а) Рассмотрим две группы, в одной пусть будет число 3, а во второй – числа 1 и 5. Остальные числа в третьей группе. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах будет равно 3 и (1+5)/2=3 соответственно. Да, могут.

б) Обозначим через x среднее арифметическое во всех трех группах. Пусть в первой группе N чисел, во второй – M чисел, и в третьей – K чисел. Так как всего чисел 10, то N+M+K=10. Также должно соблюдаться условие, что если мы среднее арифметическое умножим на количество чисел, мы получим сумму всех чисел.

$x(N+M+K)=1+2+3+4+5+6+7+8+9+16=61$

Получаем уравнение для x:

$10x=61$

$x=6,1$

Проверим, может ли такое среднее арифметическое быть одинаковым для трех групп. Например, значение

$x\cdot N=6,1\cdot N$

должно давать целое значение, так как это сумма чисел в первой группе. При этом N может меняться в диапазоне от 1 до 7. Но простая подстановка показывает, что ни при одном значении N в этом диапазоне мы не можем получить целого значения. Следовательно, одинакового среднего для всех трех групп быть не может.

в) Среднее арифметическое должно быть больше, чем 6,1. Иначе получим $x_{1},x_{2} < x_{\max }\leq 6,1$Тогда $x_{1}N+x_{2}M+x_{\max }K < 6,1\cdot 10=61$ . Наибольший знаменатель, который может быть у среднего арифметического в данном случае, 7, наименьший числитель 1. Проверим, есть ли набор, при котором среднее арифметическое равно $6\displaystyle \frac{1}{7}$ .

$\displaystyle \frac{16+8+7+5+4+2+1}{7}=\displaystyle \frac{43}{7}\approx 6,14$

а) Нужно сформировать последовательность так, чтобы на n-м месте получилось число 336. Первое значение дано по условию задачи $a_{1}=2$, сформируем следующие первые члены:

2; 3; 4; 1; 6; -1; 8;

Последующие члены будем формировать по правилу

$a_{k+1}+a_{k}=5$

$a_{k+2}+a_{k}=7$

получим:

-3; 10; -5; 12; ...; 334; -329; 336.

б) Из полученной последовательности в пункте а) можно заметить, что на нечетных местах стоят четные члены, а на четных местах – нечетные члены. Это правило будет соблюдаться при любом виде формирования последовательности, так как в нашем правиле для составления члена прогрессии используются нечетные числа 5, 7 и 29. Следовательно, если последовательность состоит из 812 членов, то на последнем 812-м месте будет находиться нечетное число. Вместе с тем число 336 – четное, значит сформировать последовательность длиной 812 членов нельзя.

в) Чтобы последовательность содержала минимальное число членов, она должна максимально быстро возрастать. Это достигается, если сумма первых двух членов будет равна 5, а сумма вторых двух членов – 29, то есть для любого k можно записать правило:

$a_{k+1}+a_{k}\geq 5$

$a_{k+2}+a_{k+1}\leq 29$

Перенесём переменные первого неравенства влево и вычтем из второго неравенства первое:

$a_{k+2} \leq a_{k}+24$

В результате получаем следующие члены последовательности:

$a_{1}=2$

$a_{3}\leq a_{1}+24=26$

$a_{5}\leq a_{3}+24=50$

...

$a_{2k+1}\leq a_{2k-1}+24=2+24\cdot k$

Последним числом нужно получить число 336. Оно четное, следовательно, должно стоять на нечетной позиции. Нечетная позиция определяется индексом 2k+1, следовательно,

$336\leq 2+24\cdot k$

и достигается при

$k\geq \displaystyle \frac{334}{24}=13\displaystyle \frac{11}{12}$

то есть k должно быть не менее 14 и в последовательности будет минимум $2\cdot 14+1=29$ ленов. Например, это последовательность вида

2, 3, 26, -21, 50, -45, 74, -69, 98, -93, 122, -117, 146, -141, 170, -165, 194, -189, 218, -213, 242, -237, 266, -261, 290, -285, 314, -307, 336.

Будем считать прогрессию возрастающей. Обозначим a — первый член прогрессии, n —количество членов, а d — её разность. Числа a, n, и d — натуральные.

а) Сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна 2a + 4d и является чётным числом. Поскольку число 99 нечётное, сумма наибольшего и наименьшего членов конечной арифметической прогрессии из 5 натуральных чисел не может быть равной 99.

б) Сумма первого и шестого членов этой прогрессии равна 2a + 5d = 9. Получаем уравнение в целых числах. Поскольку d — натуральное число, получаем d = 1. (так как если оно равно двум или больше, уравнение не будет иметь решений в натуральных числах) Тогда a = 2. Искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в) Среднее арифметическое прогрессии равно полусумме её крайних членов (это напрямую следует из формулы для суммы арифметической прогрессии. Там стоит среднее значение прогресии, умноженное на количество её членов.), поэтому получаем 2a + (n-1)d =13

Значит, (n-1)d ≤ 11; n-1≤11; n≤12.

Натуральны числа от 1 до 12 составляют прогрессию, среднее арифметическое членов которой равно 6,5, а количество членов равно 12. Поэтому наибольшее возможное количество чисел — это 12.

а) Предположим, что n=3, тогда сумма: a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=3(a+d)=10 – такого быть не может, так как 10 не кратно 3. Пусть чисел 4. Тогда их сумма: a+(a+d)+(a+2d)+ (a+3d) =4a+6d=10

откуда 2a+3d=5. Например, a=d=1:1,2,3,4. Ответ: да.

б) Нужно взять арифметическую прогрессию из натуральных чисел с наименьшим значением а₁ и d. Это и будет последовательность натуральных чисел от 1 до n.

Запишем ограничение на её сумму:

$S_{n}=\displaystyle \frac{1+1+(n-1)}{2}n<1000$ Решим это неравенство в целых числах.

n(n+1) < 2000

n² + n - 2000 < 0

D = 1-4(-2000)= 8001

$n=\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{8001}}{2}$.

Рассмотрим функцию n² + n - 2000. Это парабола, оси направленны вверх, значит, меньше нуля она будет в промежутке между корнями. В нашем случае один корень отрицательный, другой положительный. Так как n натуральное число

$n < \displaystyle \frac{\sqrt{8001}-1}{2} < \displaystyle \frac{90-1}{2}=44,5$ Так как 8001 < 8100=90²

Значит n<44,5, то есть наибольшее значение n=44.

в) $S_{n}=\displaystyle \frac{2a+d(n-1)}{2}n=129$

Перед нами уравнение в целых числах. Причём левая часть представляет из себя произведение двух натуральных чисел.

Так как n ≥ 3, n может быть равным 3, 6 или 43. Может ли n равнять 43? В пункте б у нас было n=44 и сумма была равна 1000. Причём последовательность была с наименьшими по величине членами. При n=43 получим:

$n(2a+d(n-1))=129\cdot 2=3\cdot 43\cdot 2$

Значит, у нас осталось 2 варианта, n=3 и n=6. Проверим, можно ли подобрать такие прогрессии.

$1)$ $n=3,$ тогда $2a+d(3-1)=243$

$2a+2d=243$

$a+d=43$

Запишем сумму арифметической прогрессии, состоящей из 3 членов:

a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=3(a+d)= 129 верно. Подойдёт любой пример с a+d=43:

a=42, d=1. 42+43+44=129.

2) n=6 тогда 2a+d(6-1) = 43

2a+5d=43

Запишем сумму арифметической прогрессии, состоящей из 6 членов:

a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)+(a+5d)=6a+15d=3(2a+5d) =129 верно. Подойдёт любой пример с 2a+5d=43:

если d=1, то а=19. 19+20+21+22+23+24=129.

а) Разложим число 312 на простые множители, получим:

$312=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 13$

Из этого разложения видно, что можно взять следующие неповторяющиеся натуральные множители: 2, 4, 3, 13:

$312=2\cdot 4\cdot 3\cdot 13$

Также число 312 можно разложить и так (нужно для геометрической прогрессии):

$312=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 13$

то есть имеем последовательность чисел 1, 2, 3, 4 и 13. Они не образуют геометрическую прогрессию, значит, пять членов быть не может.

б-в) Проанализируем, могут ли множители 1, 2, 3, 4, 13 образовывать геометрическую прогрессию. Знаменатель прогрессии должен быть целым числом и больше 1 (так как все члены натуральные и возрастают). Если взять q=2 , то числа 1, 2, 4 образуют члены геометрической прогрессии. Других вариантов (с большим числом членов) нет. Так как число 13 простое.

а) Среднее арифметическое может увеличиться, когда некоторые числа становятся нулями и вычеркиваются. Тогда количество чисел уменьшается.

Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Обозначим за x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а через y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна 27 • 20 = 540, а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна 540-x и их 20-x штук.

После описанных действий будет 20-x чисел с общей суммой 540-x-y. Значит новое среднее:

$\displaystyle \frac{540-x-y}{20-x}=34\leftrightarrow 540-x-y=680-34x\leftrightarrow 140=33x-y$

Значит $x\geq 5,$ так как $33x=140+y\geq 0.$ Но тогда $y\geq 33\cdot 5-140=25$, что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения <$\displaystyle \frac{540-x-y}{20-x}$. Поэтому, следует взять y=0 и максимизировать число

$\displaystyle \frac{540-x}{20-x}=\displaystyle \frac{520+20-x}{20-x}=1+\displaystyle \frac{520}{20-x},$ то есть следует максимизировать x.

В первоначальном наборе x единиц, и 20-х чисел, которые не превосходят 40. Значит, сумма этих чисел не превосходит х+40(20-х). С другой стороны сумма первоначальных чисел равна 540. Получаем:

$x+40(20-x)\geq 540$

Откуда х≤6. Подставим это значение в дробь:

$1+\displaystyle \frac{520}{20-6}=38\displaystyle \frac{1}{7}$

Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы.

Пусть данное число равно $100a+10b+c$ где a,b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k то выполнено

$100a+10b+c=ka+kb+kc.$

а) Если частное равно 90, то $100a+10b+c=90a+90b+90c;$ $10a=80b+89c;$

Так как переменные – цифры, меньше 10, то 80b+89c < 100, то есть либо b либо c равно 0.

Например, при $a=8,b=1,c=0$ частное числа 810 и суммы его цифр равно 90.

б) Если частное равно 88, то $100a+10b+c=88a+88b+88c;$

$12a=78b+87c$

Рассуждая аналогично, что все переменные – цифры, получим неравенство:

$78b+87c < 120$ значит, либо b=0 и c =1, либо b=1 и c =0. Либо оба числа равны нулю. Но тогда число вида а00 при делении на сумму цифр, даст число 100, не удовлетворяющее условиям.

Но ни 78 ни 87 не делится на 12. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.

в) Пусть k — наибольшее натуральное значение частного числа и суммы его цифр. Тогда

$100a+10b+c=ka+kb+kc$

$(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c$

Сделаем оценку, так как а цифра, максимальное значение, которое она может принимать равно 9:

$(100-k)a\leq 9(100-k)$

$(k-10)b+(k-1)c\geq (k-10)(b+c)\geq k-10$

Получаем, что $9(100-k)\geq k-10,$, откуда $k\leq 91$

Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 91. Пример: число 910.

Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно к, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.

а) Если частное равно 12, то 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c; 88а = 2b + 11c, что верно, например, при b = 0, a = 1, c = 8: частное числа 108 и суммы его цифр равно 12.

б) Если частное равно 87, то 100a + 10b + c = 87a + 87b + 87c. Получаем: a < 10: 13a < 130; 77b + 86c < 130. Значит, b = 0, c = 1 или b = 1, c = 0. Но ни 77, ни 86 не делится на 13. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 87.

в) Частное числа 198 и суммы его цифр равно 11.

Пусть k — наименьшее натуральное значение частного числа и суммы его цифр — равно 10 или меньше. Тогда

$100a+10b+c=ka+kb+kc$

$(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c$

Сделаем оценку, так как а первая цифра числа, минимальное значение, которое она может принимать равно 1:

$(100-k)\leq (100-k)a$

$(k-1)c\leq 9(k-1)$

$(100-k)a+(10-k)b=(k-1)c\leq 9(k-1)$

Получаем, что $100-k\leq 9(k-1)$, откуда $k\geq 10,9$

Это противоречит условию $k\leq 10$. Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11. Пример: число 198.

Пусть количества едениц, двоек, троек и четверок среди $a_{1},a_{2},...a_{350}$ равны \ $m_{1},m_{2},m_{3},m_{4},$ соответственно. Тогда $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350$ и $m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+4m_{4}=513.$

а) По условию

$S_{1}=m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+4m_{4}=513$

$S_{2}=m_{1}+4m_{2}+9m_{3}+16m_{4}=1097$ (каждый коэффициент возводится в квадрат).

$S_{3}=m_{1}+8m_{2}+27m_{3}+64m_{4}=3243$

где $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350$

Получили систему четырех линейных уравнений с четырмя неизвестными, находим:

$m_{1}=282,m_{2}=7,m_{3}=27,m_{4}=34.$ Значаит,

$S_{4}=m_{1}+16m_{2}+81m_{3}+256m_{4}=11285.$

б) Если

$S_{4}=m_{1}+16m_{2}+81m_{3}+256m_{4}=4547,$

где $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350,$ то $ 15m_{2}+80m_{3}+255m_{4}=4197.$ В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая - нет, поэтому $S_{4}$ не может быть равна 4547.

в) Если

$S_{4}=m_{1}+16m_{2}+81m_{3}+256m_{4}=4547,$

где $ m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=350,$ то $15m_{2}+80m_{3}+255m_{4}=4395.$ Не забываем про условие на $S_{1}=m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+4m_{4}=513.$

Получаем:$m_{2}+2m_{3}+3m_{4}=163$ или $15m_{2}+30m_{3}+45m_{4}=2445. $

Вычтем из первого полученного равенства второе:

$50m_{3}+210m_{4}=1950$ или $5m_{3}+21m_{4}=195.$

Значит, $m_{4}$ делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При $m_{4}=0$ получаем:

$m_{3}=39,m_{2}=85,m_{1}=226,$ тогда $S_{2}=917.$

При $m_{4}=5$ получаем:

$m_{3}=18,m_{2}=112,m_{1}=215,$ тогда $S_{2}=905.$