Вариант 19

Время
3:55:00
№1

Скидки на верхнюю одежду на распродаже составляют 25 %, а на свитера и брюки – 20 %. Вычислите сумму покупки с учетом скидок, состоящей из пальто и двух пар брюк, если без скидки пальто стоило 30 000 рублей, а брюки: одна пара 5 000 рублей, вторая – 6 000 рублей.

Ответ укажите в рублях.

ответ

№2

На графике описано прямолинейное движение мотоциклиста: по оси абсцисс отложено время в минутах, по оси ординат – скорость в км/ч. Мотоциклист ехал час из пункта A пункт B, потом повернул обратно. Определите по графику, сколько минут автомобиль ехал со скоростью ниже 75 км/ч по направлению в пункт B.

ответ

№3

Вычислите высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если треугольник изображён на клетчатой бумаге с размером клетки

1см х 1см. Ответ дайте в см.

ответ

№4

В пенале лежат 3 пишущие ручки и 7 не пишущих. Какова вероятность того, что наугад вытянутая из пенала ручка окажется пригодной для письма?

ответ

№5

Решите уравнение: 2 · 6(5х+8) = 432.

ответ

№6

В треугольнике АВС проведены медианы АМ = 9 см и ВК = 12 см, пересекающиеся в точке О. Найдите величину медианы, проведенной к стороне АС, в треугольнике АОС.

Ответ дайте в см.

ответ

№7

На рисунке изображён график производной функции f(x). Найдите количество точек минимума функции f(x) на промежутке [1;15].

ответ

№8

Куб вписан в шар радиусом $2\sqrt{3}$см. Найдите сторону куба. Ответ дайте в см.

ответ

№9

Найти значение sin (x+y) при условии,что sin x = 0,3 ,cos y = 1.

ответ

№10

Перед вами формула для расчета величины сопротивления R(Ом) нити накаливания при температуре t0: R = R0 (1 + αt0). Здесь R0 (Ом) – рабочее сопротивление нити накаливания. Известно, что температурный коэффициент сопротивления вольфрама α = 5·10-3 град-1, величина сопротивления вольфрамовой нити при температуре t0 = 25 0C равна R = 27 Ом. Найдите R0 (Ом).

ответ

№11

3 части 5 %-го раствора кислоты смешали с 6 частями 11 %-го раствора такой же кислоты. Какова концентрация получившегося раствора? Ответ дайте в %.

ответ

№12

Вычислите значение производной функции

$ y = \sin (3x + \displaystyle \frac{\pi}{3})\cdot \cos(3x + \displaystyle \frac{\pi}{3}) +3x + \displaystyle \frac{\pi}{3} \text{в точке } x_0 = \displaystyle \frac{\pi}{18}$

ответ

№13

а) Решить уравнение $10^{sin x} = 2^{\sin x}\cdot 5^{-\cos x}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\displaystyle \frac{5\pi}{2}; -\pi]$.

ответ

а) Преобразуем исходное уравнение:

$2^{\sin x} \cdot 5^{\sin x} = 2^{\sin x} \cdot 5^{-cos x} \Leftrightarrow 5^{\sin x} = 5^{-\cos x} \Leftrightarrow sin x = -cos x \Leftrightarrow tg x = -1$

откуда $x = - \displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $[-\displaystyle \frac{5\pi}{2}; -\pi]$. Получим числа: $-\displaystyle \frac{9\pi}{4}, -\displaystyle \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: а) $x = -\displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$, б) $-\displaystyle \frac{9\pi}{4}, -\displaystyle \frac{5\pi}{4}$.

№14

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 3. На его ребре BB1отмечена точка K так, что KB=2. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что плоскость α проходит через середину ребра A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1С.

ответ

а) В плоскости ВВ1DD1 через точку К проведем прямую параллельно BD1. Пусть эта прямая пересекает диагональ B1D1 в точке L. В плоскости основания A1B1C1D1 проведем прямую C1L, пусть она пересекает сторону A1B1 в точке P. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.

В плоскости основания A1B1C1D1 через точку A1 проведем прямую параллельно C1P. Пусть она пересекает D1В1 в точке M. По теореме Фалеса имеем: B1L: B1D1 = B1K:B1B=1:3 ⇾B1L = .D1M = B1L∙D1M : D1B1 = 1 : 3.Тогда ML:LB=1:1. По теореме Фалеса A1P:PB1=ML:LB1=1:1. Значит A1P=PB1, а P середина отрезка A1B1.Что и требовалось доказать.

б) Пусть теперь точка N — основание высоты B1N прямоугольного треугольника KB1C1. B1N — является проекцией наклонной PN на плоскость BB1CC1. По теореме о трех перпендикулярах PN перпендикулярна C1K. Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

$PB_1 = \displaystyle \frac{1}{2}A_1B_1 = \displaystyle \frac{3}{2}; \; \; S_{B_1C_1K} = \displaystyle \frac{1}{2}B_1N \cdot C_1K = \displaystyle \frac{1}{2}B_1K \cdot B_1C_1; \; \; C_1K = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \\ B_1N = \displaystyle \frac{B_1K \cdot B_1C_1}{C_1K} = \displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$

$tg PNB_1 = \displaystyle \frac{PB_1}{B_1N} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}} = \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}$ . Тогда угол между плоскостями = $arctg(\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2})$

Ответ: б) $arctg(\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2})$

№15

Решите неравенство $(x+1)\log_36 + \log_3(2^x - \displaystyle \frac{1}{6}) \leq x - 1$

ответ

p>Перейдём к неравенству:

$\log_3(6^{x+1}(2^x - \displaystyle \frac{1}{6})) \leq \log_33^{x-1}; \\ \begin{cases} 2^x - \displaystyle \frac{1}{6} > 0, \\6^{x+1}(2^x - \displaystyle \frac{1}{6}) \leq 3^{x-1} \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$6\cdot 6^x (2^x - \displaystyle \frac{1}{6})\leq \displaystyle \frac{3^x}{3} \\ 2^x (2^x - \displaystyle \frac{1}{6}) \leq \displaystyle \frac{1}{18}$

Сделаем замену y = 2x; y > 0

$y^2 - \displaystyle \frac{1}{6}y - \displaystyle \frac{1}{18} \leq 0; \\ -\displaystyle \frac{1}{6} \leq y \leq \displaystyle \frac{1}{3}. \\ 0< y \leq \displaystyle \frac{1}{3}$

Учитывая первое неравенство системы, получаем: $\displaystyle \frac{1}{6} < 2^x \leq \displaystyle \frac{1}{3}$.

x ∈ (–log26; –log23].

№16

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

ответ

а) ∠ LBC = ∠LBA = α, ∠ ACB = ∠ABC =2α ,∠LCD = 180 - 2a

∠LDC = α

Поэтому ∠DLC = 180 - ∠LCD - ∠LCD = α = ∠LDC

Треугольник LCD – равнобедренный.

б) Пусть H – точка пересечения DL и AB. Тогда ∠HLB = 180 - ∠BLC - ∠CLD = 180 - (180 - ∠LBC - ∠LCB) - ∠CLD = 2α

Треугольники HLB и LCB подобны по двум углам. Отсюда $\displaystyle \frac{BH}{BL} = \displaystyle \frac{BL}{BC}; BH = \displaystyle \frac{BL^2}{BC}$;

Поскольку cos∠ABC=3/4, BC : AB = 3 : 2 .Пусть AB = 2x, BC = 3x.

Поскольку AL :LC = AB : BC ,находим $AL = \displaystyle \frac{6x}{5}, CL = \displaystyle \frac{4x}{5}$. Тогда

$BL = \sqrt{AB \cdot BC - AL \cdot LC} = \displaystyle \frac{3}{5}\sqrt{14}x \\ BH = \displaystyle \frac{9\cdot 14x^2}{25\cdot 3x} = \displaystyle \frac{42x}{25} \\ BH : HA = 42\; : \; 8 = 21\; : \; 4$

№17

В этом году Сергей купил ценную бумагу за 7 000 руб. Цена бумаги каждый год увеличивается на 1 500 руб. Сергей может продать ценную бумагу и положить полученную сумму на счет. Каждый год банк будет увеличивать сумму на счете на 15 %. Определите, на какой по счету год после покупки ценной бумаги, Сергею стоит ее продать, чтобы через 35 лет сумма на банковском счету была максимальной.

ответ

№18

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $2^x - a = \sqrt{4^x - a}$ имеет единственное решение.

ответ

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение

$2^x - a = \sqrt{4^x - a}$

Пусть 2х = t, t > 0

Получаем:

$\sqrt{t^2 - 3a} = t - a \\ t \geq a \\ t^2 - 3a = t^2 -2at + a^2 \\ a^2 -2at + 3a = 0 \\ a^2 + a(3-2t) = 0 \\ a(a + 3 -2t) = 0 \\ a = 0, \; a + 3 -2t = 0 \\ a = 0 \text{ или } t = \displaystyle \frac{a+ 3}{2}$

Подставим в t ≥ a . $\begin{cases} a = 0\\ t \geq 0 \end{cases}$или $\begin{cases}\displaystyle \frac{a+3}{2}\geq a \\ t = \displaystyle \frac{a+3}{2}\end{cases}$ Значит,$\begin{cases} a = 0, \\ t\geq 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} 3\geq a \\ t = \displaystyle \frac{a+3}{2} \end{cases}$

Знаем, что t > 0 (при a=0 , t > 0 ) поэтому уравнение имеет единственное решение если – 3 ∠ a ≤3 (вторая система), но а =0 нам не подходит, значит исключаем это решение из окончательного ответа.

Ответ: –3 ∠ a ∠ 0, 0 ∠ a.

№19

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

ответ

а) Да, могут, если разделить числа так:

Первая группа: 1, 5

Вторая группа: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 16

Третья группа: 3

Тогда в первой и третьей группах будет одинаковое значение.

б) Пусть а-среднее арифметическое во всех группах. Пусть в первой группе x чисел, во второй y, в третьей z чисел. Тогда сумма чисел равна: a(x+y+z).

С другой стороны, x+y+z = 10 по условию. Отсюда: 10a.

Посчитаем сумму написанных в условии чисел: 1+2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 16=61

Получаем уравнение: $10a = 61\leftrightarrow a = 6,1 $. Тогда должно выполняться, что $6,1x; 6,1y; 6,1z$ -целые числа, но это невозможно ни при каких значениях, так как x,y,z принимают значения от 1 до 8. Поэтому не могут.

в) Среднее арифметическое какой-либо из трёх групп должно быть больше 6, так как в противном случае сумма меньше 60, что невозможно.

Если в группе b чисел, то сумма чисел не меньше, чем 6b+1, а среднее арифметическое не меньше, чем $6 +\displaystyle \frac{1}{b}$

Если все числа составляют отдельную группу, то наибольшего из получаемых трёх средних арифметических будет равно 16. Это не наименьшее значение.

Есть в группе 8 чисел, то две группы будут состоять из одного числа. Если какое-то из них больше 7, то среднее арифметическое большой группы не меньше

$\displaystyle \frac{61 - (5+6)}{8} = \displaystyle \frac{50}{8} = \displaystyle \frac{25}{4} = 6,25$

Если в группе 7 чисел, то среднее арифметическое не меньше, чем $6+ \displaystyle \frac{1}{7} = \displaystyle \frac{43}{7}$ Это и есть наименьшее возможное значение. Приведем пример:

Первая группа: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 16

Вторая группа: 3, 9

Третья группа: 6

Итоговы ответы:

  1. да
  2. нет
  3. 43/7

Нажми, чтобы завершить тест и увидеть результаты

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Сообщить об ошибке

Опишите ошибку в задании подробнее...

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно