x-3 \geq 0, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < 5, \\ x \geq 3, \end{cases}$ ⇔ 3 ≤ x < 5.

(2) $\begin{cases} x-5 \geq 0, \\ x-3 \geq 0, \\ x - 3 > x^2 -10x+ 25 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq 5, \\ x \geq 3, \\ x^2 -11x + 28 < 0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq 5, \\ (x-4)(x-7) < 0\end{cases}$

x ϵ [5; 7).

Объединяя решения двух систем, получим:[3; 5) ⋃ [5; 7) или [3; 7).