$\cos (x + 6\pi) = \cos (x), $ поскольку $6\pi - $ это три периода косинуса. Используя это, мы получим:
$-\sqrt{2}\cos(x)\: \sin(x) = \cos (x) \\ -cos(x)(\sqrt{2}\sin (x) + 1) = 0$
Тогда получим два уравнения:
$\cos (x) = 0 \\ \sin (x) = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Используя методы решения уравнений вида $\sin (x) = a$ и $\cos(x) = a$ получаем решение:
$x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z \\ x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + 2\pi n , n \in Z \\ x = \displaystyle\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$

б) Интервал $[\frac{9\pi}{2}; 6\pi]$
Левый конец интервала - величина больше, чем $4\pi$. Поэтому следует начать с подстановки $n = 2$. При такой подстановке результат, отвечающий интервалу дает третий корень уравнения: $x = \frac{5\pi}{4} + 4\pi = \frac{21\pi}{4}$. При подстановке $n = 3$ получим, что интервалу принадлежит второй корень $x = 6\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{23\pi}{4}$. При подстановке $n = 4$ первый корень уравнения является крайней левой точкой интервала: $x = \frac{9\pi}{2}.$
Подставляя $n = 5$ первый корень тоже входит в интервал $x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2}$. Наконец, подставив $n = 6$, получается величина, большая, чем $6\pi$. Подставлять большее значение n смысла нет.
Итак: $\frac{21\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$.

а)Так как плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$, то она параллельна прямой $B_1D_1, $ поскольку плоскости оснований призмы параллельны друг другу. Через точки $B, D, D_1$ проходит плоскость, параллельна плоскости $\gamma$. Прямая $A_1C_1$ перпендикулярная прямой $B_1D_1$ (Это диагонали квадрата, лежащего в основании призмы). Более того, прямая $A_1C_1$ перпендикулярна прямой $A_1A$, а значит, и прямой $B_1B$. Следовательно, прямая $A_1C_1$ перпендикулярная плоскости $(BDD_1)$. Плоскость $BDD_1$ параллельная плоскости $\gamma$. Значит, прямая $A_1C_1$ перпендикулярна плоскости $\gamma$. Что и требовалось доказать.

б)

$V = \displaystyle\frac{1}{3}S_{KNLM} \cdot AH $
$ KNLM - $ прямоугольник, так как призма прямая.
$NL = 2\sqrt{3}, KN = B_1D_1 \cdot \frac{2}{6} = \frac{B_1D_1}{2}, $ поскольку треугольники $D_1C_1B_1$ и $C_1KN$ подобны.
$B_1D_1 = 6\sqrt{2}, $ так как это диагональ квадрата в основании. $CO = \frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2} \\ KN = 2\sqrt{2} \\ S_{KNLM} = 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{6}$
В силу подобия треугольников $DBC$ и $CML$:
$ \displaystyle\frac{CH}{CO}= \frac{2}{6} = \frac{CH}{3\sqrt{2}} \\ CH = \sqrt{2} \\ AH = AC - CH = 5\sqrt{2}$
$V = \frac{1}{3}S_{KNLM} \cdot AH = \frac{1}{3} 4\sqrt{6}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{40}{3}\sqrt{3}$
В ответе необходимо указать полученное значение в пункте б), умноженное на $\sqrt{3}$, то есть 40.

$(x - 4)^{x^2+4x-12} > 1 \\ (x - 4)^{x^2 +4x -12} > (x - 4)^0$

Далее нам придется рассмотреть два варианта:

1) $0 < x - 4 < 1, \quad 4 < x < 5 \\ x^2 +4x -12 < 0$

Необходимо разложить левую часть неравенства на множители и решить неравенство методом интервалов:

$x^2 + 4x - 12 = 0 \\ D = 16+48=64 \\ x = \displaystyle\frac{-4 \pm 8}{2} \\ x_1 = 2 \\ x_2 = -6 \\ (x - 2)(x + 6) < 0$

Решение неравенства: -6< x< 2 . Учитывая ограничение 4

2) $x - 4 > 1, x > 5 \\ x^2 + 4x - 12 > 0$

Мы уже получали решение неравенства в первом пункте. Решение в данном случае – другие участки числовой прямой, то есть x< -6 и x> 2. Снова учитываем ограничение x>5. В итоге получим решение x> 5.

