а) Преобразуем исходное уравнение:

$2^{\sin x} \cdot 5^{\sin x} = 2^{\sin x} \cdot 5^{-cos x} \Leftrightarrow 5^{\sin x} = 5^{-\cos x} \Leftrightarrow sin x = -cos x \Leftrightarrow tg x = -1$

откуда $x = - \displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $[-\displaystyle \frac{5\pi}{2}; -\pi]$. Получим числа: $-\displaystyle \frac{9\pi}{4}, -\displaystyle \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: а) $x = -\displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$, б) $-\displaystyle \frac{9\pi}{4}, -\displaystyle \frac{5\pi}{4}$.

а) В плоскости ВВ₁DD₁ через точку К проведем прямую параллельно BD₁. Пусть эта прямая пересекает диагональ B₁D₁ в точке L. В плоскости основания A₁B₁C₁D₁ проведем прямую C₁L, пусть она пересекает сторону A₁B₁ в точке P. Треугольник KPC₁ — сечение, проходящее через точки К и С₁ параллельно прямой BD₁. Действительно, прямая BD₁ параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.

В плоскости основания A₁B₁C₁D₁ через точку A₁ проведем прямую параллельно C₁P. Пусть она пересекает D₁В₁ в точке M. По теореме Фалеса имеем: B₁L: B₁D₁ = B₁K:B₁B=1:3 ⇾B₁L = .D₁M = B₁L∙D₁M : D₁B₁ = 1 : 3.Тогда ML:LB=1:1. По теореме Фалеса A₁P:PB₁=ML:LB₁=1:1. Значит A₁P=PB₁, а P середина отрезка A₁B_1.Что и требовалось доказать.

б) Пусть теперь точка N — основание высоты B₁N прямоугольного треугольника KB₁C_1. B₁N — является проекцией наклонной PN на плоскость BB₁CC_1. По теореме о трех перпендикулярах PN перпендикулярна C₁K. Тогда угол PNB₁ — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

$PB_1 = \displaystyle \frac{1}{2}A_1B_1 = \displaystyle \frac{3}{2}; \; \; S_{B_1C_1K} = \displaystyle \frac{1}{2}B_1N \cdot C_1K = \displaystyle \frac{1}{2}B_1K \cdot B_1C_1; \; \; C_1K = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \\ B_1N = \displaystyle \frac{B_1K \cdot B_1C_1}{C_1K} = \displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$

$tg PNB_1 = \displaystyle \frac{PB_1}{B_1N} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}} = \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}$ . Тогда угол между плоскостями = $arctg(\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2})$

Ответ: б) $arctg(\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2})$

p>Перейдём к неравенству:

$\log_3(6^{x+1}(2^x - \displaystyle \frac{1}{6})) \leq \log_33^{x-1}; \\ \begin{cases} 2^x - \displaystyle \frac{1}{6} > 0, \\6^{x+1}(2^x - \displaystyle \frac{1}{6}) \leq 3^{x-1} \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$6\cdot 6^x (2^x - \displaystyle \frac{1}{6})\leq \displaystyle \frac{3^x}{3} \\ 2^x (2^x - \displaystyle \frac{1}{6}) \leq \displaystyle \frac{1}{18}$

Сделаем замену y = 2^x; y > 0

$y^2 - \displaystyle \frac{1}{6}y - \displaystyle \frac{1}{18} \leq 0; \\ -\displaystyle \frac{1}{6} \leq y \leq \displaystyle \frac{1}{3}. \\ 0< y \leq \displaystyle \frac{1}{3}$

Учитывая первое неравенство системы, получаем: $\displaystyle \frac{1}{6} < 2^x \leq \displaystyle \frac{1}{3}$.

x ∈ (–log₂6; –log₂3].

а) ∠ LBC = ∠LBA = α, ∠ ACB = ∠ABC =2α ,∠LCD = 180 - 2a

∠LDC = α

Поэтому ∠DLC = 180 - ∠LCD - ∠LCD = α = ∠LDC

Треугольник LCD – равнобедренный.

б) Пусть H – точка пересечения DL и AB. Тогда ∠HLB = 180 - ∠BLC - ∠CLD = 180 - (180 - ∠LBC - ∠LCB) - ∠CLD = 2α

Треугольники HLB и LCB подобны по двум углам. Отсюда $\displaystyle \frac{BH}{BL} = \displaystyle \frac{BL}{BC}; BH = \displaystyle \frac{BL^2}{BC}$;

Поскольку cos∠ABC=3/4, BC : AB = 3 : 2 .Пусть AB = 2x, BC = 3x.

Поскольку AL :LC = AB : BC ,находим $AL = \displaystyle \frac{6x}{5}, CL = \displaystyle \frac{4x}{5}$. Тогда

$BL = \sqrt{AB \cdot BC - AL \cdot LC} = \displaystyle \frac{3}{5}\sqrt{14}x \\ BH = \displaystyle \frac{9\cdot 14x^2}{25\cdot 3x} = \displaystyle \frac{42x}{25} \\ BH : HA = 42\; : \; 8 = 21\; : \; 4$

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение

$2^x - a = \sqrt{4^x - a}$

Пусть 2^х = t, t > 0

Получаем:

$\sqrt{t^2 - 3a} = t - a \\ t \geq a \\ t^2 - 3a = t^2 -2at + a^2 \\ a^2 -2at + 3a = 0 \\ a^2 + a(3-2t) = 0 \\ a(a + 3 -2t) = 0 \\ a = 0, \; a + 3 -2t = 0 \\ a = 0 \text{ или } t = \displaystyle \frac{a+ 3}{2}$

Подставим в t ≥ a . $\begin{cases} a = 0\\ t \geq 0 \end{cases}$или $\begin{cases}\displaystyle \frac{a+3}{2}\geq a \\ t = \displaystyle \frac{a+3}{2}\end{cases}$ Значит,$\begin{cases} a = 0, \\ t\geq 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} 3\geq a \\ t = \displaystyle \frac{a+3}{2} \end{cases}$

Знаем, что t > 0 (при a=0 , t > 0 ) поэтому уравнение имеет единственное решение если – 3 ∠ a ≤3 (вторая система), но а =0 нам не подходит, значит исключаем это решение из окончательного ответа.

Ответ: –3 ∠ a ∠ 0, 0 ∠ a.

а) Да, могут, если разделить числа так:

Первая группа: 1, 5

Вторая группа: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 16

Третья группа: 3

Тогда в первой и третьей группах будет одинаковое значение.

б) Пусть а-среднее арифметическое во всех группах. Пусть в первой группе x чисел, во второй y, в третьей z чисел. Тогда сумма чисел равна: a(x+y+z).

С другой стороны, x+y+z = 10 по условию. Отсюда: 10a.

Посчитаем сумму написанных в условии чисел: 1+2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 16=61

Получаем уравнение: $10a = 61\leftrightarrow a = 6,1 $. Тогда должно выполняться, что $6,1x; 6,1y; 6,1z$ -целые числа, но это невозможно ни при каких значениях, так как x,y,z принимают значения от 1 до 8. Поэтому не могут.

в) Среднее арифметическое какой-либо из трёх групп должно быть больше 6, так как в противном случае сумма меньше 60, что невозможно.

Если в группе b чисел, то сумма чисел не меньше, чем 6b+1, а среднее арифметическое не меньше, чем $6 +\displaystyle \frac{1}{b}$

Если все числа составляют отдельную группу, то наибольшего из получаемых трёх средних арифметических будет равно 16. Это не наименьшее значение.

Есть в группе 8 чисел, то две группы будут состоять из одного числа. Если какое-то из них больше 7, то среднее арифметическое большой группы не меньше

$\displaystyle \frac{61 - (5+6)}{8} = \displaystyle \frac{50}{8} = \displaystyle \frac{25}{4} = 6,25$

Если в группе 7 чисел, то среднее арифметическое не меньше, чем $6+ \displaystyle \frac{1}{7} = \displaystyle \frac{43}{7}$ Это и есть наименьшее возможное значение. Приведем пример:

Первая группа: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 16

Вторая группа: 3, 9

Третья группа: 6

Итоговы ответы:

1. да
2. нет
3. 43/7