а) $25^{x+1} - 2\cdot 5^{x+2} + 5 = 0; \\ 25\cdot 25^x - 2\cdot 25 \cdot 5^x + 5 = 0; \\ 5^x = z; \\ 25z^2 - 50z + 5 = 0; \\ D = 2500 - 5\cdot 25 \cdot 4 = 2000 \\ z_{1,2} = \displaystyle \frac{50 \pm \sqrt{2000}}{50} = 1 \pm \displaystyle \frac{\sqrt{80}}{10} = 1 \pm 0,4\sqrt{5}$
$x_{1,2} = \log_5 (1 \pm 0,4 \sqrt{5})$

б)

$[-2, \log_3\displaystyle \frac{2}{3}]$

Проверим:

$-2 = \log_2\displaystyle \frac{1}{25} \\ \log_3 \displaystyle \frac{2}{3} = \log_3 2 - 1 \\ \log_31 - 1 < \log_3 2-1 < \log_3 3-1 \\ -1 < \log_32-1 < 0$

Проверим корни.

$2 < \sqrt{5} < 3 \\ 0,8 < 0,4\sqrt{5} < 1,2 \\ 1,8 < 1 + 0,4\sqrt{5} < 2,2 \\ \log_5 1,8 < \log_5(1 + 0,4\sqrt{5}) < \log_5 2,2 \\ \log_51 < \log_51,8 < \log5(1 + 0,4\sqrt{5}) < \log_5 2,2 \\ \log_5 1 < \log_5(1 + 0,4\sqrt{5}) \\ 0 < \log_5(1 + 0,4\sqrt{5})$

Корень не подходит.

$2 < \sqrt{5} < 3 \\ 0,8 < 0,4\sqrt{5} < 1,2 \\ -1,2 < -0,4\sqrt{5} < -0,8 \\ -0,2 < 1 -0,4\sqrt{5} < 0,2 $
$\begin{cases} 1 - 0,4\sqrt{5} < 0,2 \\ 1 - 0,4\sqrt{5} > -0,2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \log_5(1 - 0,4\sqrt{5}) < \log_50,2 \\ 1-0,4 \sqrt{5} > -0,2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \log_5(1 - 0,4\sqrt{5}) < -1 \\ 1 - 0,4\sqrt{5} > -0,2 \end{cases}$

Проверили левую границу: найденный корень меньше -1. Осталось проверить, что он больше -2.

$\log_5(1 - 0,4\sqrt{5}) > -2 \\ 1 -0,4\sqrt{5} > \displaystyle \frac{1}{25} \\ 0,4\sqrt{5} < 1 - \displaystyle \frac{1}{25} \\ \sqrt{5} < \displaystyle \frac{24}{25} \cdot \displaystyle \frac{10}{4} \\ \sqrt{5} < \displaystyle \frac{6}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{1} \\ \sqrt{5} < 2,4 \\ 5 < 5,76$

Выполняется, значит, найденный корень больше -2. Он входит в промежуток.
Ответ: а) $x_{1,2} = \log_5(1 \pm 0,4\sqrt{5})$

б) $ \log_5(1 -0,4\sqrt{5})$

а) В плоскости DBD₁ через точку К проведем прямую параллельно BD₁ . Пусть эта прямая пересекает диагональ в точке L. В плоскости основания проведем прямую C₁ L, пусть она пересекает сторону A₁В₁ в точке P. Треугольник KPC₁ — сечение, проходящее через точки К и С₁ параллельно прямой BD₁. Действительно, прямая BD₁ параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL. В плоскости основания А₁ B₁ C₁ D₁ через точку A₁ проведем прямую параллельно C₁P. Пусть она пересекает D₁В₁ в точке М.

Тогда, используя теорему Фалеса:

$\displaystyle \frac{B_1L}{LD_1} = \displaystyle \frac{B_1K}{K_1B} = \displaystyle \frac{1}{4}.$

Треугольники С₁LD_{1 и} PLB₁ подобны по двум углам. Тогда:

$\displaystyle \frac{B_1L}{LD_1} = \displaystyle \frac{PB_1}{D_1C_1} = \displaystyle \frac{1}{4}$

Отсюда:

$\displaystyle \frac{PB_1}{D_1C_1} = \displaystyle \frac{PB_1}{A_1B_1} = \displaystyle \frac{1}{4} \rightarrow \displaystyle \frac{PB_1}{ A_1P + PB_1} = \displaystyle \frac{1}{4} \rightarrow 4PB_1 = A_1P + PB_1 \rightarrow 3PB_1 = A_1P, $ ч.т.д.

б) Пусть теперь точка N — основание высоты NB₁ прямоугольного треугольника KC₁В_1. NB₁— является проекцией наклонной PN на плоскость BCB₁ . Тогда угол PNB₁ — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

$PB_1 = \displaystyle \frac{5}{4}$

Выразим площадь треугольника $PB_1N$

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot B_1N \cdot \sqrt{26} \rightarrow B_1N = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{26}}$

Найдем тангенс по определению.

$tgB_1NP = \displaystyle \frac{5\sqrt{26}}{4\cdot 5} = \displaystyle \frac{\sqrt{26}}{4} \rightarrow B_1NP = arctg \displaystyle \frac{\sqrt{26}}{4}$

$\log_2\log_4x + \log_4\log_2x \leq 1 \\ 2\log_4\log_4x + \log_4\log_2x \leq 1 \\ \log_4(\log_4x)^2 + \log_4\log_2x \leq 1 \\ \log_4((\log_4x)^2\log_2x) \leq 1 \\ (\log_4x)^2\log_2x \leq 4 \\ (\log_4x)^3 \leq 2 \\ \log_4x \leq 2^{\displaystyle \frac{1}{3}} \\ x \leq 4^{2\displaystyle \frac{1}{3}}$

Запишем ограничения на ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ \log_2x > 0 \\ \log_4x > 0\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x >0 \\ \log_2x > \log_21 \\ \log_4x > \log_41 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x >0 \\ x > 1 \leftrightarrow x > 1 \\ x> 1 \end{cases}$

а)

а) Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения.

АВ⋂CD=O.

Отметим, что ∠ BCE=∠ HAD в силу равенства углов между парами параллельных прямых. Тогда, безусловно, △ BCE ~ △ HAD по двум углам (с учетом наличия прямых углов). Из указанного подобия вытекает, что

BE/HD=EC/AD

так как CE||AH => △OCE ~ △OAD => CE/AD=OE/OD.

Из этих двух пропорций сделаем вывод о том, что BE/HD=OE/OD.

Преобразуем данную пропорцию:

BE/HD=OE/OD

BE/OE=HD/OD

(OE–OB)/OE=(OD–OH)/OD

1–OB/OE=1–OH/OD

OB/OE=OH/OD.

Из последнего равенства (по двум пропорциональным сторонам и углу) заключаем, что △ OCE ~ △ OAD => ∠ OHB=∠ ODE => BH || ED .

б) ∠ BCD=135° => ∠ OCB=45° => △ OBC — равнобедренный. Тогда OB=BC. Аналогичный вывод BC=BE сделаем из равнобедренности прямоугольного треугольника BEC ( ∠ BCD=45^° ). Легко видно, что B — середина OE => k=2 — коэффициент подобия для △ OCE и △ OAD . Следовательно BH:ED=1:2

Пусть в меньший класс распределено х мальчиков (где 1 ≤ х ≤ 21), тогда в больший класс попало (23 – х) мальчиков. Значит, суммарная доля мальчиков в двух классах равна:

$\displaystyle \frac{x}{21} + \displaystyle \frac{23-x}{22} = \displaystyle \frac{x}{462} + \displaystyle \frac{23}{22}$

и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом.Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [1; 21], то есть при х = 21. Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочки и 2 мальчика.

$\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -16a^2x + 4x + a}{x^3 -16a^2x} = 1 \\ \displaystyle \frac{x^3 + x^2 -16a^2x + 4x + a}{x^3 -16a^2x} = 1 \\ x^3 + x^2 - 16a^2x + 4x + a = x^3 - 16a^2x \\ x^3 - 16a^2x \neq 0; \\ x \neq 0; \\ x \neq \pm 2a \\ x^2 + 4x + a = 0; \\ D = 16 -4a \\ x= \displaystyle \frac{-4 \pm \sqrt{16 -4a}}{2} \\ x_{1,2} = 2\pm \sqrt{4 - a}$

Для того, чтобы было одно решение, корни должны быть равны, то есть

$a = 4$

Решение уравнения:

$x = -2; \; \; x \neq 0 \\ x \neq \pm 4$

Также возможен случай, когда 2 корня, но один из них не удовлетворяет ОДЗ.

Проверим корни.

Приравняем первый корень к 4a и -4a.

$-2-\sqrt{4 - a} = 4a \leftrightarrow -2-4a = \sqrt{4 -a} \leftrightarrow \begin{cases} 4+16a +16a^2 = 4-a \\-2-4a \geq 0 \end{cases} \leftrightarrow \\ \leftrightarrow \begin{cases} 17a + 16a^2 = 0 \\ -2-4a \geq 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} a(17+16a) = 0 \\ -2 \geq 4a \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{c} a = 0 \\ a = -\displaystyle \frac{17}{16} \leftrightarrow a = -\displaystyle \frac{17}{16} \end{array} \right. \\ -0,5 \geq a\end{cases}$

$-2-\sqrt{4 - a} = -4a \leftrightarrow -2+4a = \sqrt{4 -a} \leftrightarrow \begin{cases} 4-16a +16a^2 = 4-a \\-2+4a \geq 0 \end{cases} \leftrightarrow \\ \leftrightarrow \begin{cases} 16a^2 -15a = 0 \\ -2+4a \geq 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} a(16a - 15) = 0 \\ 4a \geq 2 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{c} a = 0 \\ a = \displaystyle \frac{15}{16} \leftrightarrow a = \displaystyle \frac{15}{16} \end{array} \right. \\ a \geq 0,5\end{cases}$
$-2-\sqrt{4 - a} = 0 \leftrightarrow -2 = \sqrt{4 -a} \leftrightarrow \oslash$

Приравняем второй корень к 4a и -4a.

$-2+\sqrt{4 - a} = 4a \leftrightarrow \sqrt{4 -a} = 4a + 2 \leftrightarrow \begin{cases} 4+16a +16a^2 = 4-a \\4a + 2 \geq 0 \end{cases} \leftrightarrow \\ \leftrightarrow \begin{cases} 17a + 16a^2 = 0 \\ 4a \geq -2 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} a(17 + 16a) = 0 \\ a \geq -0,5 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{c} a = 0 \\ a = -\displaystyle \frac{17}{16} \leftrightarrow a = 0 \end{array} \right. \\ a \geq -0,5\end{cases}$
$-2+\sqrt{4 - a} = -4a \leftrightarrow 2-4a = \sqrt{4 -a} \leftrightarrow \begin{cases} 4 -16a + 16a^2 = 4 -a \\ 2 -4a \geq 0 \end{cases}\leftrightarrow \\ \leftrightarrow \begin{cases} 16a^2 - 15a = 0 \\ 2-4a \geq 0\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} a(16a - 15) = 0 \\ 4a \leq 2 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{c} a = 0 \\ a = \displaystyle \frac{15}{16} \leftrightarrow a = 0 \end{array} \right. \\ a \leq 0,5 \end{cases}$

Итак, при данных значениях а второй корень не удовлетворяет ОДЗ.

а) Да, могут, если разделить числа так:

Первая группа: 1, 5

Вторая группа: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 16

Третья группа: 3

Тогда в первой и третьей группах будет одинаковое значение.

б) Пусть а-среднее арифметическое во всех группах. Пусть в первой группе x чисел, во второй y, в третьей z чисел. Тогда сумма чисел равна: a(x+y+z).

С другой стороны, x+y+z = 10 по условию. Отсюда: 10a.

Посчитаем сумму написанных в условии чисел: 1+2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 16=61

Получаем уравнение: $10a = 61\leftrightarrow a = 6,1 $. Тогда должно выполняться, что $6,1x; 6,1y; 6,1z$ -целые числа, но это невозможно ни при каких значениях, так как x,y,z принимают значения от 1 до 8. Поэтому не могут.

в) Среднее арифметическое какой-либо из трёх групп должно быть больше 6, так как в противном случае сумма меньше 60, что невозможно.

Если в группе b чисел, то сумма чисел не меньше, чем 6b+1, а среднее арифметическое не меньше, чем $6 +\displaystyle \frac{1}{b}$

Если все числа составляют отдельную группу, то наибольшего из получаемых трёх средних арифметических будет равно 16. Это не наименьшее значение.

Есть в группе 8 чисел, то две группы будут состоять из одного числа. Если какое-то из них больше 7, то среднее арифметическое большой группы не меньше

$\displaystyle \frac{61 - (5+6)}{8} = \displaystyle \frac{50}{8} = \displaystyle \frac{25}{4} = 6,25$

Если в группе 7 чисел, то среднее арифметическое не меньше, чем $6+ \displaystyle \frac{1}{7} = \displaystyle \frac{43}{7}$ Это и есть наименьшее возможное значение. Приведем пример:

Первая группа: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 16

Вторая группа: 3, 9

Третья группа: 6

Итоговы ответы:

1. да
2. нет
3. 43/7