53. Планиметрия
Читать 0 мин.
53.477. Тригонометрия в геометрии
Решающую роль в решении задач на тригонометрию играет знание определений тригонометрических функций.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и угол A в нем.
|
|
Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему. |
НАХОЖДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ:
В треугольнике ABC c углом С, равным 90°, гипотенуза AB = 17, а катет AC = 15.
Найдем синус угла B.
$\sin B = \displaystyle\frac{прот.кат.}{гип.}=\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{15}{17}$
Чтобы найти косинус угла B, необходимо значение прилежащего катета — BC, которое нам пока неизвестно. Из Пифагоровой тройки 8 : 15 : 17 находим BC = 8.
$\cos B = \displaystyle\frac{прил.кат.}{гип.}=\displaystyle\frac{BC}{AB}=\displaystyle\frac{8}{17}$
Найдем тангенс угла B.
$\mathop{\mathrm{tg}} B = \displaystyle\frac{прот.кат.}{прил.кат.}=\displaystyle\frac{AC}{BC}=\displaystyle\frac{15}{8}$
Найдем котангенс угла B.
$\mathop{\mathrm{ctg}} B = \displaystyle\frac{прил.кат.}{прот.кат.}=\displaystyle\frac{BC}{AC}=\displaystyle\frac{8}{15}$
Найдем синус угла A.
$\sin A = \displaystyle\frac{прот.кат.}{гип.}=\displaystyle\frac{BC}{AB}=\displaystyle\frac{8}{17}$
Заметим, что
$\cos B = \frac{8}{17}\ \,и\ \sin A = \frac{8}{17},\ то\ есть \cos B = \sin A$.
Аналогично можно сказать, что
$\cos A = \sin B,\ \mathop{\mathrm{tg}} B = \mathop{\mathrm{ctg}} A\ \,и\ \mathop{\mathrm{tg}} A = \mathop{\mathrm{ctg}} B$.
Можно запомнить эту закономерность. Это происходит, потому что ∠A + ∠B = 90°, и тут вступают в силу формулы приведения, которые более подробно будут в дальнейшем разобраны на курсе.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУКНЦИИ — БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ВЕЛИЧНЫ:
Важно понимать, что тригонометрические функции — это безразмерные величины (не имеют единиц измерения), они показывают только отношение.
К примеру, если для треугольника ABC известно, что $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это не значит, что противолежащий углу B катет AC равен √3, а гипотенуза AB равна 2. Это значит, что противолежащий катет AC относится к гипотенузе AB как √3 к 2. И если бы нам была известна одна из длин: либо катет AC, либо гипотенуза AB — то, зная синус угла B, мы могли бы найти вторую сторону.
|
|
Пример 1. $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2},\ AB = 4\sqrt{2}$. Найдите сторону AC. Решение: $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin B = \frac{прот.кат.}{гип.}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{4\sqrt{2}} \\ \frac{AC}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow AC = \frac{4\sqrt{2}\,\,\cdot\,\sqrt{2}}{2}=4$ |
|
|
Пример 2. $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2},\ AB=\displaystyle\sqrt{12}$. Найдите сторону AC. Решение: $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos B = \frac{прил.кат.}{гип.}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{\sqrt{12}}=\frac{BC}{2\sqrt{3}} \\ \frac{BC}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BC = \frac{2\sqrt{3}\,\,\cdot\,\sqrt{3}}{2}=3$ Теперь в треугольнике ABC нам известны длины гипотенузы (AB = √12) и катета BC = 3. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем сторону AC. $\ AC^2 = AB^2 - BC^2 = (\displaystyle\sqrt{12})^2 - 3^2 = 12 - 9 = 3$ AC = √3 Ответ: √3 |
ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ:
Таблица основных значений тригонометрических функций предлагает значения sin, cos, tg и ctg от нескольких углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Есть несколько способов нахождения значений тригонометрических функций от табличных углов:
- Учить все значения по таблице. «Зазубривание» — не самый эффективный метод подготовки к экзамену.
- Находить значения по тригонометрическому кругу.
- Воспользоваться «золотым» (с углами 90°, 60° и 30°) и «серебряным» (с углами 90°, 45° и 45°) треугольниками с заведомо известными отношениями сторон.
- Правило ладони»
ФОРМУЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУКНЦИЯМИ:
1. Основное тригонометрическое тождество:
Основное тригонометрическое тождество — это следствие из теоремы Пифагора для тригонометрического круга. Вот еще один пример получения этой формулы:
Рассмотрим треугольник ABC. Запишем теорему Пифагора для него:
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
Поделим каждое слагаемое на AB2.
$\left(\frac{AC}{AB}\right)^2 + \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 = 1$
Первое и второе слагаемые — это квадраты синуса и косинуса для угла A или B.
$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$
Из основного тригонометрического тождества при наличии значения одной из функций — sin или cos — можно найти вторую.
$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\quad и\quad\!\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$
2. Формулы для тангенса и котангенса.
$\sin=\frac{прот.кат.}{гип.}\; и\;\cos=\frac{прил.кат.}{гип.} \\ {\displaystyle\frac{\sin}{\cos}}=\frac{прот.кат.}{гип.}\!\cdot\!\frac{гип.}{прил.кат.}=\frac{прот.кат.}{прил.кат}=\mathrm{tg} \\[12pt] {\displaystyle\frac{\cos}{\sin}}=\frac{прил.кат.}{гип.}\!\cdot\!\frac{гип.}{прот.кат.}=\frac{прил.кат.}{прот.кат.}=\mathrm{ctg}$
То есть:
$\mathrm{tg}=\displaystyle\frac{\sin}{\cos}\quad и\quad\mathrm{ctg}=\frac{\cos}{\sin}$
3. Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma$
4. Теорема синусов.
Отношения сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это отношение равно 2R, где R — радиус описанной окружности.
$\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
