Вариант 15

№1

При оплате банковской картой магазин канцелярских товаров предоставляет скидку 10 % на стоимость покупки. Одна тетрадь стоит 3 руб. Сколько заплатит покупатель (в руб.) за 30 тетрадей, если будет расплачиваться банковской картой?

ответ

№2

На круговой диаграмме показан урожай картофеля, свеклы и моркови (в килограммах) садовода Михайлова в 2016 году.

По диаграмме определите, на сколько килограммов урожай картофеля больше урожая свеклы.

ответ

№3

Найдите площадь треугольника ABC, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см (см. рис.).

ответ

№4

Ученик четыре раза бросает симметричную монету. Какова вероятность того, что орел выпадет ровно три раза?

ответ

№5

Решите уравнение $2 - \log_3(x+2) = \log_94$

ответ

№6

На сторонах AB и AC треугольника ABC отметили точки M и N (см. рис.), так что AM : AB = AN = AC = 2 : 3. Найдите площадь трапеции MBCN, если площадь треугольника AMN равна 16 см². Ответ запишите в квадратных сантиметрах.

ответ

№7

Найдите значение коэффициента $k$, если известно, что касательная к графику функции $y=k\sin x + (3-k)\cos x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$ параллельна прямой $y = 5-x$

ответ

№8

Найдите площадь сечения AB₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, если стороны основания призмы равны 10 см, а высота призмы равна $\sqrt{69}$ см. Ответ запишите в сантиметрах.

ответ

№9

Найдите $tg \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$

ответ

№10

Два тела массой $m=1,5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью
$v = 12 $ м/с под углом α (в градусах) друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением $Q = mv^2\sin^2\frac{\alpha}{2}$. Под каким наименьшим углом α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 54 джоулей тепла?

ответ

№11

Периметр прямоугольного участка равен 98 м. Найдите длину этого участка, если известно, что если длину участка увеличить на 5 м, а ширину участка уменьшить на 4 м, то площадь участка не изменится.

ответ

№12

Найдите наибольшее значение функции $y = 2^{2-\cos x}$ на отрезке $\big[ \frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{3} \big]$.

ответ

№13

а) Решите уравнение $3tg^2 x - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0$;
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\big[ \frac{5\pi}{2}, 4\pi \big]$

ответ

а) $\;\; 3tg^2 x - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 \\ 3(\frac{1}{\cos^2 x} - 1) - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 \\ \frac{3}{\cos^2 x} - 3 - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 \\ \frac{3}{\cos^2 x} - \frac{5}{\cos x} - 2 = 0 $
Сделаем замену: $\frac{1}{\cos x} = t$
$3t^2 - 5t - 2 = 0 $
Найдем корни
$D = 25+24=49 \\ \left[ \begin{array}{ccc} t & = \frac{5+7}{6} = & 2 \\ t & = \frac{5-7}{6} = & -\frac{1}{3} \end{array} \right.$
Вернемся к замене
$\left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\cos x} & = 2 \\ \frac{1}{\cos x} & = - \frac{1}{3} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} \cos x & = \frac{1}{2} \\ \cos x & = -3 \end{array} \right.$

Знаем, что косинус лежит на промежутке [-1;1]. Тогда получаем только одно уравнение:

$\cos x = \frac{1}{2} \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $
Итак: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$

б) $\big[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \big]$ $4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$ $\frac{11\pi}{3}$

№14

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка K – середина ребра $BB_1, BB_1 = BC$

а) Постройте линию пересечения плоскостей ABC и $A_1KC$.

б) Найдите угол между этими плоскостями. Ответ дайте в градусах.

ответ

а)

CO- линия пересечения плоскостей.

б) $\bigtriangleup A_1B_1K = \bigtriangleup KBO$ (по стороне и двум и прилежащим к ней углам)

Тогда $BO = A_1B_1$

$\angle{CBO} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \\ BA = BO = BC \\ \angle{BCO} = 30^{\circ}; \\ \angle{BCA} = 60^{\circ} \\ \angle{ACO} = \angle{BCA} + \angle{BCO} = 90^{\circ}$

Тогда

$OC \perp AC$

По теореме о трех перпендикулярах:

$OC \perp A_1C$

Тогда искомый угол это $\angle{A_1CA}$

$\angle{A_1AC}$ - равнобедренный и прямоугольный, тогда искомый угол равен 45 градусов.

№15

Решите неравенство $\frac{13\cdot 11^x - 102}{11^{2x} - 16\cdot 11^x + 60} \leq \frac{1}{11^x - 10}$

ответ

Введем замену $t = 11^x, \; \; t > 0.$
$\frac{13t -102}{t^2 -16t + 60} \leq \frac{1}{t-10} \\ \frac{13t - 102}{t^2 -16t + 60} - \frac{1}{t-10} \leq 0 \\ \frac{13t - 102}{(t - 10)(t - 6)} - \frac{1}{t-10} \leq 0 \\ \frac{13t-102-t+6}{(t-10)(t-6)} \leq 0 \\ \frac{12t - 96}{(t-10)(t-6)} \leq 0 \\ \frac{12(t-8)}{(t-10)(t - 6)} \leq 0$

Получаем совокупность:
$\left[ \begin{array}{c} t< 6 \\ 8 \leq t < 10 \end{array} \right.$
Вернемся к замене:
$ \left[ \begin{array}{c} 11^x < 6 \\ 8\leq11^x<10 \end{array} \right. \\ $ $\left[ \begin{array}{c} x < \log_{11} 6 \\ \log_{11} 8 \leq x < \log_{11} 10 \end{array} \right.$

№16

Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC вписан в окружность. Из точки C проведена прямая, параллельная боковой стороне треугольника АВС. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке M.

