sin 2x = 2cos x – sin x + 1 .

а) $2\sin (x)\cos (x) = 2\cos (x) - \sin (x) + 1 \\ 2\cos (x) - \sin (x) + 1 - 2\sin (x) \cos (x) = 0 \\ 2\cos (x) (1 - \sin (x)) + 1 - \sin (x) = 0 \\ (1 - \sin (x))(2\cos (x) + 1 ) = 0 \\ 1 -\sin (x) = 0 \\ 2\cos (x) + 1 = 0 \\ \sin (x) = 1 \\ \cos (x) = -0,5 \\ x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + 2\pi n , n \in Z \\ x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \\ x = \displaystyle \frac{4\pi}{3} + 2\pi q, q \in Z$

б) Корни , принадлежащие отрезку $[\displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{3\pi}{2}]$

Из решения уравнения видно, что в данный отрезок войдут только точки, отвечающие значениями $n = k =q =0$

$x = \displaystyle \frac{\pi}{2}; \\ x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} ; \\ x = \displaystyle \frac{4\pi}{3};$

Ответ: а) $x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + 2\pi n; n \in Z \\ x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; k \in Z \\ x = \displaystyle \frac{4\pi}{3} + 2\pi q, q \in Z$

б)

$x = \displaystyle \frac{\pi}{2}; \\ x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} ; \\ x = \displaystyle \frac{4\pi}{3};$

а) Рассмотрим $\bigtriangleup D_1NK:$

$\angle{ND_1K} = 90^{\circ} \\ D_1N = D_1K = 6-1 = 5; \\ NK = 5\sqrt{2}$

Аналогично

$MP = 5\sqrt{2} \\ \bigtriangleup AA_1N: \\ A_1N = 1; \\ AA_1 = 4\sqrt{3}; \\ \angle{AA_1N} = 90^{\circ};$

Тогда: $AN = 7$

$\bigtriangleup AMN: \\ AM = 1; \\ AN = 7 \\ AM \perp AD; \\ AM \perp AA_1$

Тогда, $AM \perp (AA_1D)$ и

$\angle{NAM} = 90^{\circ} \\ MN = 5\sqrt{2}$

И, аналогично, получаем:

$KP = 5\sqrt{2}$

Получили, что в четырехугольнике MNKP равны все стороны.

Далее необходимо доказать равенство всех углов.

Для этого проведем прямую через точку N параллельно боковому ребру. Она пересечет прямую AD в точке Y. Далее проведем прямую через точку Y параллельно стороне AB. Она пересечет сторону BC в точке Z. Рассмотрим треугольник PYZ, лежащий в плоскости основания.YZ = AB = 6. PZ = BC – PC – BZ = 6-1- 1 = 4,

∠ PZY= 90˚, так как осуществляли параллельный перенос. Тогда, по теореме Пифагора, $YP = \sqrt{5}$

Далее рассмотрим треугольник NYP. Прямая NY параллельна боковому ребру, значит, перпендикулярна всех плоскости основания, значит, ∠NYP= 90˚. Тогда, по теореме Пифагора NM = MP= , NP=10. Тогда стороны данного треугольника удовлетворяют условию: Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, ∠NMP= 90˚ .Аналогично доказываем, что остальные углы в четырехугольнике – прямые. Более того, NK║ A ₁ C ₁ ║AC║MP. Тогда MNKP - четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны, то есть, по определению, квадрат, что и требовалось доказать.

б)Чтобы найти искомое сечение, необходимо продлить прямую MP до пересечения с плоскостями боковых граней. Пусть MP∩AD = T, MP∩DC= F.

Соединим точки N и T, а также K и F. Пусть NT∩ AA ₁ = Q, KF∩CC₁ = E.

Тогда MQNKEP – искомое сечение. Из предыдущего пункта ясно, что искомая фигура состоит из квадрата и двух треугольников. Достроим шестиугольник до прямоугольника. Для этого через точки T и F проведем FI║KP и XT║NM. Точки Q и E – середины диагоналей, так как диагонали прямоугольников точками пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники ATM и BPM. Они подобны по двум углам. Тогда

$\displaystyle \frac{TM}{MP} = \displaystyle \frac{AM}{MB} \\ \displaystyle \frac{TM}{5\sqrt{2}} = \displaystyle \frac{1}{2} \\ TM = \sqrt{2}; \\ PF = \sqrt{2}; \\ S_{TNFF} = \displaystyle \frac{NK + TF}{2}NM = 60; \\ S_{TQM} = S_{FEP} = \displaystyle \frac{1}{2} TM \cdot \displaystyle \frac{1}{2} NM = 2,5 \\ S_{MQNKEP} = 60 -2,5 \cdot 2 = 55$

$\log_{0,1} \displaystyle \frac{3x+1}{x+1} > -1 \\ \log_{0,1}\displaystyle \frac{3x+1}{x+1} > \log_{0,1}10 \\ 0 < \displaystyle \frac{3x+1}{x+1} < 10 \\ a) \displaystyle \frac{3x + 1}{x+1} > 0 \\ x > -\displaystyle \frac{1}{3} \\ x < -1 $

$b) \; \; \displaystyle \frac{3x+1}{x+1} < 10 \\ \displaystyle \frac{3x + 1 -10x - 10}{x+ 1} < 0 \\ \displaystyle \frac{-7x -9}{x+1} < 0 \\ x > -1 \\ x < - \displaystyle \frac{9}{7}$

Объединяя а) и б) получим: x < $-\displaystyle \frac{9}{7}$ или x > -1

а) Проведем АТ параллельно СВ до пересечения с продолжение отрезка СМ. Тогда треугольники МАТ и МВС равны по стороне (МА = МВ по условию) и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следует равенство элементов: СВ = АТ, СМ = МТ. Треугольники ТОА и COD подобны по двум углам. Коэффициент отношения: $\displaystyle \frac{CD}{AT} = \displaystyle \frac{CD}{CB} = \displaystyle \frac{OT}{OD} = \displaystyle \frac{1}{3}$

Ч.т.д.

б) Треугольник АВС — прямоугольный, угол С прямой, т. к. выполняется теорема Пифагора. Т. к. СМ — медиана, проведенная из прямого угла, СМ = 0.5АВ = 14,5. Проведем СК параллельно АВ до пересечения с продолжением отрезка AD. Треугольники CDK и BDA подобны по двум углам. Коэффициент отношения: $\displaystyle \frac{BD}{DC} = \displaystyle \frac{BA}{CK} = \displaystyle \frac{2}{1}$

CK =0.5 BA = AM. Треугольники CKO и MAO равны по стороне (СК = АМ) и прилежащим углам. Из равенства треугольников следует равенство элементов: ОА = ОК, СО = ОМ = СМ = 7,25.

$\sqrt{x^4 - 4x^2 + a^2} = x^2 + 2x - a$

Возведем обе части в квадрат:

$\sqrt{x^4 - 4x^2 + a^2} = x^2 + 2x - a$

$x^4 - 4x^2 + a^2 = x^4 + 2x^2 (2x - a) + (2x -a)^2 \\ x^4 - 4x^2 + a^2 = x^4 + 4x^3 - 2x^2 a+4x^2 -4xa + a^2 \\ 4x^3 + 4x^2 - 2x^2a + 4x^2 - 4xa = 0 \\ 2x^3 + 4x^2 - ax^2 - 2ax = 0; \\ x = 0; \\ 2x^2 + 4x - ax - 2a =0; $

х = 0- корень вне зависимости от значения a. Если нам нужно чтобы было два корня, то последнее уравнение должно иметь одно решение: это возможно, когда дискриминант равен 0. Найдем при каком a это выполняется.

$D = (4-a)^2 + 16a = (4+a)^2$

Тогда при a = -4 у квадратного уравнения имеется всего один корень, и он удовлетворяет ОДЗ. Тогда изначальное уравнение имеет 2 корня.

Найдем корни квадратного уравнения:

$\left[ \begin{array}{c} x = \displaystyle \frac{a-4+4+a}{4} = \displaystyle \frac{a}{2} \\ x = \displaystyle \frac{a-4-4-a}{4} = -2 \end{array} \right.$

Тогда всё уравнение будет иметь корня, если корень $\displaystyle \frac{a}{2}$ совпадает с корнем 0, то есть при а = 0.

Также возможен случай, когда корень $\displaystyle \frac{a}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ изначального иррационального уравнения. Однако, подставив этот корень, убеждаемся, что он всегда удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: a=0; -4

а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и 12 девочек, каждая из которых ела и то и другое, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 25 детей могло быть 13 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 14 или больше. Тогда девочек было 11 или меньше. Пусть число мальчиков, евших бутерброды равно m₁. Тогда число $\displaystyle \frac{m_1}{m_1 + 11}$ не больше , чем доля мальчиков, евших бутерброды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем 5/16 откуда: $\displaystyle \frac{m_1}{m_1 + 11} \leq 5/16$ и, следовательно, $m_1 \leq 5$. Пусть m₂ — число мальчиков, евших конфеты. Аналогично, m₁ откуда, учитывая, что m₂ число целое, находим: $m_2 \leq 7$. Но тогда общее число мальчиков, евших хот что-то не больше, чем 5 + 7 = 12. Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 25 учащихся могло быть 13 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 13.

Предположим, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды. Если бы вместо него было два мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой — только бутерброды, то доля мальчиков, евших конфеты и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы прежними, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек можно считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды.

Пусть, как прежде, m₁ мальчиков ели бутерброды, m₂ ели конфеты, и всего было d девочек. Оценим долю девочек. Будем считать, что каждая девочка ели и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди евших бутерброды не станут меньше.

$\displaystyle \frac{m_1}{m_1 + d} \leq \displaystyle \frac{5}{16}; \; \; \displaystyle \frac{m_2}{m_2 + d} \leq \displaystyle \frac{2}{5}; \\ \displaystyle \frac{m_1}{d} \leq \displaystyle \frac{5}{11}; \; \; \displaystyle \frac{m_2}{d} \leq \displaystyle \frac{2}{3}; \\ \displaystyle \frac{m_1 + m_2}{d} \leq \displaystyle \frac{37}{33}; \\ \displaystyle \frac{d}{m_1 + m_2 + d} = \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{m_1 + m_2}{d} + 1} \geq \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{37}{33} + 1} = \displaystyle \frac{33}{70}$

Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть. Например, если из 70 детей 15 мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и еще было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек d=33/70.

Ответ: а) да б)13 в) 33/70