19. Анализ математических моделей

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие "буква" - "цифра" должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.


Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть Скрыть

Числа

10 заданий
№1

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

ответ

а) Чтобы произведение было больше 40, числа должны быть больше 6 (одно число может равняться 6, но остальные должны быть больше). Чтобы произведение было меньше 10, числа должны быть не больше 10. Подходит набор 6,7,8,9,10.

б) Для удобства будем считать, что числа написаны в порядке возрастания a. Так как а≥6, f≤10, получаем условия на b и d:

b≥7, e≤9. Иначе не будут выполняться условия задачи. Произведение ab будет меньше 40, произведение ef будет больше 100. Поэтому на доске может быть только одно число, которое меньше 7, число а. И одно число, которое больше 10, число f. Остались числа b,c,d,e, которые могут принимать значения от 7 до 10, то есть 7,8,9. Поэтому такое невозможно (так как все числа различные).

в) Обозначим числа по возрастанию: a. Рассуждая, также как и в предыдущем пункте:

а≥6, d≤10, получаем условия на b и c:

b≥7, c≤9

7≤ b < c 9

Но так как чисел теперь на одно меньше, верхнюю границу можно сдвигать (9∙11=99 <100 и 8∙12=96<100)

Рассмотрим все возможные варианты:

1) a,7,8,d — тогда наибольшие возможные числа а=6, d=12. Сумма чисел равна 33.

2) a,7,9,d тогда наибольшие возможные числа а=6, d=11. Сумма чисел равна 33.

3) a,8,9,d тогда наибольшие возможные числа а=7, d=11. Сумма чисел равна 35.

Получаем ответ 35.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№2

На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 10, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -5.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

ответ

Обозначим за n – количество чисел на доске, за x количество положительных, за y количество отрицательных. Обозначим за z количество нулей. Тогда $n=x+y+z$ .

$45 < n < 55$,

Пусть S сумма всех чисел, тогда $S=3\cdot n$ .

Пусть S+ — сумма всех положительных из них, тогда $S^{+}=10\cdot x$ .

Пусть S- — сумма всех отрицательных из них, тогда $S^{-}=-5\cdot y$

Теперь свяжем то, что мы записали. А именно, учтем, что сумма всех чисел равна сумме всех положительных плюс сумма всех отрицательных S = S+ + S- , получаем уравнение: 3n = 10x – 5 y.

а) 3 ∙ n = 5 ∙ (2xy )

Справа стоит число, которое делится на 5. Значит слева тоже должно стоять число, которое делится на 5, иначе уравнение не имеет решений в целых числах. Но для того, чтобы 3n делилось на 5, нужно, чтобы n делилось на 5. То есть, n - какое-то из чисел: 5, 10, 15 … 40, 45, 50, …. Единственное n, которое удовлетворяет условию 45 < n < 55 это 50. Значит, если такой набор и существует, то количество чисел в нем равно 50!

Теперь, для строгости покажем, что такой набор существует. Сумма чисел этого набора равна 150 $(S=3\cdot n=3\cdot 50\cdot =150)$ . Пусть набор такой:

$\underset{2}{\underbrace{-5;-5;}}\underset{32}{\underbrace{0;0;...0;}} \underset{16}{\underbrace{10...10;10}}$.

б) Учитывая, что n=50, перепишем уравнение 3n = 10x – 5 y. следующим образом:

$150=10x-5y$

$2x=30+y$

$x=15+\displaystyle \frac{y}{2}$

Во - первых мы заметили, что y число четное.
Давайте посмотрим, что же здесь больше: x или y. Если число y маленькое, то x точно больше (например, если y=4, то x=17). Также, не трудно заметить, что если y=30, то и x=30. При y>30 выполняется неравенство x (например, если y = 32, то x = 31), а при y<30 наоборот, x>y (например, если y = 28, то x = 29).

Но $x+y\leq 50$ , так как всего на доске 50 чисел. Значит, y не может быть больше 30. А значит x>y. Или количество положительных больше количества отрицательных.

в)

В третьем пункте нас просят найти максимально возможное количество отрицательных чисел. В пункте б) мы как раз получили те уравнения и неравенства из которого можно это оценить:

$\left\{ \begin{array}{l} x=15+\displaystyle \frac{y}{2} \\ x+y\leq 50 \end{array} \right. $

Подставим x из уравнения в неравенство:

$15+\displaystyle \frac{y}{2}+y\leq 50$

$\displaystyle \frac{3}{2}y\leq 35$

$y\leq \displaystyle \frac{70}{3}$

Но мы помним, что y – целое и четное, а значит $y\leq 22$ .

Видим, что наибольшее количество отрицательных чисел, которое подходит – это 22.

Пусть у нас в наборе 26 «десяток», 22 «минус пятерки», а остальные нули. Сумма равна 150 – все верно, средние арифметические положительных и отрицательных, очевидно равны 10 и -5 соответственно.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№3

Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

ответ

Обозначим суммы чисел в группах $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$, а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через A. Можно считать, что $S_{1}\leq S_{2}\leq S_{3}\leq S_{4}$

а) Чтобы число A равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей S равнялась 0, то есть $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}$ Сумма всех двадцати чисел $1+2+...+20=\displaystyle \frac{20\cdot 21}{2}=210$. С другой стороны, она равна $4S_{1}$ , но 210 не делится на 4. Значит, не может.

б) Чтобы число А равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0. Значит, $S_{1} < S_{4}$, но в этом случае каждая из сумм $S_{2},S_{3}$ не равна хотя бы одной из сумм $S_{1},S_{4}$. поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число А не меньше 3. Иными словами, если есть хотя бы одна разность, равная 1, а остальные нули, то найдётся ещё три разности, которые вместе с ней дадут 1. Поэтому А не может быть меньше чем 3. Значит, не может быть.

в) Выразим число А явно через суммы:

$A=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{1}+S_{4}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+S_{4}-S_{2}+S_{4}-S_{3}=3(S_{4}-S_{3})+4(S_{3}-S_{2})+3(S_{2}-S_{1})$

В предыдущих пунктах было показано, что A≥ 3.

Если A = 3, то $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}-1$ или $S_{4}=S_{2}=S_{3}=S_{1}+1$ В этом случае сумма всех двадцати чисел равна $4S_{1}+1$ или $4S_{4}-1$ , то есть нечётна, что неверно.

Попробуем следующее минимальное значение А = 4. Достаточно подобрать пример, когда это возможно:

20,19,13; 18,17,9,8; 16,15,14,5,3; 12,11,10,7,6,4,2,1 – такое разбиение подходит, А = 4.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№4

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

ответ

а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх. седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого, отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: $1,\sqrt{2},\sqrt{3}...,\sqrt{12}$

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№5

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 15.

б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100?

в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

ответ

а) Число 15 могло получиться в результате следующей последовательности ходов:

(2,3), (3,5), (8,9), (15,17).

б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5, либо 5 и 5. Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 50 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше 3 + 49 ∙ 2 = 101. Значит, после 50 ходов на доске не может оказаться число 100.

в) Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел a и b, причём b > a. Тогда после хода на доске будет написано a + b и 2a − 1 или a + b и 2b – 1. В первом из этих случаев разность чисел равна b – a + 1, а во втором b – a – 1 . То есть после каждого хода разность большего и меньшего чисел изменяется на 1, причём для любых двух различный чисел можно сделать ход так, чтобы разность увеличилась, и так, чтобы разность уменьшилась.

Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1, а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 2015 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность — это 2.

Например, если сначала сделать 1008 ходов, увеличивающих разность, а затем 1007 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№6

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

ответ

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть −6. Наибольшее число в наборе 11 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 4 и 7 дают в сумме 11. Значит, были задуманы числа −6, 4 и 7.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совладают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 0; 1; 2, то на доске окажется ровно семь нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Пример-опровержение: для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№7

Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.

а) Может ли число S быть равным 34?

б) Может ли число S быть больше $33\displaystyle \frac{1}{18}$?

в) Найдите максимально возможное значение S.

ответ

a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных $\displaystyle \frac{34}{35}$. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна $18\cdot \displaystyle \frac{34}{35}=17\displaystyle \frac{17}{35}>17$ Значит, S не может быть равным 34.

б) Поскольку S является суммой двух чисел, не больших 17, получаем S ≤ 34.

Пусть $33\displaystyle \frac{1}{18}< S\leq 34$. Рассмотрим разбиение числа S на 35 слагаемых, равных между собой.

$\displaystyle \frac{S}{35}\leq \displaystyle \frac{34}{35} < 1$

При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна $18\cdot \displaystyle \frac{S}{35}>18\cdot \displaystyle \frac{33\displaystyle \frac{1}{18}}{35}=17$. Значит, S не может быть больше $33\displaystyle \frac{1}{18}$.

в) Рассмотрим произвольное представление $33\displaystyle \frac{1}{18}$ в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих $1:S=x_{1}+x_{1}+...x_{n}$

Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию. Первую группу составим из k небольших слагаемых так, чтобы

$S_{1}=x_{1}+x_{1}+...x_{k}\leq 17 < x_{1}+x_{1}+...x_{k+1}$

Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.

Пусть $S_{1} < 33\displaystyle \frac{1}{18}-17=16\displaystyle \frac{1}{18}.$

В этом случае $\displaystyle \frac{17}{18} < 17-S_{1} < x_{k+1}\leq x_{k}...\leq x_{1}$ и $\displaystyle \frac{17}{18}k < x_{1}+x_{1}+...x_{k}=S_{1} < 16\displaystyle \frac{1}{18}$

Поэтому $k < 17$, $k\geq 16$ и $S_{1}=x_{1}+x_{1}+...x_{k}\leq 16$. Тогда $1 < 17-S_{1} < x_{k+1}\leq 1.$

Полученное противоречие доказывает, что $S_{1}=16\displaystyle \frac{1}{18}$.

Поэтому сумма слагаемых во второй группе: $S_{2}=x_{k-1}+x_{k+2}+...x_{n}=33 \displaystyle \frac{1} {18}-S1 \leq 17.$

Таким образом, число $S=33\displaystyle \frac{1}{18}$ удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел $S>33\displaystyle \frac{1}{18}$ не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение S — это $33\displaystyle \frac{1}{18}$. Разбиение на числа, равные $\displaystyle \frac{34}{35}$.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№8

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a2b2 + с2d2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a2b2 + с2d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.

ответ

а) Из условий = 15 и a2b2 + с2d2 = 19 получаем:

a2b2 + с2d2 - a - b - с – d=4

(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)-a-b-c-d=4

(a+b)(a-b-1)+(c+d)(c-d-1)=4

Так как все числа натуральные и в сумме дают 15, одно из слагаемых должно быть равно 0. Иначе в сумме получается число, которое больше 4. Получаем два случая:

1) a=b+1

(c+d)(c-d-1)=4

c+d=4

c-d-1=1

d=1, c=3, a=6, b=5.

2)c=d+1

(a+b)(a-b-1)=4

Этот случай не реализуется, так как самое больше число а больше как минимум 3, а b>2.

б) Из условия получаем:

a + b + с + d = a2b2 + с2d2

(a+b)(a-b-1)+(c+d)(c-d-1)=0

Поскольку a>b получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при a=b+1 и c=d+1 Значит, 2b+2d+2=23 что невозможно, так как число 23 нечетное.

в) Из равенства a + b + с + d = a2b2 + с2d2

получаем: a=b+1 и c=d+1 как в прошлом пункте.

Значит, 2a+2d=1200, d=600-a

Получаем четвёрку чисел a,b=a-1,c=601-a,d=600-a

Поскольку b>c получаем: a-1>601-a;

a>301.

Кроме того, d>0 откуда a<600.

Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№9

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

ответ

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $\displaystyle \frac{41}{7}$ , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являютс задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

№10

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

ответ

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно