Вариант 20

№1

Абонентская плата тарифа «Все включено М» составляет 400 руб. в месяц. В эту стоимость входит 400 мин исходящих звонков. С 401 минуты действует тариф 3,4 руб. за мин. Какой счет выставит телефонная компания клиенту в конце месяца за 471 исходящую минуту?

ответ

№2

На графике представлены среднемесячные показатели количества осадков в Токио за 2015 г. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали количество выпавших осадков (в мм).

Вычислите сколько всего выпало осадков (в мм) с сентября по ноябрь.

ответ

№3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см ×1 см изображён треугольник. Найдите его периметр (в см).

ответ

№4

Лиза и Маша играют в лото. В мешке лежат бочонки с числами от 1 до 90. В результате нескольких ходов достали бочонки с номерами 36, 72, 31, 64, 50, 6, 11, 15, 90, 21. Найдите вероятность того, что в следующий ход Маша вытащит бочонок с номером с 30 по 39.

ответ

№5

Решите уравнение $\sin(\pi x - \displaystyle \frac{3\pi}{4}) = \sin 900^{\circ}$

В ответе укажите наибольший отрицательный корень.

ответ

№6

В равнобедренной трапеции ABCD точка E - середина большего основания AD. AB=BE. Найдите среднюю линию трапеции (в см), если меньшее её основание равно 10 см.

ответ

№7

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = \displaystyle \frac{4}{3}t^3 - 10t^2 - 31t + 12$ (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в сек., измеряемое сначала движения). В какой момент времени ее скорость была 25 м⁄с?

ответ

№8

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра SC. Найдите длину отрезка AE, если боковое ребро равно $4\sqrt{3}, $ а сторона основания 2√6.

ответ

№9

Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{6}{7}\sqrt{x^2 -20x +100}$ при x=3.

ответ

№10

Скорость велосипеда равна линейной скорости колеса, которая вычисляется по формуле $u = \pi dn\displaystyle \frac{z_1}{z_2}$ где Z₁,Z₂ — количество зубцов ведущей зубчатки и ведомой, соответственно, n=1 об⁄с — частота вращения педалей. При каком диаметре колеса d (в м), скорость велосипеда будет 6,75 м⁄с, если ведущая зубчатка имеет 48 зубцов, ведомая — 16, число π принять равным 3.

ответ

№11

Магазин открылся в начале января 2015 года. Объём продаж менялся таким образом, что на конец каждого месяца, начиная с месяца открытия, сумма в кассе увеличивалась на 10 % по сравнению с предыдущим. Определите, сколько было тысяч рублей в кассе в конце января, если к концу апреля 2015 г. сумма продаж, накопленная за 4 месяца, составила 464,1 тыс. руб.

ответ

№12

Найдите точку минимума функции $f(x) = - 6\ln 6 \log_6(x - 5) + 0,5x^2$

ответ

№13

а) Решите уравнение $1 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_{\sqrt{2}}\sqrt{8x^4 + 14}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1;5].

ответ

а) Заметим, что уравнение определено при любом х. Запишем исходное уравнение в виде:

$\log_2(9x^2 + 5) = \log_2(8x^4 + 14) -\log_22 \Leftrightarrow \log_2(9x^2 + 5) = \log_2(4x^4 + 7) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 9x^2 + 5 = 4x^4 + 7 \Leftrightarrow 4x^4 -9x^2 + 2 = 0 \Leftrightarrow (4x^2 - 1) (x^2 - 2) = 0$

Значит, либо $4x^2 - 1 =0$ откуда $x=\displaystyle \frac{1}{2}$ или $x=-\displaystyle \frac{1}{2}$ либо $x^2 -2 = 0$ откуда$x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$

б) Отрезку [-1;5] принадлежат корни $x=\displaystyle \frac{1}{2}$ и $x=-\displaystyle \frac{1}{2}$

Ответ: а) $-\sqrt{2}$;0,5; -0,5; $\sqrt{2}$

б) 0,5; -0,5; $\sqrt{2}$

№14

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре ВВ₁ отмечена точка К так, что КВ = 3. Через точки К и С₁ проведена плоскость α, параллельная прямой ВD₁.

а) Докажите, что А₁Р:РВ₁=1:2, где Р – точка пересечения плоскости α с ребром А₁В₁.

б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

ответ

Построим плоскость a, проходящую через точки $K, C_1$ и параллельную прямой $BD_1$
1. Строим плоскость, проходящую через точки $BDD_1$. Точка $K$ лежит на этой плоскости.
2. $KE || BD_1 ; \; \; E = B_1D_1 \cap KE$
3. $C_1E; \; \; P = A_1B_1 \cap C_1E$
4. $PK. \\ a = (KC_1P)$

а) Докажем,что $A_1P\; : \;PB_1 = 1 \; : \; 2 $.
Диагональ куба $BD_1 = 5\sqrt{3}. \; BK = 3; KB_1 = 2. $
$\bigtriangleup BD_1B_1 \sim \bigtriangleup KEB_1 - $ по первоу признаку. $\displaystyle \frac{BD_1}{KE} = \displaystyle \frac{BB_1}{KB_1} \Rightarrow KE = 2\sqrt{3}.$
Из прямоугольного треугольника $KEB_1\; : EB_1 = \; \sqrt{KE^2 - (KB_1)^2} = \sqrt{12-4} = 2\sqrt{2} \Rightarrow $ т.к. $LEHB_1$ - квадрат, то $EH = 2.$ Пусть $PB_1 = x, \text{ тогда } PH = x-2. $
$\bigtriangleup PC_1B_1 \sim \bigtriangleup PEH$ - по первому признаку $(\angle{C_1PB_1} = \angle{EPH}; \; \angle{PB_1C_1} = \angle{PHE} = 90^{\circ}).$
$\displaystyle \frac{PB_1}{PH} = \displaystyle \frac{C_1B_1}{EH} \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{x -2} = \displaystyle \frac{5}{2} \Rightarrow x = \displaystyle \frac{10}{3}, $ Значит, $PB_1 = \displaystyle \frac{10}{3},$ тогда $A_1P = 5 - \displaystyle \frac{10}{3} = \displaystyle \frac{5}{3}.$
Найдем отношение: $A_1P \; : \; PB_1 = \displaystyle \frac{5}{3} \; : \; \displaystyle \frac{10}{3} = 1\; : \; 2.$ $ \blacksquare$
б) Найдем объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $a$.
$V = V_{\text{куба}} - V_{\text{пирамиды}B_1KC_1P} = AB^3 - \displaystyle \frac{1}{3}\cdot\displaystyle \frac{1}{2}\cdot B_1K \cdot B_1P \cdot B_1C_1; \\ V = 125 - \displaystyle \frac{1}{3}\cdot \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \displaystyle \frac{10}{3}\cdot 5 = 125 - \displaystyle \frac{50}{9} + \displaystyle \frac{1075}{9}.$

№15

Решите неравенство $\sqrt{5-2x} + \sqrt{x-1} > 2$

ответ

$\sqrt{5 -2x} + \sqrt{x - 1} > 2 \Leftrightarrow 2\sqrt{(5-2x)(x-1)} > 4-(5-2x) - (x-1) \Leftrightarrow 2\sqrt{(5-2x)(x-1)} > x \Leftrightarrow \\ \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} (5-2x)(x-1) \geq 0 \\ x < 0 \end{cases} \\ 4(5-2x)(x-1) > x^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 1\leq x \leq \displaystyle \frac{5}{2} \\ x < 0 \end{cases} \\ 9x^2 - 28x +20 < 0 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{D}{4} = 14^2 - 9\cdot 20 = 4\cdot (7^2 - 9\cdot 5) = 4\cdot 4; \end{array} \right. $
$x_1 = \displaystyle \frac{14-4}{9}; \;\; x_2 = \displaystyle \frac{14+4}{9} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{10}{9} < x < 2$
Ответ: $(\displaystyle \frac{10}{9}; 2)$

№16

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4.

ответ

а) Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, АН – высота треугольника, АН и MN пересекаются в точке К. MN – средняя линия равнобедренного треугольника, точка К – общая середина MN и AH.

АН – высота в равнобедренном треугольнике АВС, проведенная из вершины, значит, является медианой и биссектрисой. Тогда ВН = НС = ВС/2 = 34/2 = 17.

Из прямоугольного треугольника АВН, где АВ = 49, ВН = 17, находим катет АН по теореме Пифагора

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{49^2 - 17^2} = 8\sqrt{33}, KH = 1/2 AH = 4\sqrt{33}$

Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника АВС, тогда

$r = \displaystyle \frac{S}{p} =\displaystyle \frac{68\sqrt{33}}{33}$

Диаметр окружности$d = 2r = \displaystyle \frac{136\sqrt{33}}{33}$ Получаем, что 2r > KH, значит, MN пересекает окружность.

б) Пусть вписанная окружность касается сторон АВ и ВС в точках D и Е, а средняя линия MN пересекает окружность в точках P и Q.

AD = p – BC = 66 – 34 = 32, MD = AD – AM = 32 – 24,5 = 7,5.

По теореме о касательной и секущей получаем: MD² = MP·MQ.

MP = NQ = (17 – PQ)/2

MQ = MP + PQ = (17 + PQ)/2

Подставляем в уравнение, получаем:

225/4 = (17 – PQ)/2 · (17 + PQ)/2

PQ = 8

№17

В январе 2015 года ставка по депозитам в банке «А» составила х % годовых, тогда как в январе 2016 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 25%. В январе 2015 года вкладчик открыл счет в банке «А», положив на него некоторую сумму. В январе 2016 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х, при котором сумма на счету вкладчика в январе 2017 года станет максимально возможной.

ответ

Пусть в январе 2015 года вкладчик положил на счет S. Тогда в январе 2016 года на счету сумма станет $S(1 + 0,01x)$. Но в январе же 2016 года вкладчик снял $0,2S$ . На счету осталось:

$S(1+0,01x) -0,2S = 0,8S + 0,01S \cdot x$

В январе 2016 года сумма на счету будет равна:

$(0,8S + 0,01Sx)(1+0,01(25-x)) = 0,01S(80+x)(1,25 -0,01x) = \\ = 0,0001S(80+x)(125-x) = 0,0001S(-x^2 + 45x + 10000)$

Функция $f(x) = 0,0001S (-x^2 + 45x + 10000)$ является квадратичной от x.

У нее есть наибольшее значение при $x_0 = \displaystyle \frac{-45}{-2} = 22,5$

№18

При каких значениях параметра а корни уравнения $|x-a^2| = a^2 -4a + 3$ имеют одинаковые знаки?

ответ

Т.к. точка пересечения модуля с осью Оу это (0;а²). Получаем систему, описывающую условия того, что прямая должна находиться в пределах определенного интервала:

$\begin{cases} a^2 -4a + 3 < a^2 \\ a^2 - 4a + 3 > 0\end{cases}$
$\begin{cases} a> \displaystyle \frac{3}{4} \\ (a - 1)(a-3) > 0 \end{cases}$
$a \in (\displaystyle \frac{3}{4}; 1) \cup (3; +\infty)$

№19

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член

этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше

предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

ответ

а) пусть 2 члена. Тогда один из них в 10 раз больше второго и их сумма b+10b=11b=3024. Нет решения в натуральных числах.

б) пусть 3 члена. Например, 10b + b + 10b = 21b = 3024 => b = 144.
Тогда 3 члена может быть: 10*144; 144; 10*144

в) так как сумма всех членов фиксирована, то наибольшее число членов будет в том случае, когда будет как можно больше маленьких членов.

Будем брать самые маленькие члены:

1;10;1;10 .. 1;10. Всего k штук пар.
их сумма равна 11k = 3024 => полных пар быть не может.
1;10;1;10 .. 1;10;1. Всего k пар => сумма равна 11k+1=3024 => этот случай невозможен
По условию, первый член b!=1 должен делиться на 10 пусть b = 10.
10;1;10;1;10;1….;10;1;10.k пар всего => сумма равна 11k+10=3024 =>k = 274. Таким образом, всего членов 2*274+1=549

Докажем, что это наибольшее количество.

Допустим, что в последовательности более чем 549 членов. Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т. д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем 275*11=3025. Получили противоречие.

а) нет ; б) да: 1440; 144;1440 в) 549