а) Докажите, что треугольник BCM — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCM, если $\cos \angle{BAC} = 0,8$.

ответ

а) $\angle{MBC} = \angle{BAC}$ как углы между касательной и хордой
$AB || CM$, значит
$\angle{ABC} = \angle{BCM} \\ \bigtriangleup BCM \sim \bigtriangleup ABC \text{ по двум углам. }$
Тогда
$\angle{BMC} = \angle{ACB} = \angle{ABC} = \angle{BCM}$
И треугольник $BCM$ равнобедренный.
б) $\;\; \frac{S_{ABC}}{S_{BCM}} = K^2 = \frac{AB^2}{BC^2}$
По теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos\angle{BAC} = 2AB^2(1 - \cos\angle{BAC})$
Т.к. треугольник $ABC$ равнобедренный.
$\frac{S_{ABC}}{S_{BCM}} = \frac{1}{2(1-\cos\angle{BAC})} = \frac{1}{2\cdot 0,2} = 2,5$

№17

1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 5 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 280 тыс. рублей?

ответ

Минимальный срок кредита- означает что нужно каждый месяц делать максимально возможную выплату. По условию это 280 тысяч рублей.

Январь : 1100 т.р.

Февраль: 1100+5·11-280=875 т.р.

Март: 875+5·8.75-280=638.75 т.р.

Апрель: 638.75+5·6.3875-280=390.6875 т.р.

Май: 390.6875 +5·3.906875-280 =130.221875 т.р.

Июнь: 130.221875+ 5·1.30221875-280 <0

Кредит будет погашен за 6 месяцев.

№18

Найти все значения параметра m, при которых уравнение

(m – 1)x² + (m² – 2)x + (m – 5) = 0 имеет корни x 1 и x 2 , удовлетворяющие условиям x₁<0 и x₂>1.

ответ

Если один корень уравнения меньше 0, а другой больше 1, то значения функции, стоящей в левой части уравнения в точках 0 и 1, будут отрицательными (см. рис.).

$(m-1)x^2 + (m^2 - 2)x + (m-5) = 0 \\ x_1 < 0; \; \; x_2 > 1 \\ x^2 + \frac{m^2 - 2}{m-1}x+\frac{m-5}{m-1} = 0 \\ y(0) = \frac{m-5}{m-1} < 0 \\ y(1) = 1 + \frac{m^2 -2}{m-1} + \frac{m-5}{m-1} < 0$

Решаем систему методом интервалов.

$\frac{m-5}{m-1} < 0 \\ \frac{m^2 + 2m - 8}{m-1} < 0$

$1) 1 < m < 5 \\ 2) \frac{m^2+2m - 8}{m - 1} < 0 \\ m^2 +2m -8 = 0 \\ D = 4+32 = 36 \\ m = \frac{-2\pm 6}{2} \\ m = 2 \\ m = -4 \\ 1< m< 2 \\ m < -4 $

В итоге получаем:

$1 < m < 2$

№19

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4

раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

ответ

а) Можно взять два двузначных числа и сложить их $n$ раз, где $n$ - натуральное число.
Пусть $ab$ и $cd$ - два таких числа. Тогда:
$(10a +b)n + (10c + d)n = 363 \\ (a+10b)n + (c+10d)n = 4\cdot 363 \\ 40a + 4b + 40c + 4d = a +10b + c + 10d \\ 39a + 39c = 6b + 6d \\ 13(a+c) = 2(b+d)$
Подходит: $a = 1\; c = 1 \; b = 7\; d = 6 $
$363/n = 10\cdot 1 + 7 + 10 + 6 = 33 $
$n = 11$ То есть подходит комбинация из 22 чисел: $17 - 11$ раз, $16 - 11$ раз.
б) $\frac{10a +b+10c+d+10e + f}{a+10b+c+10d+e+10f} = 0,5 \\ 20a +2b +20c +2d + 20e + 2f = a+10b+c+10d+e+10f \\ 19a+19c+19e=8b+8d+8f \\ \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{8}{19}$
$8\cdot 10 +19 = 99$. Сумма будет кратна 99. А 363 не кратно 9. Значит, найти числа в соотношении $1\; : \; 2$ невозможно.
в) Наибольшая сумма: $b=d=9$. Наибольшее число слагаемых $a=c=1$.
$(10a +b)n + (10c + b)n +f = 363$
f- остаток
Если $f = 0$
$19n + 19n = 363 \\ n\leq \frac{363}{19\cdot 2} \\ n_{max} = 9$
Если $n = 9: \; a = 363-19\cdot 2 \cdot 9 = 21$
Получили: $19 \;\;- \;\;18$ штук, $21 \; \; - \; \; 1$ штука.
Переворачиваем: $91\cdot 2\cdot 9 +12 = 1638 + 12 = 1650$