Не забываем рассмотреть еще один особый случай : когда x - 4 =1, то есть x = 5. Подставим это значение в неравенство:

$1^{-7} > 1 -$ неверно. $x = 1$ - не является решением

а) Треугольник АВС, АD – биссектриса, СЕ – медиана. ЕL и DК перпендикулярны АС. Проведем ВМ – перпендикулярно АС. По теореме о пропорциональных отрезках т.к. АЕ = ЕВ, АL = LM. Тогда ЕL – средняя линия в треугольнике АВМ, ЕL = ½ ВМ. Пусть АС = 10х, тогда АК = 8х, КС = 2х, АL = 3х, LС = 7х. Т.к. АL = LM, LM = 3х. Тогда МК = АС – КС – АL – LM = 10х – 2х – 3х – 3х = 2х. Т.е. МК = КС. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках, т.к. МК = КС, ВD = DC. В треугольнике АВС, АD – биссектриса и медиана. Тогда АВС – равнобедренный, ВС — основание. Тогда АВ = AС = 10х. Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольник АВМ, он прямоугольный по построению. АМ = 6х, АВ = 10х. По теореме Пифагора ВМ = 8х. EL – средняя линия, EL = ½ ВМ = 4х. Рассмотрим треугольник CEL, он прямоугольный. LС = 7х, EL = 4х, по теореме Пифагора ЕС = x√65. Рассмотрим треугольник ВСМ, DK – средняя линия, значит, DK = ½ ВМ = 4х. Рассмотрим треугольник ADK, он прямоугольный. DK = 4х, АК = 8х. По теореме Пифагора AD = 4√5x.

Искомое отношение : $\displaystyle\frac{AD}{CE} =\frac{4\sqrt{5}x}{\sqrt{65}x} = \frac{4}{\sqrt{13}}$

Составим уравнение, которое отразит увеличение суммы каждый год на 10%

1-й год :$260000(1 +0,1)$
2-й год: $(260000\cdot 1,1 + 260000)\cdot 1,1 = 260000 \cdot 1,1^2 + 260000\cdot 1,1 $
3-й год: $260000\cdot 1,1^3 + 260000\cdot 1,1^2 + 260000\cdot 1,1 = 346060 + 286000 = 946660$

Сумма не менее 950 000 будет на счету через 4 года.

Первое уравнение системы – это окружность радиуса 2 с центром в начале координат.

Второе уравнение можно разбить на совокупность двух уравнений, пользуясь тем, что произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4\\ y = ax\\ \end{cases} $

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4\\ y = a\\ \end{cases} $

Систему стоит решить графически.

y = ax это линейная функция, в зависимости от значения a она имеет разный угол с осью Ox. y = a это прямая, параллельная оси Ox. В зависимости от значения а она пересекает ось Oy в разных точках. Подробнее – на рисунке:

Первое, что заметно, при $|a| > 2$ у нас получается два решения - пересечение линейной функции с прямой. Если $|a| = 2, $ то получится уже четыре решения. Казалось бы, на этом моменте можно писать ответ, но при $|a| < 2 $ не всегда возникает четыре решения.
Есть ситуация, когда их три: это такие значения а, когда прямая $y = ax$ и прямая $y = 2$ пересекаются на окружности. Также нужно заметить, что два решения возникают еще в ситуации, когда $a = 0$. Для того, чтобы записать ответ осталось найти значение а, при которых у нас три решения. Несложно получить, что при $a = \pm \sqrt{3}$ прямые пересекаются на окружности.

Перепишем условие на математическом языке:

На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 10, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –5.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?