Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

(1) $\begin{cases} x+1 < 0, \\ -3x-3 \geq x +5 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < -1, \\ -4x\geq 8 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < -1, \\ x\leq -2 \end{cases}$ ⇒ x ≤ −2 или x ϵ (−∞; −2].

(2) $\begin{cases} x+1 \geq 0, \\ 3x+3\geq x+ 5 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq -1, \\ 2x \geq 2 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq -1, \\ x \geq 1 \end{cases}$ ⇒ x ≥ 1 или x [1; +∞).

Объединяя решения двух систем, получим: (−∞; −2] ⋃ [1; +∞).

Преобразуем неравенство:

25x² – 80x + 64 – 4│8 – 5x│ < 0;

(5x − 8)² − 4│5x − 8│ < 0.

Сделаем замену y = │5x − 8│. Получаем неравенство второй степени y² – 4y < 0, откуда 0 < y < 4.

Обратная замена дает: 0 < │5x − 8│ < 4, откуда 0,8 < x < 2,4 и $5x - 8 \neq 0 \rightarrow x\neq 1,6$

Решим неравенство │x + 2│ − x·│x│ ≤ 0. При любом x ≤ 0 неравенство │x + 2│ − x·│x │ ≤ 0 не выполняется.

При x > 0 неравенство равносильно неравенству x + 2 – x² ≤ 0 ⇔x² − x – 2 ≥ 0, решением, которого с учётом условия x > 0 является луч x ≥ 2.

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

(1) $\begin{cases} 2x+5 < 0, \\ -2x - 5\geq 7 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 2x < -5, \\ -2x \geq 12 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < -2,5, \\ x \leq -6 \end{cases}$ ⇒ x ≤ −6, т. е. x ϵ (−∞; −6].

(2) $\begin{cases} 2x+5 \geq 0, \\ 2x + 5\geq 7 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} 2x \geq -5, \\ 2x \geq 2 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq -2,5, \\ x \geq 1 \end{cases}$ ⇒ x ≥ 1, т. е. x ϵ [1; +∞).

Объединяя решения двух систем, получаем ответ.

Левая часть неравенства неотрицательна, а правая положительна. Возведем обе части неравенства в квадрат, получим:

(x² + 2x − 4)² > 4² ⇔ (x² + 2x − 4)² – 4² > 0 ⇔ (x² + 2x – 4 − 4) · (x² + 2x – 4 + 4) > 0 ⇔ (x² + 2x − 8) · (x² + 2x) > 0 ⇔

⇔ x · (x + 4) · (x − 2) · (x +2) > 0.

x ϵ (−∞; −4) ⋃ (−2; 0) ⋃ (2; +∞).

I способ

Преобразуем неравенство: 3 │x − 1│ > 7 – x².

Рассмотрим два случая. 1-й случай, если 7 – x² < 0:

x² – 7 > 0 ⇔ (x + √7) · (x − √7) > 0 ⇒ x ϵ (−∞; −√7) ⋃ (√7; +∞), тогда неравенство выполняется.

2-й случай, если 7 – x² ≥ 0, тогда неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 7-x^2 \geq 0, \\ (3(x-1))^2 \geq (7-x^2)^2 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x^2 -7 \leq 0, \\ (3(x-1))^2 - (7-x^2)^2 \geq 0\end{cases}$ ⇔ $\begin{cases}(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7}) \leq 0, \\ (3x-3+7-x^2)(3x-3-7+x^2) \geq 0\end{cases}$ ⇔

⇔ $\begin{cases}(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7}) \leq 0, \\ (x^2-3x -4)(x^2 +3x -10) \leq 0\end{cases}$

x ϵ [−√7; −1] ⋃ [2; √7].

Объединяя результаты решения в каждом из двух случаев, получаем:

x ϵ (−∞; −√7) ⋃ [−√7; −1] ⋃ [2; √7] ⋃ (√7; +∞), x ϵ (−∞; −1] ⋃ [2; +∞).

II способ

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

(1) $\begin{cases} x-1 < 0, \\ x^2 -3x + 3 - 7 > 0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < 1, \\ x^2 -3x + -4 > 0 \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x < 1, \\ (x+1)(x-4) > 0 \end{cases}$

Изобразим решения каждого из неравенств на числовой прямой, получим:

x ϵ (−∞; −1)

(2) $\begin{cases} x-1 \geq 0, \\ x^2 +3x -3-7 > 0, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq 1, \\ x^2 +3x -10 > 0, \end{cases}$ ⇔ $\begin{cases} x \geq 1, \\ (x+5)(x-2) > 0, \end{cases}$

Изобразим решения каждого из неравенств на числовой прямой, получим:

x ϵ (2; +∞).

Объединяя решения 1-й и 2-й систем, получаем: x ϵ (−∞; −1) ⋃ (2; +∞).