Вариант 15

Время
3:55:00
№1

При оплате банковской картой магазин канцелярских товаров предоставляет скидку 10 % на стоимость покупки. Одна тетрадь стоит 3 руб. Сколько заплатит покупатель (в руб.) за 30 тетрадей, если будет расплачиваться банковской картой?

ответ

№2

На круговой диаграмме показан урожай картофеля, свеклы и моркови (в килограммах) садовода Михайлова в 2016 году.

По диаграмме определите, на сколько килограммов урожай картофеля больше урожая свеклы.

ответ

№3

Найдите площадь треугольника ABC, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см (см. рис.).

ответ

№4

Ученик четыре раза бросает симметричную монету. Какова вероятность того, что орел выпадет ровно три раза?

ответ

№5

Решите уравнение $2 - \log_3(x+2) = \log_94$

ответ

№6

На сторонах AB и AC треугольника ABC отметили точки M и N (см. рис.), так что AM : AB = AN = AC = 2 : 3. Найдите площадь трапеции MBCN, если площадь треугольника AMN равна 16 см2. Ответ запишите в квадратных сантиметрах.

ответ

№7

Найдите значение коэффициента $k$, если известно, что касательная к графику функции $y=k\sin x + (3-k)\cos x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$ параллельна прямой $y = 5-x$

ответ

№8

Найдите площадь сечения AB1C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, если стороны основания призмы равны 10 см, а высота призмы равна $\sqrt{69}$ см. Ответ запишите в сантиметрах.

ответ

№9

Найдите $tg \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$

ответ

№10

Два тела массой $m=1,5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью
$v = 12 $ м/с под углом α (в градусах) друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением $Q = mv^2\sin^2\frac{\alpha}{2}$. Под каким наименьшим углом α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 54 джоулей тепла?

ответ

№11

Периметр прямоугольного участка равен 98 м. Найдите длину этого участка, если известно, что если длину участка увеличить на 5 м, а ширину участка уменьшить на 4 м, то площадь участка не изменится.

ответ

№12

Найдите наибольшее значение функции $y = 2^{2-\cos x}$ на отрезке $\big[ \frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{3} \big]$.

ответ

№13

а) Решите уравнение $3tg^2 x - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0$;
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\big[ \frac{5\pi}{2}, 4\pi \big]$

ответ

а) $\;\; 3tg^2 x - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 \\ 3(\frac{1}{\cos^2 x} - 1) - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 \\ \frac{3}{\cos^2 x} - 3 - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 \\ \frac{3}{\cos^2 x} - \frac{5}{\cos x} - 2 = 0 $
Сделаем замену: $\frac{1}{\cos x} = t$
$3t^2 - 5t - 2 = 0 $
Найдем корни
$D = 25+24=49 \\ \left[ \begin{array}{ccc} t & = \frac{5+7}{6} = & 2 \\ t & = \frac{5-7}{6} = & -\frac{1}{3} \end{array} \right.$
Вернемся к замене
$\left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\cos x} & = 2 \\ \frac{1}{\cos x} & = - \frac{1}{3} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} \cos x & = \frac{1}{2} \\ \cos x & = -3 \end{array} \right.$

Знаем, что косинус лежит на промежутке [-1;1]. Тогда получаем только одно уравнение:

$\cos x = \frac{1}{2} \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $
Итак: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$


б) $\big[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \big]$ $4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$ $\frac{11\pi}{3}$

№14

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ точка K – середина ребра $BB_1, BB_1 = BC$

а) Постройте линию пересечения плоскостей ABC и $A_1KC$.

б) Найдите угол между этими плоскостями. Ответ дайте в градусах.

ответ

а)

CO- линия пересечения плоскостей.

б) $\bigtriangleup A_1B_1K = \bigtriangleup KBO$ (по стороне и двум и прилежащим к ней углам)

Тогда $BO = A_1B_1$

$\angle{CBO} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \\ BA = BO = BC \\ \angle{BCO} = 30^{\circ}; \\ \angle{BCA} = 60^{\circ} \\ \angle{ACO} = \angle{BCA} + \angle{BCO} = 90^{\circ}$

Тогда

$OC \perp AC$

По теореме о трех перпендикулярах:

$OC \perp A_1C$

Тогда искомый угол это $\angle{A_1CA}$

$\angle{A_1AC}$ - равнобедренный и прямоугольный, тогда искомый угол равен 45 градусов.

№15

Решите неравенство $\frac{13\cdot 11^x - 102}{11^{2x} - 16\cdot 11^x + 60} \leq \frac{1}{11^x - 10}$

ответ

Введем замену $t = 11^x, \; \; t > 0.$
$\frac{13t -102}{t^2 -16t + 60} \leq \frac{1}{t-10} \\ \frac{13t - 102}{t^2 -16t + 60} - \frac{1}{t-10} \leq 0 \\ \frac{13t - 102}{(t - 10)(t - 6)} - \frac{1}{t-10} \leq 0 \\ \frac{13t-102-t+6}{(t-10)(t-6)} \leq 0 \\ \frac{12t - 96}{(t-10)(t-6)} \leq 0 \\ \frac{12(t-8)}{(t-10)(t - 6)} \leq 0$

Получаем совокупность:
$\left[ \begin{array}{c} t< 6 \\ 8 \leq t < 10 \end{array} \right.$
Вернемся к замене:
$ \left[ \begin{array}{c} 11^x < 6 \\ 8\leq11^x<10 \end{array} \right. \\ $ $\left[ \begin{array}{c} x < \log_{11} 6 \\ \log_{11} 8 \leq x < \log_{11} 10 \end{array} \right.$

№16

Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC вписан в окружность. Из точки C проведена прямая, параллельная боковой стороне треугольника АВС. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке M.

а) Докажите, что треугольник BCM — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCM, если $\cos \angle{BAC} = 0,8$.

ответ

а) $\angle{MBC} = \angle{BAC}$ как углы между касательной и хордой
$AB || CM$, значит
$\angle{ABC} = \angle{BCM} \\ \bigtriangleup BCM \sim \bigtriangleup ABC \text{ по двум углам. }$
Тогда
$\angle{BMC} = \angle{ACB} = \angle{ABC} = \angle{BCM}$
И треугольник $BCM$ равнобедренный.
б) $\;\; \frac{S_{ABC}}{S_{BCM}} = K^2 = \frac{AB^2}{BC^2}$
По теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos\angle{BAC} = 2AB^2(1 - \cos\angle{BAC})$
Т.к. треугольник $ABC$ равнобедренный.
$\frac{S_{ABC}}{S_{BCM}} = \frac{1}{2(1-\cos\angle{BAC})} = \frac{1}{2\cdot 0,2} = 2,5$

№17

1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 5 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 280 тыс. рублей?

ответ

Минимальный срок кредита- означает что нужно каждый месяц делать максимально возможную выплату. По условию это 280 тысяч рублей.

Январь : 1100 т.р.

Февраль: 1100+5·11-280=875 т.р.

Март: 875+5·8.75-280=638.75 т.р.

Апрель: 638.75+5·6.3875-280=390.6875 т.р.

Май: 390.6875 +5·3.906875-280 =130.221875 т.р.

Июнь: 130.221875+ 5·1.30221875-280 <0

Кредит будет погашен за 6 месяцев.

№18

Найти все значения параметра m, при которых уравнение

(m – 1)x2 + (m2 – 2)x + (m – 5) = 0 имеет корни x 1 и x 2 , удовлетворяющие условиям x1<0 и x2>1.

ответ

Если один корень уравнения меньше 0, а другой больше 1, то значения функции, стоящей в левой части уравнения в точках 0 и 1, будут отрицательными (см. рис.).

$(m-1)x^2 + (m^2 - 2)x + (m-5) = 0 \\ x_1 < 0; \; \; x_2 > 1 \\ x^2 + \frac{m^2 - 2}{m-1}x+\frac{m-5}{m-1} = 0 \\ y(0) = \frac{m-5}{m-1} < 0 \\ y(1) = 1 + \frac{m^2 -2}{m-1} + \frac{m-5}{m-1} < 0$

Решаем систему методом интервалов.

$\frac{m-5}{m-1} < 0 \\ \frac{m^2 + 2m - 8}{m-1} < 0$

$1) 1 < m < 5 \\ 2) \frac{m^2+2m - 8}{m - 1} < 0 \\ m^2 +2m -8 = 0 \\ D = 4+32 = 36 \\ m = \frac{-2\pm 6}{2} \\ m = 2 \\ m = -4 \\ 1< m< 2 \\ m < -4 $

В итоге получаем:

$1 < m < 2$

№19

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4

раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

ответ

а) Можно взять два двузначных числа и сложить их $n$ раз, где $n$ - натуральное число.
Пусть $ab$ и $cd$ - два таких числа. Тогда:
$(10a +b)n + (10c + d)n = 363 \\ (a+10b)n + (c+10d)n = 4\cdot 363 \\ 40a + 4b + 40c + 4d = a +10b + c + 10d \\ 39a + 39c = 6b + 6d \\ 13(a+c) = 2(b+d)$
Подходит: $a = 1\; c = 1 \; b = 7\; d = 6 $
$363/n = 10\cdot 1 + 7 + 10 + 6 = 33 $
$n = 11$ То есть подходит комбинация из 22 чисел: $17 - 11$ раз, $16 - 11$ раз.
б) $\frac{10a +b+10c+d+10e + f}{a+10b+c+10d+e+10f} = 0,5 \\ 20a +2b +20c +2d + 20e + 2f = a+10b+c+10d+e+10f \\ 19a+19c+19e=8b+8d+8f \\ \frac{a+c+e}{b+d+f} = \frac{8}{19}$
$8\cdot 10 +19 = 99$. Сумма будет кратна 99. А 363 не кратно 9. Значит, найти числа в соотношении $1\; : \; 2$ невозможно.
в) Наибольшая сумма: $b=d=9$. Наибольшее число слагаемых $a=c=1$.
$(10a +b)n + (10c + b)n +f = 363$
f- остаток
Если $f = 0$
$19n + 19n = 363 \\ n\leq \frac{363}{19\cdot 2} \\ n_{max} = 9$
Если $n = 9: \; a = 363-19\cdot 2 \cdot 9 = 21$
Получили: $19 \;\;- \;\;18$ штук, $21 \; \; - \; \; 1$ штука.
Переворачиваем: $91\cdot 2\cdot 9 +12 = 1638 + 12 = 1650$

Нажми, чтобы завершить тест и увидеть результаты

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно