а) Разделим общую сумму в 600 000 рублей на 40, получим, что каждый должен получить по 15 000 рублей. Так как это число кратно и 1000 и 5000, то всем 40 сотрудникам можно раздать равную премию в указанных купюрах.

б) Сумма, оставшаяся после выплаты 40 000, будет равна 560 000. При делении на 70 сотрудников получаем выплаты по 8000 рублей. Не удастся сделать, так как 8000 = 5000 + 3 · 1000 и для 70 сотрудников нужно будет 210 тысячных купюр, а их всего 100.

в) Если сотрудников 27 или больше, то распределим премии так: 26 человека должны получить по 4 тысячи, один — всё остальное. Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и в пункте «б».

Если же их не больше 26, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более четырёх тысячных купюр, пока не кончится пятитысячные.

Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нет, то все премии, кроме одной, будут выданы, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги.

а) Необходимо привести пример-подтверждение. Пусть было 3 участника, которые набрали 90, 72 и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест $\displaystyle \frac{72+2}{2}=37$ баллов. После добавления баллов у участников оказалось 95, 77 и 7 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов. Да, могло.

б) В примере предыдущего пункта средний балл участников теста, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления баллов составил баллов $\displaystyle \frac{95+77}{2}=86$ . Да, могло.

в) Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали тест b участников. Заметим, что средний балл после добавления составил 85, так как всем ученикам прибавилось по 5 баллов, средний результат также вырос на 5 баллов. Имеем два уравнения:

80N = 65(N − a) + 90a, откуда 15N = 25a, то есть 3N = 5a

85N = 69(N − b) + 93b, откуда 16N = 24b, то есть 2N = 3b

Поэтому целое число N делится на 5 и на 3, то есть делится на 15. Таким образом, N ≥ 15.

Покажем, что N могло равняться 15. Пусть изначально 5 участников набрали по 64 балла, 1 участник — 70 баллов и 9 участников по 90 баллов. Тогда средний балл был равен 80, средний бал участников, сдавших тест, был равен 90, а средний балл участников, не сдавших тест, был равен 65. После добавления средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, средний балл участников, не сдавших тест, стал равен 69. Таким образом, все условия выполнены.

а) Если все куски максимального размера, длина мотка равна: 33•102 = 3366. Но так как по условию, среди разрезанных кусков, были куски разного размера, то максимальная длина меньше 3366. Теперь давайте определимся, какие размеры должны быть у новых кусков, чтобы в такой верёвке их оказалось максимальное количество? Чем меньше их размер, тем больше кусков поместится. Найдем наибольшее целое решение неравенства $99n < 3366,n=33$

б) Что мы имеем: верёвка длиной L, которую можно разрезать на стандартные куски. Что это означает? Можем ли мы её разрезать на 2,5 стандартных куска? Нет. Мы можем разрезать её на какое-то целое число кусков. Как мы уже знаем целочисленная переменная - это очень удобно, так как мы уже умеем работать с уравнениями в целых числах. Поэтому давайте обозначим за n-число стандартных кусков, на которые мы можем разрезать нашу верёвку. Тогда в каких пределах может меняться длина исходной верёвки, если каждый кусок не меньше 99 и не больше 102? Тогда $99n\leq L\leq 102n$.

Чтобы найти число L, такое, что взяв верёвку длиной больше L , мы сможем

разрезать её на стандартные куски, - необходимо, чтобы L можно было разрезать и на n и на (n+1) кусков.

Возвращаемся к нашему условию, что если мы хотим разрезать L на n кусков, то его длина $99n\leq L\leq 102n$. Если этот же кусок мы хотим разрезать на n+1 кусков, то его длина $99(n+1)\leq L\leq 102(n+1)$. Тогда возможно 2 варианта:

Эти два отрезка имеют общие точки, когда $99(n+1)\leq 102n$, как видно из нашего рисунка. Из этого неравенства следует, что $n\geq 33$, значит, любую верёвку, которая больше чем $99\ast 33=3267$, можно разрезать на стандартные куски.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе через B.

а) Заметим, что $A=\displaystyle \frac{m}{7},B=\displaystyle \frac{n}{5}$, где m и n — некоторые натуральные числа. Значит,

$A-B=\displaystyle \frac{m}{7}-\displaystyle \frac{n}{5}=\displaystyle \frac{5m-7n}{35}=\displaystyle \frac{1}{25}$

Тогда $5m-7n=\displaystyle \frac{35}{25}$? но это невозможно, так как m и n —натуральные числа. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам не может равняться $\displaystyle \frac{1}{25}$.

$\displaystyle \frac{5m-7n}{35}=\displaystyle \frac{1}{35}$

$5m-7n=1$

б) В этом случае $m=\displaystyle \frac{1+7n}{5}$

Решим это уравнение в целых числах:

$m=n+\displaystyle \frac{2n+1}{5}$

$2n+1=5k\Rightarrow n=\displaystyle \frac{5k-1}{2}=2+\displaystyle \frac{k-1}{2}$

$k-1=2p\Rightarrow k=2p+1$

$n=5p+2,m=7p+3$

Если p=4, то получаем подходящий набор оценок: 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9.

в) Пусть х — наименьшая из оценок, z — наибольшая, а у — сумма остальных пяти оценок. Тогда

$A-B=\displaystyle \frac{x+y+z}{7}-\displaystyle \frac{y}{5}=\displaystyle \frac{5x-2y+5z}{35}\leq \displaystyle \frac{5x+5z-2((x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5))}{35}=$

$=\displaystyle \frac{5z-5x-30}{35}\leq \displaystyle \frac{5\cdot 12-5\cdot 0-30}{35}=\displaystyle \frac{6}{7}$

здесь у – сумма пяти оценок, каждая оценка больше чем х (так как это наименьшая оценка) и все оценки отличны друг от друга.

Так как данная разность принимает наибольшее значение при наибольшем значении числителя, то нужно сделать наибольшим уменьшаемое и наименьшим вычитаемое.

Так как наибольшая оценка это 12, а наименьшая 0.

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 12 разность равна $\displaystyle \frac{6}{7}$ Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно $\displaystyle \frac{6}{7}$

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек d, а мальчиков 7d. В партиях между собой девочки набрали $2\cdot \left( 1+2+...+d-1\right) =2\cdot \displaystyle \frac{d(d-1)}{2}=d(d-1)$ очков, а мальчики в партиях между собой набрали 7d(7d-1) очков. Всего состоялось 8d(8d-1) партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось 8d(8d-1)-7d(7d-1)-d(d-1)=14d². Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение:

$3(d(d-1)+x)=14d^{2}-x+7d(7d-1),$ откуда $x=15d^{2}-d$

Так как всего было 14d² игр между мальчиками и девочками,

$x\leq 14d^{2}$

$15d^{2}-d\leq 14d^{2}$

$d^{2}\leq d$

Значит, d=0 или d=1. Первый корень не подходит. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, то есть сыграли все эти партии вничью.

а) Если в классе 3 мальчика, у которых только собака, 8 мальчиков, у которых только кошка, и 10 девочек, у каждой из которых живет и собака, и кошка, то условие задачи выполнено. Значит, 11 мальчиков может быть.

б) Предположим, что мальчиков не менее, чем 12. Тогда девочек 9 или меньше. Пусть число мальчиков, имеющих собаку, равно m₁. Тогда доля их среди всех учеников, имеющих собаку, не меньше, чем $\displaystyle \frac{m}{m_{1}+d}$, и не больше, чем $\displaystyle \frac{1}{4}$. Получаем:

$\displaystyle \frac{m_{1}}{m_{1}+d}\leq \displaystyle \frac{1}{4}$

Откуда $m_{1}\leq 3$. Если мальчиков, имеющих кошку $m_{2}$, то получаем аналогичное неравенство $\displaystyle \frac{m_{2}}{m_{2}+d}\leq \displaystyle \frac{5}{11}$, откуда, учитывая, что $m_{2}$ - целое, получаем, что $m_{2}\leq 7$.

Получается, что всего мальчиков, имеющих или кошку, или собаку не более,

Чем $3+7=10$. А всего мальчиков не меньше 12. Значит, в классе есть мальчики, у которых нет ни кошки, ни собаки. Это противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в классе из 21 ученика может быть 11 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков — 11.

в) Предположим, что некоторый мальчик имеет и кошку, и собаку. Если бы вместо него в классе было два мальчика, один из которых имеет только собаку, а другой — только кошку, то доли мальчиков с собаками и мальчиков с кошками остались бы прежними, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в классе можно считать, что каждый мальчик имеет только собаку или только кошку.

Пусть в классе $m_{1}$ мальчиков, имеющих собаку, $m_{2}$ мальчиков, имеющих кошку, и d девочек. Оценим долю девочек в классе. Будем считать, что у каждой девочки есть и собака, и кошка, поскольку их доля от этого не изменится, а доля девочек с собаками и доля девочек с кошками не уменьшатся.

