Мой прогресс

18. Параметр

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Функциональные методы решения

8 заданий
№1

Найти все значения параметра а, при которых уравнение log1−a $(2 - \cos x +\sin \displaystyle \frac{x}{2})$ = 2 имеет решение.

ответ

Область допустимых значений параметра определяется системой $\begin{cases} 1 -a > 0, \\ 1 - a \neq 1 \end{cases}$ Откуда a ϵ (−∞; 0) ⋃ (0; 1).

По свойствам логарифмической функции перепишем уравнение в виде 2 – cosx + sin$\displaystyle \frac{x}{2}$ = (1 − a)2.

Заменяя cosx = 1 – 2sin2$\displaystyle \frac{x}{2}$ и полагая t = sin$\displaystyle \frac{x}{2}$, получаем квадратное уравнение: 2t2 + t + 2aa2 = 0.

Это уравнение имеет два решения, если D = 8a2 – 16a + 1 ≥ 0, откуда с учётом ОДЗ получаем a ϵ (−∞; 0) ⋃ $(0; 1 - \displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}]$.

Найдём теперь, при каких значениях параметра а хотя бы один из корней этого уравнения будет принадлежать отрезку [−1; 1]. Так как ветви параболы f (t) = 2t2 + t + 2aa2 направлены вверх, вершина находится в точке t0 = −$\displaystyle \frac{1}{4}$, то корни располагаются симметрично относительно точки t = −$\displaystyle \frac{1}{4}$. Поэтому, если меньший корень лежит в промежутке [−1; 1], то больший — тем более. Таким образом, достаточно выяснить, при каких значениях параметра а больший корень параболы окажется в промежутке $[-\displaystyle \frac{1}{4}; 1]$. Это будет в том и только в том случае, если f (1) ≥ 0. Вычисляя f (1), получаем неравенство 3 + 2aa2 ≥ 0, которое справедливо при a ϵ [−1; 3]. Пересекая этот промежуток с предыдущим, получаем a ϵ [−1; 0) ⋃ $(0; 1 - \displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}]$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

Найдите все значения параметра b , при которых уравнение

$b^2 x^2 -b\cdot tg(\cos x) + 1 = 0 $

имеет только одно решение.

ответ

Мы видим, что это уравнение содержит сложную функцию: tg(cosx), к тому же в это уравнение входит функция x2. То есть в одном уравнении две очень разнородные функции. Кажется, обычными методами мы его решить не сможем. Как же подступиться к решению этой задачи? Во-первых, мы отмечаем для себя, что нам нужно найти значение параметра b, при котором уравнение имеет единственное решение. Эти два факта: сложное нерешаемое уравнение и требование единственности решения, являются для нас знаком, что возможно, в этом уравнении присутствует симметрия. Давайте проверим.

Если сделать замену: x ⇒ –x, то x2 ⇒ (–x)2 = x2 и cos(x) ⇒ cos(–x) = cosx ― ничего не меняется. Значит уравнение симметрично относительно замены x ⇒ –x. А это значит, что если число a является корнем уравнения, то число –a тоже является корнем уравнения. Значит, уравнение будет иметь единственное решение, только если x = 0.

Найдем b подставляя x = 0 в исходное уравнение: –btg(cos0) + 1 = 0, откуда b = ctg1.

Но это не является еще полноценным решением. Потому что мы нашли необходимое условие того, чтобы у уравнения было единственное решение. Требуется еще проверить, не возникает ли при таком b дополнительных корней уравнения, таким образом мы докажем достаточность.

Подставим полученное b в исходное уравнение: ctg21 ∙ x2 – ctg1 ∙ tg(cosx) + 1 = 0.

И представим его в следующем виде: $\displaystyle \frac{tg (\cos x)}{tg 1}$ = 1 + $\displaystyle \frac{x^2}{tg^2 1}$.

