18. Параметр

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Графические методы решения

11 заданий
№1

При каких а уравнение │x2 – 2x – 3 │ – 2a = │xa │ – 1 имеет ровно три корня?

ответ

Запишем уравнение в виде │x2 – 2x – 3│ = │xa│ + 2a – 1.

Построим график функции y = │x2 – 2x – 3│ и график функции y = │xa│ + 2a – 1. Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два ― при одном из них график правой части проходит через точку (–1; 0) при другом ― касается отражённого участка параболы.

Первое, очевидно, происходит при a = 0, а второе ― когда уравнение 3 + 2xx2 = 3a – 1 – x имеет единственный корень. Приравнивая дискриминант к нулю, находим a = $\displaystyle \frac {25}{12}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\left\{ \begin{array}{l} \left\vert 3x-y+2\right\vert \leq 12 \\ (x-3a)^{2}+(y+a)^{2}=3a+4 \end{array} \right. $

имеет единственное решение.

ответ

Преобразуем систему: $\left\{ \begin{array}{l} -14\leq 3x-y\leq 10 \\ (x-3a)^{2}+(y+a)^{2}=3a+4 \end{array} \right. $

Неравенство –14 ≤ 3xy ≤ 10 задаёт на плоскости полосу, граница которой ― пара параллельных прямых: 3xy = – 14 и 3xy = 10.

Если a < $\displaystyle \frac {4}{3}$, то система не имеет решений, поскольку правая часть второго уравнения становится отрицательной. Если a = –$\displaystyle \frac {4}{3}$, то уравнение принимает вид $(x+4)^{2}+\left( y-\displaystyle \frac{4}{3}\right) ^{2}=0$ и задает единственную точку $\left( -4;\displaystyle \frac{4}{3}\right) $, координаты которой удовлетворяют неравенству $\left\vert -12-\displaystyle \frac{4}{3}+2\right\vert =\displaystyle \frac{34}{3} < 12$

Следовательно, при a = –$\displaystyle \frac {4}{3}$ система имеет единственное решение.

Рассмотрим случай a > –$\displaystyle \frac {4}{3}$.

Тогда уравнение (x – 3a)2 + (y + a)2 = 3a + 4 определяет окружность радиусом $r=\sqrt{3a+4}$.

Центр M (3a; –a) окружности лежит на прямой $y=-\displaystyle \frac{1}{3}x$ ,

Прямые $y=-\displaystyle \frac{1}{3}x$ и $y=3x$ перпендикулярны, так как $k_{1}k_{2}=-1$ ($k_{1},k_{2}$ - коэффициент при $x$).

Зачит, $y=-\displaystyle \frac{1}{3}x$ перепендикуляр на и граничн ым прямым полосы и пересекает их в точках $A(-4,2;1,4)$ и $B(3;-1).$ Действительно:

$\begin{array}{ll} -\displaystyle \frac{1}{3}x=3x-10, & -\displaystyle \frac{1}{3}x=3x+14 \\ x=3,y=-1; & x=-4,2;y=1,2\end{array}$

Система имеет единственное решение, если только окружность касается полосы в точке A или в точке B внешним образом.

Точка A не подходит так как тогда:

$(4,2+3a)^{2}+(1,4+a)^{2}=3a+4$

$10a^{2}+8,2a+15,6=0$

$D<0$

Пусть окружность касается полосы в точке B, только если а > 1 (при таком a центр окружности лежит в точке (3; -1), то есть на границе области). Получаем:

(3 – 3a)2 + (–1 + a)2 = 3a + 4;

10a2 – 23a + 6 = 0.

Корни: а = 2, а = 0,3.

Условию а > 1 удовлетворяет только первый корень.

Тогда получаем 2 варианта: –$\displaystyle \frac{4}{3}$, 2.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

$\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=4 \\ y=ax-4 \end{array} \right. $

имеет более одного решения.

ответ

Способ 1. Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом 2. Второе уравнение ― уравнение пучка прямых, проходящих через точку А (0; –4) (рис. 1).

Единственное решение системы уравнений (2) будет иметь при a = ±a, когда прямая y = ax – 4 касается окружности

x2 + y2 = 4. Поскольку a = tgα, то из прямоугольного треугольника ОВА находим: $tg\alpha =\displaystyle \frac{AB}{OB},$ , но OB = 2, $AB=\sqrt{OA^{2}-OB^{2}},$, $AB=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$ и потому tgα = √3.

Очевидно, что при a < –√3 и a > √3 система (2) будет иметь два решения (прямая АВ будет пересекать окружность в двух точках).

Способ 2. Значения параметра (±a), при которых прямая y = ax – 4 является касательной к окружности, находим из условия касания графиков функций y1(x) и y2(x): $\left\{ \begin{array}{l} y_{1}(x)=y_{2}(x) \\ y_{1}^{\prime }(x)=y_{2}^{\prime }(x) \end{array} \right. ,$ где <$y_{1}(x)=-\sqrt{4-x^{2}}$; y2(x) = ax – 4. Имеем $\left\{ \begin{array}{l} -\sqrt{4-x^{2}}=ax-4, \\ \displaystyle \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=a. \end{array} \right. $ (3).

Заменяя в первом уравнении а на $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ , получаем $-\sqrt{4-x^{2}}=\displaystyle \frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}-4$. Решая это уравнение, находим x = ±√3 и из второго уравнения системы (3) ― a = ±√3. Значения параметра а, при которых система уравнений (2) имеет более одного решения (два решения ― см. рис. 1), лежат на лучах (–∞; –√3) и (√3; +∞).

Способ 3. Значения параметра a, при которых система уравнений (2) имеет единственное решение, могут быть найдены из условия единственности решения уравнения x2 + (ax – 4)2 = 4 ⇔ x2(1 + a2) – 8ax + 12 = 0.

Поскольку это квадратное уравнение относительно переменной x с коэффициентом 1 + a2 ≠ 0 при x2, то единственное решение это уравнение будет иметь тогда и только тогда, когда Dx = 0 ⇔ 64a2 – 48(1 + a2) = 0 ⇒ a* = ±√3.

Получаем искомые значения параметра: a ∈ (―∞; ―√3) ∪ (√3; +∞).

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\left\{ \begin{array}{l} \left\vert x+2y+1\right\vert \leq 11 \\ (x-a)^{2}+(y-2a)^{2}=2+a\end{array}\right. $

имеет единственное решение.

ответ

Преобразуем систему: $\left\{ \begin{array}{l} -12\leq x+2y\leq 10 \\ (x-a)^{2}+(y-2a)^{2}=2+a \end{array} \right. $. Неравенство –12 ≤ x + 2y ≤ 10 задаёт на плоскости полосу, граница которой ― пара параллельных прямых: x + 2y = 10 и x + 2y = –12.

Если a < –2, то система не имеет решений, поскольку часть уравнения становится отрицательной. Если a = –2, то уравнение принимает вид (x + 2)2 + (y + 4)2 = 0 и задает единственную точку (–2; –4), координаты которой удовлетворяют неравенству │–2 – 8 + 1│ = 9 < 11.

Следовательно, при a = –2 система имеет единственное решение.

Рассмотрим случай a > –2. Тогда уравнение (xa)2 + (y – 2a)2 = 2 + a определяет окружность радиусом $r=\sqrt{2+a}$.

Центр M (a; 2a) окружности лежит на прямой y = 2x, которая перпендикулярна граничным прямым, так как $k_{1}k_{2}=2\cdot \left( -\displaystyle \frac{1}{2}\right) =-1$. Границы полосы пересекаются с этой прямой в точках A (–2,4; –4,8) и B (2; 4).

$ \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} x+2y=10 \\ y=2x \end{array} \right. & \left\{ \begin{array}{l} x+2y=10 \\ y=2x \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x+2y=-12 \\ y=2x \end{array}\right. & \left\{ \begin{array}{l} x=-2,4 \\ y=-4,8 \end{array} \right. \end{array} $

Система имеет единственное решение, если только окружность касается полосы в точке A или в точке B внешним образом. Если точка касания A, то a < –2,4, что невозможно.

Окружность касается полосы в точке B, только если а > 2 и MB = r. Получаем: (a – 2)2 + (2a –4)2 = 2 + a, 5a2 – 21a + 19 = 0. Корни: а = 3, а = 1,2.

Условию а > 2 удовлетворяет только корень а = 3.

Итого получаем значения -2 и 3.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$ax+\sqrt{-7-8x-x^{2}}=2a+3$

имеет единственный корень.

ответ

Преобразуем наше уравнение.

$\sqrt{-7-8x-x^{2}}=2a+3-ax$

Разобьем на две функции:

$y=\sqrt{-7-8x-x^{2}}$ и $g=2a+3-ax$

Поработаем с каждой функцией отдельно.

$y=\sqrt{-7-8x-x^{2}}\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\geq 0 \\ y^{2}=-7-8x-x^{2} \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\geq 0 \\ y^{2}+7+8x+x^{2}=0 \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\geq 0 \\ y^{2}+x^{2}+8x+16-9=0 \end{array} \right. \leftrightarrow $

$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\geq 0 \\ y^{2}+(x+4)^{2}=9 \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y\geq 0 \\ (x+4)^{2}+y^{2}=9 \end{array} \right. $

$y=\sqrt{-7-8x-x^{2}}$ - уравнение полуокружности с центром в точке $(-4;0)$ и радиусом 3.