По условию $\displaystyle \frac{m_{1}}{m_{1}+d}\leq \displaystyle \frac{1}{4},\displaystyle \frac{m_{2}}{m_{2}+d}\leq \displaystyle \frac{1}{5}$, значит, $\displaystyle \frac{m_{1}}{d}\leq \displaystyle \frac{1}{3},\displaystyle \frac{m_{2}}{d}\leq \displaystyle \frac{5}{6}.$ Тогда $\displaystyle \frac{m_{1}+m_{2}}{d}\leq \displaystyle \frac{7}{6},$, поэтому доля девочек в классе:

$\displaystyle \frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{m_{1}+m_{2}}{d}+1}\geq \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{7}{6}+1}=\displaystyle \frac{6}{13}$

Осталось привести пример, показывающий, что доля девочек $\displaystyle \frac{6}{13}$ действительно возможна. Например, если класс состоит из 2 мальчиков, имеющих только собаку, 5 мальчиков, имеющих только кошку, и 6 девочек, каждая из которых держит и собаку, и кошку, то условие задачи выполнено, а доля девочек равна $\displaystyle \frac{6}{13}$.

а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и 12 девочек, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 25 детей могло быть 13 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 14 или больше. Тогда девочек было 11 или меньше. Пусть число мальчиков, евших бутерброды, равно $m_{1}$. Тогда число $\displaystyle \frac{m_{1}}{m_{1}+11}$ не больше, чем доля мальчиков, евших бутерброды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем $\displaystyle \frac{5}{16}$, откуда $\displaystyle \frac{m_{1}}{m_{1}+11}\leq \displaystyle \frac{5}{16}$ и, следовательно, $m_{1}\leq 5$ . Пусть $m_{2}$ - число мальчиков, евших конфеты. Аналогично, $\displaystyle \frac{m_{2}}{m_{2}+11}\leq \displaystyle \frac{2}{5}$, откуда, учитывая, что $m_{2}$ число целое, находим: $m_{2}\leq 7$.

Но тогда общее число мальчиков, евших хоть что- то, не больше, чем $5+7=12$. Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 13 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 13.

в) Предположим, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды. Если бы вместо него было два мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой - только бутерброды, то доля мальчиков, евших конфеты, и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы прежними, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек можно считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды.

Пусть, как прежде, $m_{1}$ мальчиков ели бутерброды, $m_{2}$ мальчиков ели конфеты, и всего было d девочек. Оценим долю девочек. Будем считать, что каждая девочка ела и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди евших бутерброды не станут меньше.

По условию $\displaystyle \frac{m_{1}}{m_{1}+d}\leq \displaystyle \frac{5}{16},\displaystyle \frac{m_{2}}{m_{2}+d}\leq \displaystyle \frac{2}{5},$ значит, $\displaystyle \frac{m_{1}}{d}\leq \displaystyle \frac{5}{11},\displaystyle \frac{m_{2}}{d}\leq \displaystyle \frac{2}{3}$.

Тогда$\displaystyle \frac{m_{1}+m_{2}}{d}\leq \displaystyle \frac{37}{33}$ поэтому доля девочек равна

$\displaystyle \frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{m_{1}+m_{2}}{d}+1}\geq \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{37}{33}+1}=\displaystyle \frac{33}{70}$

Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть. Например, если из 70 детей 15 мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и еще было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек в точности равна $\displaystyle \frac{33}{70}$.

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а $S=\displaystyle \frac{20\cdot 18+0}{28}=\displaystyle \frac{90}{7}<15$.

б) Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 15. Всего было написано 28 + 2 = 30 контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно 15·30=450. При этом сумма наивысших баллов равна 13 · 28 = 364. Следовательно, сумма наименьших баллов, набранных двумя студентами, писавшими обе работы, равна 450 − 364 = 86. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Противоречие.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы, a — сумма баллов студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы.

Тогда сумма всех набранных баллов: a+b+c=15(28+k)=420+15k, сумма наивысших баллов a+b=13·28=364. Тогда c=56+15k.

С другой стороны, c≤20k, поэтому 56+15k≤20k откуда k≥12.

Приведём пример, когда k=12, то есть если c=236, b=240, a=124. Например, 11 студентов написали обе контрольные работы на 20 баллов, один студент написал обе контрольные, получив за первую 20 баллов, а за вторую 16 баллов, 8 студентов писали только первую контрольную, причем 3 из них написали ее на 20 баллов, а 5 из них — на 0 баллов, и 8 студентов писали только вторую контрольную, каждый на 8 баллов. Тогда обе контрольные писали по 20 студентов, набрав за первую 3 · 20 + 12 · 20 = 300 баллов и за вторую 8 · 8 + 11 · 20 + 16 = 300 баллов.