Тангенс является возрастающей функцией на интервале $\big( -\displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2} \big)$. Косинус, являющийся аргументом тангенса, принимает значение из отрезка [–1; 1], а этот отрезок лежит внутри интервала $\big( -\displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{\pi}{2} \big)$. Следовательно, справедливо неравенство tg(cosx) ≤ tg1, то есть левая часть уравнения: $\displaystyle \frac{tg (\cos x)}{tg 1}$ = 1 + $\displaystyle \frac{x^2}{tg^2 1}$, не превосходит единицу, в тоже время правая часть не меньше 1, и равенство возможно лишь в том случае, когда обе части равны 1, то есть при x = 0.

Итак, мы показали, что условие b = ctg1 является достаточным и необходимым для того, чтобы у исходного уравнения было единственное решение.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

Найдите все значения параметра a, при которых система

$\begin{cases} ax^2 + a - 1 = y - |sin x| \\ tg^2x + y^2 = 1\end{cases}$

имеет единственное решение.

ответ

Система не меняет своего вида при замене x на –x; значит, если решением системы является пара чисел (x0, y0),то пара чисел (–x0, y0) тоже являются решением системы. Значит, решение будет единственным, только в случае, если x = 0. Как и в предыдущей задаче найдем для этого необходимое условие (подставим в исходную систему x = 0) $\begin{cases} a - 1 = y \\ y^2 = 1\end{cases}$. Решая систему, получим два возможных варианта:

y = 1, a = 2;

y = –1, a = 0.

Теперь, рассмотрим достаточность этих решений:

Если a = 2, то система примет вид: $\begin{cases} 2x^2 + 1 = y - |sin x| \\ tg^2x + y^2 = 1\end{cases}$.

Обратим внимание, что из второго уравнения следует, что y ≤ 1.Значит правая часть первого уравнения y – │sinx│ ≤ 1, но левая часть того же уравнения 2x2 + 1 ≥ 1, значит решение возможно, только если x = 0, и 1 = y.

Значит a = 2 ― значение параметра, при котором система имеет единственное решение (0; 1).

Если a = 0, то система примет вид: $\begin{cases} - 1 = y - |sin x| \\ tg^2x + y^2 = 1\end{cases}$.

Но sin(0) = tg(0) = sin(π) = tg(π) = 0,поэтому у системы будут как минимум три решения: (0; –1), (π; –1), (–π; –1). Значит условие a = 0 не является достаточным.

Итого, условие выполняется, только при значении 2.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$x^2 + (2-a)^2 = |x-2+a| + |x-a+2|$

имеет единственный корень.

ответ

Обратим внимание на нужное количество корней: нужен случай, когда корень единственный.

В таких случаях обращаем внимание на чётность функции. Подставим (-х).

$(-x)^2 + (2-a)^2 = |(-x)-2+a| + |(-x)-a+2| \\ x^2 + (2-a)^2 = |-x -2 + a| + |-x -a + 2| \\ x^2 + (2-a)^2 = |x+2-a| + |x + a - 2| \\ x^2 + (2-a)^2 = |x+a-2| + |x + 2 - a| \\ x^2 + (2-a)^2 = |x-2+a| + |x - a + 2|$

С помощью преобразований и перестановок привели данное уравнение к тому, что написано в условии. Значит, если является корнем уравнения, тогда и - является корнем.

Значит, уравнение будет иметь нечетное число корней (в том числе единственный корень) только тогда, когда он равен 0.

Подставим в уравнение.

Будем решать это уравнение как обычное уравнение с модулем.

$0^2 + (2-a)^2 = |0-2+a| + |0-a+2| \\ (2-a)^2 = |-2 + a| + |-a + 2| \\ (2-a)^2 = |a-2| + |2-a| \\ (a-2)^2 = |a-2| + |a-2| \\ (a-2)^2 = 2|a - 2| \\ (a -2 )^2 - 2|a - 2| = 0 \\ |a-2|(|a-2| - 2) = 0 \rightarrow \begin{cases} |a-2| = 0 \\ |a-2| = 2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a = 2 \\ a = 4 \\ a = 0 \end{cases}$

Подставим эти значения в изначальное уравнение и проверим.