$g=2a+3-ax$

$g=-ax+2a+3$

$g=a(2-x)+3$

$g=-ax+2a+3$– пучок прямых, проходящих через точку (2;3).

Нам необходим единственный корень.

Заметим, что если прямая $g=-ax+2a+3$ проходит через точку (-1;0) (1 случай), то только одно пересечение. Также одно решение в точке (-4;3) (2 случай), когда прямая касается окружности.

Также будет по одному пересечению т точки (-7;0) до точки (-1;0), исключая концы (3 случай).

Рассмотрим все эти случаи.

Объединяем полученные ответы.

1 случай

прямая $g=-ax+2a+3$ проходит через точку $(-1;0).$ Подставим в уравнение точку:

$0=a+2a+3$

$a=-1$

2 случай

прямая $g=-ax+2a+3$ проходит через точку $(-4;3)$

Подставим в уравнение точку:

$3=4a+2a+3$

$a=0$

3 случай

прямая $g=-ax+2a+3$ проходит через промежуток $x\in (-7;-1)$ и $y=0$

$-ax+2a+3=0$

$-ax=-2a-3$

$ax=2a+3$

$x=\displaystyle \frac{2a+3}{a}$

$-7< x < -1$

$-7 < \displaystyle \frac{2a+3}{a} < -1$

$a < 0,$ так как прямые с положительным оси $Ox$ образуют острый угол

$-1a < 2a+3 < -7a$

$\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a+3>-a \\ -7a>2a+3 \end{array}\right. $

$\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a>-3 \\ -9a>3 \end{array} \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a>-1 \\ a < -\displaystyle \frac{1}{3} \end{array}\right. $ $a\in (-1;\displaystyle \frac{1}{3})$

Итого получаем значения: $0;(-\displaystyle \frac{1}{3};1]$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых на отрезке [0, 1] существует хотя бы одно число х, удовлетворяющее неравенству a + │a + 1 – x│ ≤ 3xx2 – 1.

ответ

Преобразуем неравенство:

a + │a + 1 – x│ ≤ 3xx2 – 1;

x – (a + 1) │ ≤ 3xx2a – 1;

$\left\{ \begin{array}{l} x-a-1\leq 3x-x^{2}-a-1 \\ x-a-1\geq -3x+x^{2}+a+1 \end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l} x(x-2)\leq 0 \\ a\leq -\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}+2x-1 \end{array} 0\right. $

Неравенство x (x – 2) < 0 определяет на плоскости Oxa полосу, заключённую между прямыми x = 0 и x = 2.

Неравенство $a\leq \displaystyle \frac{1}{2}x^{2}+2x-1$ задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.

На рисунке видно, что на отрезке [0; 1] есть x, удовлетворяющие неравенству, только если a ≤ 0,5.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№7

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на интервале (1;2) существует хотя бы одно число х, не удовлетворяющее неравенству $a+\sqrt{a^{2}-2ax+x^{2}}\leq 3x-x^{2}$

ответ

Преобразуем неравенство: $a+\sqrt{a^{2}-2ax+x^{2}}\leq 3x-x^{2}$ ; │xa│ ≤ 3xx2a.

$\left\{ \begin{array}{l} x-a\leq 3x-x^{2}-a, \\ x-a\geq -3x+x^{2}+a; \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x(x-2)\leq 0, \\ a\leq -\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}+2x. \end{array} \right. $

Неравенство x(x – 2) ≤ 0 определяет на плоскости Oxa полосу, заключённую между прямыми x = 0 и x = 2. Неравенство $a\leq -\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}+2x$ задает часть плоскости, ограниченную сверху параболой.

На рисунке видно, что на интервале (1; 2) есть х, не удовлетворяющий неравенству, только если a > 1,5.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№8

Найти все значения параметра k , при каждом из которых имеет решение система уравнений $\left\{ \begin{array}{l} y-2=k(x+1) \\ y=\sqrt{x} \end{array} \right. $.

ответ

Ясно, что прямые семейства y – 2 = k(x + 1) переходят друг в друга преобразованием поворота с центром в точке А (–1; 2). Данная система имеет решение, если указанные прямые имеют с графиком функции y = √x хотя бы одну общую точку. Имеются два предельных значения k1 и k2. Первая прямая касается графика y = √x. Прямые, угловой коэффициент которых удовлетворяет неравенству k1kk2, имеют общую точку с «полупараболой».

Найдём значение k1, подставив для этого в уравнение y – 2 = k(x + 1) координаты вершины (0; 0). Получаем k1 = –2.

Значение k2 получим из выполнения условия единственности решения смешанной системы $\left\{ \begin{array}{l} y-2=k(x+1) \\ y^{2}=x \\ k>0 \end{array} \right. $.

