а) $2 \cos(\frac{3\pi}{2} + x)\cdot\sin x = \sqrt{3}\sin x$, воспользуемся формулами приведения, чтобы преобразовать аргумент косинуса:

$2\sin x \cdot \sin x = \sqrt{3}\sin x \\ \sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0, $

Это уравнение распадается на два:

$\sin x = 0 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решая эти уравнения используя стандартный метод (функция арксинуса), получим ответ:
$x = \pi n, n \in Z \\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

Итак:
$x = \pi n, x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

б) $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi]\\$ При $n = 0$ ни один из корней в интервал еще не входит.

При $n = 1$ в интервал попадают корни от второго и третьего решения: $\frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \\$

При $n = 2$ второе и третье решение в интервал уже не попадут, однако попадает первое: $2\pi.$

Более того, оно является крайней правой точкой интервала для случая $n = 3.$

При $n = 4$ и более первый корень уже не попадает в интервал. Проверять далее, подставляя большие n смысла нет.

Итак: $\frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, 2\pi, 3\pi$

a) $BC$ параллельно $A_1D_1, $ значит, точка $C$ лежит в плоскости $BA_1D_1$. Прямоугольник $BCD_1A_1$ - искомое сечение.

$MC_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}A_1C_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

О - середина диагонали $AC_1$, значит, $OC_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По теореме косинусов: $\cos\angle{OMC_1} = \displaystyle\frac{OM^2 + C_1M^2 - OC_1^2}{2\cdot OM \cdot MC_1} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{3}{4}}{2\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $

$2^{\sqrt{x}} + 2^{\sqrt{x} - 1} - 2^{\sqrt{x}-2 }< 5$

В показателях стоит $\sqrt{x}$, это дает ограничение на решение неравенства:

$x \geq 0.$

Используя свойства степени степеней, можно получить:
$2^{\sqrt{x}}(1 + 0,5 - 0,25) < 5 \\ 2^{\sqrt{x}} < 4 \\ 4 = 2^2.$

Тогда $\sqrt{x} < 2$ или $0 \leq x \leq 4$

$ S_{ABCD} = S_{AMB} + S_{CDN} + S_{AEF} + S_{CMF} + S_{NEMF}$

Рассмотри треугольники $ABM$ и $CDN. AB = BM = CD = DN = 3 $
$ \angle{ABM} = \angle{CDN} = 180 - 2\alpha,$ противолежащие углы в параллелограмме.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда $S_{ABM} + S_{CDN} = 2S_{ABM} = AB \cdot BM \cdot\sin (180 - 2\alpha) = 9\sin 2\alpha.$

Рассмотри треугольники $AEN$ и $CMF : CM = AN, \angle{FCM} = 2\alpha, $ накрест лежащие, $\angle{ANE} = \angle{CMF}, $ накрест лежащие. Тогда треугольники равны по стороне и двум углам.

$\frac{S_{AEN}}{S_{ABN}} = \frac{EN}{ND}$ - так как у треугольников общая высота.

Рассмотрим треугольники $AEN$ и $BNM$. $\angle{BMA} = \angle{MAD} - $ накрест лежащие, $\angle{BEM} = \angle{NEA}$ - вертикальные.

Треугольники подобны по двум углам.

$\frac{EN}{EB} = \frac{AN}{BM} = \frac{2}{3}$

Тогда, $EN : NB = 2 : 5.$

Тогда $S_{AEN} = \frac{EN}{ND}S_{ABN} = \frac{6}{5}\sin 2\alpha.$

Из равенства площадей получим:
$15 \sin 2\alpha = 9 \sin 2\alpha + 2\cdot\frac{6}{5}\sin 2\alpha + 1,2 \\ \sin 2 \alpha = \frac{1}{3} \\ \angle{A} = 2\alpha \\ \sin\angle{A } = \frac{1}{3}$

Составим уравнение, которое отразит увеличение суммы каждый год на 12%

1й год: 230000·1,12=257600

2й год: (230000·1,12+230000)·1,12= 230000·1,12²+230000·1,12= 546112 – явно недостаточно

3й год: 230000·1,12³+230000·1,12²+230000·1,12 =869245,44

На 3 году сумма явно превысит 850000. Результат вычислять необязательно. Итого: через 3 года.

Если это неравенство имеет решение, то график $y = \sqrt{2 - x^2}$ лежит выше, чем график $y = a + x$.

Первый график:
$y = \sqrt{2 - x^2} \\ x^2 + y^2 = 2$

Это окружность, но здесь $y > 0, $ то есть мы изображаем только верхнюю полуокружность.

Радиус ее равен $\sqrt{2}$, центр - в начале координат.

График $y = a + x$ - это прямая. Но ее положение меняется в зависимости от значения а.

При всех значениях a меньше 2 условие выполняется.

а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только комедию, 6 мальчиков, посетивших только боевик, 11 девочек, сходивших на комедию и на боевик, то условие выполнено. Тогда в группе из 20 учеников 9 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 10 и больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Комедию посмотрело не более 3 мальчиков, поскольку, если бы их было 4 или больше, то доля мальчиков была бы не меньше $\frac{4}{4+10} = \frac{4}{14}$, что больше $\frac{3}{11}.$ Аналогично, боевик посетило не более 6 мальчиков, поскольку $\frac{7}{1+10}=\frac{7}{17} > 2,5$. Но тогда хотя бы один мальчик не пометил ни комедию ни боевик, а это противоречит условию. В предыдущем пункте было показано, что может быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе 9.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил на комедию и н а боевик. Если бы вместо него в группе присутствовали два мальчика, один из которых посетил только комедию, а другой только боевик, то доля мальчиков осталась бы прежней, а общая доля девочек в группе стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что все мальчики были и на комедии и на боевике. Пусть в группе мальчиков, посетивших комедию, мальчиков, посетивших боевик и девочек. Будем считать, что все девочики ъодили и на комедию, и на боевик, поскольку их доля в группе от этого не измениться.

По условию $\frac{m_1}{m_1 + d} \leq \frac{3}{11}, \frac{m_2}{m_2 + d} \leq \frac{2}{5}$, значит, $\frac{m_1}{d} \leq \frac{3}{8}, \frac{m_2}{d} \leq \frac{2}{3}$. Тогда $\frac{m_1 + m_2}{d} \leq \frac{25}{24}, $ поэтому доля для девочек в группе:

$\frac{d}{m_1+ m_2 + d} = \frac{1}{\frac{m_1 + m_2}{d} +1} \geq \frac{24}{49}$

В*) Если группа состоит из 9 мальчиков, посетивших только комедию, 16 мальчиков, посетивших только боевики 24 девочек, сходивших на комедию и боевик, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе $\frac{24}{49}$.