$x^2 + (2-a)^2 = |x - 2 + a| + |x-a + 2| \\ a = 2 \\ x^2 + (2-2)^2 = |x-2+2| + |x-2+2| \\ x^2 = |x| + |x| \\ x^2 = 2|x| \\ x^2 - 2|x| = 0 \\ |x|(|x| - 2) = 0 \rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \\ x = -2 \end{cases}$

Уравнение имеет три корня.

$a = 4 \\ x^2 + (2-4)^2 = |x - 2+4| + |x - 4 +2| \\ x^2 + 4 = |x + 2| + |x - 2| \\ \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 + 4 = -x - 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 + x - 2\end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 +2x +4 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 -2x +4 = 0 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ \oslash \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \rightarrow x = 0\\ \begin{cases} x > 2 \\ \oslash \end{cases} \end{cases}$

Уравнение имеет один корень.

$a = 0 \\ x^2 + (2-0)^2 = |x - 2+0| + |x - 0 +2| \\ x^2 + 4 = |x - 2| + |x + 2| \\ x^2 + 4 = |x + 2| + |x - 2| \\ \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 + 4 = -x - 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 + x - 2\end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 +2x +4 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 -2x +4 = 0 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ \oslash \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \rightarrow x = 0\\ \begin{cases} x > 2 \\ \oslash \end{cases} \end{cases}$

Уравнение имеет один корень.

Итак, уравнение имеет один корень при а=0 и а=4.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$x^4 + (a-3)^2 = |x - a + 3| + |x + a - 3|$

имеет единственное решение.

ответ

Проверим данное уравнение на чётность, подставив корень х=-х.

$(-x)^4 + (a-3)^2 = |(-x) -a + 3| + |(-x) + a - 3| \\ x^4 + (a-3)^2 = |-x -a + 3| + |-x +a-3| \\ x^4 + (a-3)^2 = |x+a-3| + |x-a+3| \\ x^4 + (a-3)^2 = |x-a+3| + |x+a - 3| $
С помощью преобразований и перестановок привели данные уравнения к тому, что написано в условии. Значит, если $x_0$ является корнем уравнения, тогда и $-x_0$ является корнем. Значит, уравнение будет иметь нечетное число корней (в том числе единственный корень) только тогда, когда он равен 0.
Подставим $x_0 = 0$ в уравнение.
$0^4 + (a-3)^2 = |0-a+3| + |0+a-3| \\ (a-3)^2 = |-a+3| + |a-3| \\ (a-3)^2 = |a-3| + |a-3| \\ (a-3)^2 = 2|a-3| \\ (a-3)^2 - 2|a-3| = 0 \\ \rightarrow \begin{cases} |a - 3| = 0 \\ |a-3| = 2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a - 3 = 0 \\ a-3 = 2 \\ a-3 = -2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a = 3\\ a = 5 \\ a = 1 \end{cases} \rightarrow$

 

Подставим эти значения в уравнение.

$a = 3 \\ x^4 + (3-3)^2 = |x - 3 +3| + |x +3 -3| \\ x^4 = |x| + |x| \\ x^4 = 2|x| \\ x^4 - 2|x| = 0 \\ |x|(|x|^3 - 2) = 0 \rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 2^{\displaystyle \frac{1}{3}} \\ x = -2^{\displaystyle \frac{1}{3}} \end{cases} $

Уравнение имеет три корня, что не подходит по условию.

$a = 5 \\ x^4 + (5-3)^2 = |x-5+3| + |x + 5 -3| \\ x^4 + 4 = |x-2| + |x+2| \\ \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 + 4 = -x - 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 + x - 2\end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 +2x +4 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 -2x +4 = 0 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ \oslash \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \rightarrow x = 0\\ \begin{cases} x > 2 \\ \oslash \end{cases} \end{cases}$

Уравнение имеет один корень.