Это означает, что уравнение ky2y + k + 2 = 0 имеет решение, т. е. дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю.

D = 1 – 4k2 – 8k = 0, если k = –1 + √1,25.

Тогда получаем искомые значения: –2 ≤ k ≤ –1 + √1,25.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№9

Определить значения параметра а, при которых система неравенств $\left\{ \begin{array}{l} x-a\geq -1 \\ x^{2}-3x\leq a-1 \end{array} \right. $ имеет единственное решение.

ответ

Выполним построения на плоскости Оха.

Преобразуем систему неравенств к виду $\left\{ \begin{array}{l} a\leq x+1 \\ x^{2}-3x+1\leq a \end{array} \right. $.

Решением первого неравенства является множество точек плоскости, лежащих ниже прямой a = x + 1 (включая точки прямой), для второго ― выше параболы a = x2 – 3x + 1 (включая точки параболы).

Система неравенств имеет решения при тех значениях а, при которых прямая a = const, параллельная оси Ох, имеет общие точки с заштрихованной областью. Только две прямые вида a = const, проходящие через точки А и В, имеют единственную общую точку с этой областью. Значение ординаты точки А равно –$\displaystyle \frac {5}{4}$.

Так как В ― точка пересечения графиков функций a = x2 – 3x + 1 и a = x + 1, то для нахождения её абсциссы нужно решить уравнение x + 1 = x2 –3x + 1 или x2 – 4x = 0. Его корнями являются числа x1 = 0 и x2 = 4. Точке В соответствует второй корень. Соответственно, ордината точки В равна 5.

При a < $–\displaystyle \frac {5}{4}$ и a > 5 система не имеет решений.

Тогда нужные нам значения параметра - это –$\displaystyle \frac {5}{4}$ и 5.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№10

При каких значениях параметра $a>1$ уравнение $\left\vert x^{2}-4x+3\right\vert +1=\log _{a}x$ имеет единственное решение?

ответ

Построим график функции y = │x2 – 4x + 3│ + 1.

Построение проведём в три этапа $\Gamma _{y=x^{2}-4x+3}\rightarrow \Gamma _{\left\vert y\right\vert }\rightarrow \Gamma _{\left\vert y\right\vert +1}$. Функция y = logax задаёт семейство кривых, имеющих одну общую точку А (1; 0). График функции y = │x2 – 4x + 3│ + 1 имеет только одну общую точку с той кривой семейства y = logax при a > 1, которая проходит через точку В (3; 1).

Подставив координаты точки В в соотношение y = logax, получим равенство 1 = loga3, возможное при a = 3.

Так как по условию a > 1, то это единственное подходящее значение.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№11

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно два различных корня

$\sqrt{x+2a^{2}}\cdot (x^{2}+(2-a)x-2a)=0$?

ответ

Корни данного уравнения должны удовлетворять условию x ≥ –2a2 (условие существования квадратного корня из выражения x + 2a2).

Заметим, что x2 + (2 – a)x – 2a = (xa)(x + 2). Тогда <$\sqrt{x+2a^{2}}(x-a)(x+2)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\geq -2a^{2} \\ \left[ \begin{array}{l} x=-2a^{2} \\ x=a \\ x=-2 \end{array} \right.\end{array} \right. $.

Следовательно, корнями уравнения могут быть числа x1 = –2a2, x2 = a и x3 = –2. По условию задачи требуется найти значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня. Для отбора искомых значений параметра на плоскости Оха построим графики функций x = –2a2, x = a и x = –2. Каждая прямая a = const, параллельная оси Ох, пересекает каждый из построенных графиков, и ордината точки пересечения даёт значение корня исходного уравнения при условии, что x ≥ –2a2. Имеется пять критических положений этих прямых a1 = –2, a2 = –1, a3 = –0,5, a4 = 0 и a5 = 1. Они проходят через точки пересечения графиков. Точки –2, –1, –0,5, 0 и 1 разбивают числовую прямую Оа на шесть промежутков. Рассмотрим каждый из них: (1) a ∈ (–∞; –2) и (2) a ∈ (–2; –1). На этих промежутках уравнение имеет три корня.

a ∈ (–1; –0,5), уравнение имеет два корня (график функции x = –2 расположен ниже графика функции x = –2a2).

a ∈ (–0,5; 0), уравнение имеет один корень, так как графики функций x = a и x = –2 ― ниже графика функции x = –2a2.

a ∈ (0; 1), уравнение имеет два корня (график функции x = –2 ― ниже графика функции x = –2a2).

a ∈ (1; +∞), уравнение имеет три корня.

Соответственно при a1 = –2, a2 = –1 и a5 = 1 уравнение имеет два корня.

Нужные нам значения: a ∈ {–2} ⋃ [–1; –0,5) ⋃ (0; 1].

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно