Обозначим за n – количество чисел на доске, за x – количество положительных, за y – количество отрицательных. Обозначим за z – количество нулей. Тогда $n=x+y+z$ .

$45 < n < 55$,

Пусть S — сумма всех чисел, тогда $S=3\cdot n$ .

Пусть S⁺ — сумма всех положительных из них, тогда $S^{+}=10\cdot x$ .

Пусть S^- — сумма всех отрицательных из них, тогда $S^{-}=-5\cdot y$

Теперь свяжем то, что мы записали. А именно, учтем, что сумма всех чисел равна сумме всех положительных плюс сумма всех отрицательных S = S⁺ + S^- , получаем уравнение: 3n = 10x – 5 y.

а) 3 ∙ n = 5 ∙ (2x – y )

Справа стоит число, которое делится на 5. Значит слева тоже должно стоять число, которое делится на 5, иначе уравнение не имеет решений в целых числах. Но для того, чтобы 3n делилось на 5, нужно, чтобы n делилось на 5. То есть, n - какое-то из чисел: 5, 10, 15 … 40, 45, 50, …. Единственное n, которое удовлетворяет условию 45 < n < 55 это 50. Значит, если такой набор и существует, то количество чисел в нем равно 50!

Теперь, для строгости покажем, что такой набор существует. Сумма чисел этого набора равна 150 $(S=3\cdot n=3\cdot 50\cdot =150)$ . Пусть набор такой:

$\underset{2}{\underbrace{-5;-5;}}\underset{32}{\underbrace{0;0;...0;}} \underset{16}{\underbrace{10...10;10}}$.

б) Учитывая, что n=50, перепишем уравнение 3n = 10x – 5 y. следующим образом:

$150=10x-5y$

$2x=30+y$

$x=15+\displaystyle \frac{y}{2}$

Во - первых мы заметили, что y – число четное.
Давайте посмотрим, что же здесь больше: x или y. Если число y – маленькое, то x – точно больше (например, если y=4, то x=17). Также, не трудно заметить, что если y=30, то и x=30. При y>30 выполняется неравенство x (например, если y = 32, то x = 31), а при y<30 наоборот, x>y (например, если y = 28, то x = 29).

Но $x+y\leq 50$ , так как всего на доске 50 чисел. Значит, y не может быть больше 30. А значит x>y. Или количество положительных больше количества отрицательных.

в)

В третьем пункте нас просят найти максимально возможное количество отрицательных чисел. В пункте б) мы как раз получили те уравнения и неравенства из которого можно это оценить:

$\left\{ \begin{array}{l} x=15+\displaystyle \frac{y}{2} \\ x+y\leq 50 \end{array} \right. $

Подставим x из уравнения в неравенство:

$15+\displaystyle \frac{y}{2}+y\leq 50$

$\displaystyle \frac{3}{2}y\leq 35$

$y\leq \displaystyle \frac{70}{3}$

Но мы помним, что y – целое и четное, а значит $y\leq 22$ .

Видим, что наибольшее количество отрицательных чисел, которое подходит – это 22.

Пусть у нас в наборе 26 «десяток», 22 «минус пятерки», а остальные нули. Сумма равна 150 – все верно, средние арифметические положительных и отрицательных, очевидно равны 10 и -5 соответственно.

Обозначим суммы чисел в группах $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$, а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через A. Можно считать, что $S_{1}\leq S_{2}\leq S_{3}\leq S_{4}$

а) Чтобы число A равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей S равнялась 0, то есть $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}$ Сумма всех двадцати чисел $1+2+...+20=\displaystyle \frac{20\cdot 21}{2}=210$. С другой стороны, она равна $4S_{1}$ , но 210 не делится на 4. Значит, не может.

б) Чтобы число А равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0. Значит, $S_{1} < S_{4}$, но в этом случае каждая из сумм $S_{2},S_{3}$ не равна хотя бы одной из сумм $S_{1},S_{4}$. поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число А не меньше 3. Иными словами, если есть хотя бы одна разность, равная 1, а остальные нули, то найдётся ещё три разности, которые вместе с ней дадут 1. Поэтому А не может быть меньше чем 3. Значит, не может быть.

в) Выразим число А явно через суммы:

$A=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{1}+S_{4}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+S_{4}-S_{2}+S_{4}-S_{3}=3(S_{4}-S_{3})+4(S_{3}-S_{2})+3(S_{2}-S_{1})$

В предыдущих пунктах было показано, что A≥ 3.

Если A = 3, то $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}-1$ или $S_{4}=S_{2}=S_{3}=S_{1}+1$ В этом случае сумма всех двадцати чисел равна $4S_{1}+1$ или $4S_{4}-1$ , то есть нечётна, что неверно.

Попробуем следующее минимальное значение А = 4. Достаточно подобрать пример, когда это возможно:

20,19,13; 18,17,9,8; 16,15,14,5,3; 12,11,10,7,6,4,2,1 – такое разбиение подходит, А = 4.

а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх. седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого, отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: $1,\sqrt{2},\sqrt{3}...,\sqrt{12}$

а) Число 15 могло получиться в результате следующей последовательности ходов:

(2,3), (3,5), (8,9), (15,17).

б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5, либо 5 и 5. Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 50 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше 3 + 49 ∙ 2 = 101. Значит, после 50 ходов на доске не может оказаться число 100.

в) Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел a и b, причём b > a. Тогда после хода на доске будет написано a + b и 2a − 1 или a + b и 2b – 1. В первом из этих случаев разность чисел равна b – a + 1, а во втором b – a – 1 . То есть после каждого хода разность большего и меньшего чисел изменяется на 1, причём для любых двух различный чисел можно сделать ход так, чтобы разность увеличилась, и так, чтобы разность уменьшилась.

Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1, а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 2015 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность — это 2.

Например, если сначала сделать 1008 ходов, увеличивающих разность, а затем 1007 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2.

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть −6. Наибольшее число в наборе 11 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 4 и 7 дают в сумме 11. Значит, были задуманы числа −6, 4 и 7.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совладают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 0; 1; 2, то на доске окажется ровно семь нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Пример-опровержение: для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных $\displaystyle \frac{34}{35}$. При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна $18\cdot \displaystyle \frac{34}{35}=17\displaystyle \frac{17}{35}>17$ Значит, S не может быть равным 34.

б) Поскольку S является суммой двух чисел, не больших 17, получаем S ≤ 34.

Пусть $33\displaystyle \frac{1}{18}< S\leq 34$. Рассмотрим разбиение числа S на 35 слагаемых, равных между собой.

$\displaystyle \frac{S}{35}\leq \displaystyle \frac{34}{35} < 1$

При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна $18\cdot \displaystyle \frac{S}{35}>18\cdot \displaystyle \frac{33\displaystyle \frac{1}{18}}{35}=17$. Значит, S не может быть больше $33\displaystyle \frac{1}{18}$.

в) Рассмотрим произвольное представление $33\displaystyle \frac{1}{18}$ в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих $1:S=x_{1}+x_{1}+...x_{n}$

Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию. Первую группу составим из k небольших слагаемых так, чтобы

$S_{1}=x_{1}+x_{1}+...x_{k}\leq 17 < x_{1}+x_{1}+...x_{k+1}$

Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.

Пусть $S_{1} < 33\displaystyle \frac{1}{18}-17=16\displaystyle \frac{1}{18}.$

В этом случае $\displaystyle \frac{17}{18} < 17-S_{1} < x_{k+1}\leq x_{k}...\leq x_{1}$ и $\displaystyle \frac{17}{18}k < x_{1}+x_{1}+...x_{k}=S_{1} < 16\displaystyle \frac{1}{18}$

Поэтому $k < 17$, $k\geq 16$ и $S_{1}=x_{1}+x_{1}+...x_{k}\leq 16$. Тогда $1 < 17-S_{1} < x_{k+1}\leq 1.$

Полученное противоречие доказывает, что $S_{1}=16\displaystyle \frac{1}{18}$.

Поэтому сумма слагаемых во второй группе: $S_{2}=x_{k-1}+x_{k+2}+...x_{n}=33 \displaystyle \frac{1} {18}-S1 \leq 17.$

Таким образом, число $S=33\displaystyle \frac{1}{18}$ удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел $S>33\displaystyle \frac{1}{18}$ не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение S — это $33\displaystyle \frac{1}{18}$. Разбиение на числа, равные $\displaystyle \frac{34}{35}$.

а) Из условий = 15 и a² − b² + с² − d² = 19 получаем:

a² − b² + с² − d² - a - b - с – d=4

(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)-a-b-c-d=4

(a+b)(a-b-1)+(c+d)(c-d-1)=4

Так как все числа натуральные и в сумме дают 15, одно из слагаемых должно быть равно 0. Иначе в сумме получается число, которое больше 4. Получаем два случая:

1) a=b+1

(c+d)(c-d-1)=4

c+d=4

c-d-1=1

d=1, c=3, a=6, b=5.

2)c=d+1

(a+b)(a-b-1)=4

Этот случай не реализуется, так как самое больше число а больше как минимум 3, а b>2.

б) Из условия получаем:

a + b + с + d = a² − b² + с² − d²

(a+b)(a-b-1)+(c+d)(c-d-1)=0

Поскольку a>b получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при a=b+1 и c=d+1 Значит, 2b+2d+2=23 что невозможно, так как число 23 нечетное.

в) Из равенства a + b + с + d = a² − b² + с² − d²

получаем: a=b+1 и c=d+1 как в прошлом пункте.

Значит, 2a+2d=1200, d=600-a

Получаем четвёрку чисел a,b=a-1,c=601-a,d=600-a

Поскольку b>c получаем: a-1>601-a;

a>301.

Кроме того, d>0 откуда a<600.

Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части $\displaystyle \frac{41}{7}$ , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являютс задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.