 

$a = 1 \\ x^4 + (1-3)^2 = |x-1+3| + |x + 1 -3| \\ x^4 + 4 = |x-2| + |x+2| \\ \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 + 4 = -x - 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 + x - 2\end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 +2x +4 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 -2x +4 = 0 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ \oslash \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \rightarrow x = 0\\ \begin{cases} x > 2 \\ \oslash \end{cases} \end{cases}$

Уравнение имеет один корень.

Итак, нашли 2 граничных значения: 1 и 5. В них единственный корень.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$x^2 + (a+4)^2 = |x-4-a| + |x+a+4|$

имеет единственный корень.

ответ

Обратим внимание на нужное количество корней: нужен случай, когда корень единственный.

В таких случаях обращаем внимание на чётность функции. Подставим (-х).

$(-x)^2 + (a+4)^2 = |(-x) -4-a| + |(-x) +a+4| \\ x^2 +(a+4)^2 = |-x-4-a| + |-x+a+4| \\ x^2 + (a+4)^2 = |x+4+a| + |x-a-4| \\ x^2 + (a+4)^2 = |x-a-4| + |x + 4+a| \\ x^2 +(a+4)^2 = |x-4-a| + |x+a+4|$

С помощью преобразований и перестановок привели данное уравнение к тому, что написано в условии. Значит, если x0 является корнем уравнения, тогда и - x0 является корнем.

Значит, уравнение будет иметь нечетное число корней (в том числе единственный корень) только тогда, когда он равен 0.

Подставим $x_0 = 0$ в уравнение.

Будем решать это уравнение как обычное уравнение с модулем.

$0^2 + (a+4)^2 = |0-4-a| + |0+a+4| \\ (a + 4)^2 = |-4-a| + |a+4| \\ (a+4)^2 = |a+4| + |a+4| \\ (a+4)^2 = 2|a+4| \\ (a+4)^2 - 2|a+4| = 0 \\ \rightarrow \begin{cases} |a+4| = 0 \\ |a+4| = 2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a = -4 \\ a = -2 \\ a = -6 \end{cases}$

Подставим эти значения в изначальное уравнение и проверим.

$x^2 + (a+4)^2 = |x-4-a| + |x+a+4| \\ a = -4 \\ x^2 + (-4+4)^2 = |x-4+4| + |x-4+4| \\ x^2 = |x| + |x| \\ x^2 = 2|x| \\ x^2 - 2|x| = 0 \\ |x|(|x| - 2) = 0 \rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \\ x = -2 \end{cases}$

Уравнение имеет три корня.

$a = -2 \\ x^2 + (-2+4)^2 = |x-4+2| + |x -2 +4| \\ x^2 + 4 = |x-2| + |x+2| \\ \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 + 4 = -x - 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 + x - 2\end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 +2x +4 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 -2x +4 = 0 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ \oslash \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \rightarrow x = 0\\ \begin{cases} x > 2 \\ \oslash \end{cases} \end{cases}$

Уравнение имеет один корень.

$a = -6 \\ x^2 + (-6+4)^2 = |x-4+6| + |x -6 +4| \\ x^2 + 4 = |x-2| + |x+2| \\ \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 + 4 = -x - 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 - x + 2\end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 + 4 = x + 2 + x - 2\end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ x^2 +2x +4 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x > 2 \\ x^2 -2x +4 = 0 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} x < -2 \\ \oslash \end{cases} \\ \begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ x^2 = 0 \end{cases} \rightarrow x = 0\\ \begin{cases} x > 2 \\ \oslash \end{cases} \end{cases}$

Уравнение имеет один корень.

Итак, уравнение имеет один корень при а = -2 и а = -6.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№7

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x) = 4x^2 -4ax + a^2 +2a + 2$ на множестве $|x| \geq 1 $ не меньше 6.

ответ

$f(x) = 4x^2 -4ax + a^2 +2a + 2 \\ f'(x) =8x -4a$

$f'(x) = 0 \rightarrow 8x -4a = 0 \rightarrow 8x = 4a \rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{2} a$- точка экстремума.

Так как $f(x) = 4x^2 -4ax + a^2 +2a + 2$ - квадратичная функция, у которой только одна точка экстремума, и она находится в вершине параболы, следовательно, глобально наименьшее значение функции достигается в точке $x = \displaystyle \frac{1}{2}a$.

Найдём значение функции в этой точке:

$f(\displaystyle \frac{a}{2}) = 4(\displaystyle \frac{a}{2})^2 -4a(\displaystyle \frac{a}{2}) + a^2 + 2a+2 = 4\displaystyle \frac{a^2}{4} - 4\displaystyle \frac{a^2}{2} + a^2 +2a + 2 = a^2 -2a^2 +a^2 + 2a + 2 = 2a + 2$

Необходимо найти наименьшее значение функции на множестве $|x| \geq 1$.

$|x| \geq 1 \leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq -1\end{cases}$

Тогда мы понимаем, что это значение достигается либо в точке $x = \displaystyle \frac{1}{2}a$, либо в точке 1, либо в точке -1.

Также требуется, чтобы наименьшее значение функции было не меньше 6, значит, на заданном промежутке все значения функции не меньше 6, в том числе и в граничных точках:

$\begin{cases}f(1) =4\cdot 1 -4a\cdot1 + a^2 + 2a + 2 \geq 6 \\ f(-1) = 4\cdot(-1)^2 - 4a\cdot(-1) + a^2 + 2a + 2 \geq 6 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}f(1) =4 -4a + a^2 + 2a + 2 \geq 6 \\ f(-1) = 4+ 4a + a^2 + 2a + 2 \geq 6 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}f(1) = a^2 - 2a \geq 0 \\ f(-1) = a^2 + 6a \geq 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}f(1) = a(a-2) \geq 0 \\ f(-1) = a(a+6) \geq 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} a\leq 0 \\ a \geq 2 \end{cases} \\ \begin{cases} a \leq -6 \\ a \geq 0 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a \leq -6 \\ a \geq 2 \\ a = 0 \end{cases}$

Рассмотрим все три случая отдельно.

Если $a \leq -6$:

$x = \displaystyle \frac{1}{2}a \leq \displaystyle \frac{1}{2}\cdot (-6) = -3 \rightarrow x \leq -3$, то есть наименьшее значение функции достигается в точке $x = \displaystyle \frac{1}{2}a$.

$f(\displaystyle \frac{a}{2}) = 2a + 2 \leq 2\cdot (-6) + 2 \\ f(\displaystyle \frac{a}{2}) \leq -10$

В этих точках наименьшее значение функции меньше -10 и тем более меньше 6, что не удовлетворяет условию.

Если :

$x = \displaystyle \frac{1}{2}a \geq \displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2 \rightarrow x \geq 1$, то есть наименьшее значение функции достигается в точке $x = \displaystyle \frac{1}{2}a$.

$f(\displaystyle \frac{a}{2}) = 2a + 2 \geq 2\cdot 2 + 2 \\ f(\displaystyle \frac{a}{2}) \geq 6$

В этих точках наименьшее значение функции не меньше 6, что удовлетворяет условию.

Если a=0:

$f(x) = 4x^2 + 2 = 2(2x^2 + 1) = 4(x^2 + \displaystyle \frac{1}{2})$

Наименьшее значение достигается в точке $x = \displaystyle \frac{1}{2}a = 0$, что не лежит в промежутке из условия. Тогда либо в точке 1, либо в точке -1.

$f(1) = 4(1^2 + \displaystyle \frac{1}{2}) = 6$, что подходит по условию.

$f(-1) = 4((-1)^2 + \displaystyle \frac{1}{2}) = 6$, что подходит по условию.

Таким образом, нужные значения параметра – это все и 0.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№8

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x) = 4x^2 +4ax + a^2 -2a + 2$ на множестве $|x| \geq 1$ не меньше 6.

ответ

$f(x) = 4x^2 +4ax + a^2 -2a + 2 \\ f'(x) =8x +4a$
$f'(x) = 0 \rightarrow 8x +4a = 0 \rightarrow 8x = -4a \rightarrow x=-\displaystyle \frac{1}{2} a$- точка экстремума.

Так как $f(x) = 4x^2 +4ax + a^2 -2a + 2$ - квадратичная функция, у которой только одна точка экстремума, и она находится в вершине параболы, следовательно, глобально наименьшее значение функции достигается в точке $x = -\displaystyle \frac{1}{2}a$.

Найдём значение функции в этой точке:

$f(-\displaystyle \frac{a}{2}) = 4(-\displaystyle \frac{a}{2})^2 +4a(-\displaystyle \frac{a}{2}) + a^2 - 2a+2 = 4\displaystyle \frac{a^2}{4} - 4\displaystyle \frac{a^2}{a} + a^2 -2a + 2 = a^2 -2a^2 +a^2 - 2a + 2 = -2a + 2$

Необходимо найти наименьшее значение функции на множестве $|x| \geq 1$..

$|x| \geq 1 \leftrightarrow \begin{cases} x \geq 1 \\ x \leq -1\end{cases}$

Тогда мы понимаем, что это значение достигается либо в точке $x = -\displaystyle \frac{1}{2}a$, либо в точке 1, либо в точке -1.

Также требуется, чтобы наименьшее значение функции было не меньше 6, значит, на заданном промежутке все значения функции не меньше 6, в том числе и в граничных точках:

$\begin{cases}f(1) =4\cdot 1 +4a\cdot1 + a^2 - 2a + 2 \geq 6 \\ f(-1) = 4\cdot(-1)^2 + 4a\cdot(-1) + a^2 - 2a + 2 \geq 6 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}f(1) =4 +4a + a^2 - 2a + 2 \geq 6 \\ f(-1) = 4-4a + a^2 - 2a + 2 \geq 6 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}f(1) = a^2 + 2a \geq 0 \\ f(-1) = a^2 - 6a \geq 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases}f(1) = a(a+2) \geq 0 \\ f(-1) = a(a-6) \geq 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \begin{cases} a\leq -2 \\ a \geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} a \leq 0 \\ a \geq 6 \end{cases} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a \leq -2 \\ a \geq 6 \\ a = 0 \end{cases}$

Рассмотрим все три случая отдельно.

Если $a \leq -2$:

$x = -\displaystyle \frac{1}{2}a \geq -\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (-2) = 1 \rightarrow x \geq 1$, то есть наименьшее значение функции достигается в точке

$x = -\displaystyle \frac{1}{2}a$

$f(-\displaystyle \frac{a}{2}) = -2a + 2 \geq 2\cdot (-2) + 2 \\ f(-\displaystyle \frac{a}{2}) \geq 6$

В этих точках наименьшее значение функции не меньше 6, что удовлетворяет условию.

Если $a \geq 6$:

$x = -\displaystyle \frac{1}{2}a \leq -\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6 \rightarrow x \leq -3$

$x = -\displaystyle \frac{1}{2}a$

$f(-\displaystyle \frac{a}{2}) =- 2a + 2 \leq -2\cdot 6 + 2 \\ f(-\displaystyle \frac{a}{2}) \leq -10$

В этих точках наименьшее значение функции меньше -10 и тем более меньше 6, что не удовлетворяет условию.

Если a = 0:

$f(x) = 4x^2 + 2 = 2(2x^2 + 1) = 4(x^2 + \displaystyle \frac{1}{2})$

Наименьшее значение достигается в точке $x = -\displaystyle \frac{1}{2}a = 0$, что не лежит в промежутке из условия. Тогда либо в точке 1, либо в точке -1.

$f(1) = 4(1^2 + \displaystyle \frac{1}{2}) = 6$, что подходит по условию.

$f(-1) = 4((-1)^2 + \displaystyle \frac{1}{2}) = 6$, что подходит по условию.

Таким образом, нужные значения параметра – это все $a \leq -2$ и 0.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно