Уравнения в целых числах – уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями таких уравнений являются целые числа. Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы.

1 способ. Метод перебора вариантов.

Решим уравнение  $ (x-2)(y+3)=4 $  в целых числах.

Так как x и у целые числа, совершим перебор вариантов:

$ {x-2=1;\; y+3=4\rightarrow\;x=3;\;y=1\\ x-2=4;\; y+3=1\rightarrow\;x=6;\;y=-2\\ x-2=-1;\; y+3=-4\rightarrow\;x=1;\;y=-7\\ x-2=-4;\; y+3=-1\rightarrow\;x=-2;\;y=-4\\ x-2=2;\; y+3=2\rightarrow\;x=4;\;y=-1\\ x-2=-2;\; y+3=-2\rightarrow\;x=0;\;y=-5\\} $

Ответ: (3; 1), (6; -2), (1; -7), (-2; -4), (4; -1), (0; -5).

Решим уравнение 10х + 10у = 2019 в целых числах.

Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

Пусть нужно решить уравнение в целых числах:  $ 5x+4y=22. $

Методом перебора находим решение  $ x_1=2;\;y_1=3. $

Получаем систему уравнений:

$ {\begin{cases}5x=4y=22\\5\cdot2=4\cdot3=22\end{cases}\\ 5(x-2)=4(y-3)=0\\ 5(x-2)=-4(y-3)} $

$ \ x-2=\frac{-4(y-3)}{5} $

Из полученного равенства видно, что число (х – 2) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 3) делится на 5, т.е. у – 3 = 5n, где n какое-нибудь целое число.

Имеем:

$ {\ y=3+5n\\ x-2=-4\cdot\frac{5n}{5}=-4n\\ x=2-4n} $

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

$ \ (2-4n;\;3=5n),\; где\; n \in Z. $

Ответ:  $ \ (2-4n;\;3=5n),\; где\; n \in Z. $

2 способ. Алгоритм Евклида

Пусть нужно решить уравнение в целых числах:  $ \ 5x+7y=6. $

Сделаем это с помощью Алгоритма Евклида. Ищем НОД чисел 5 и 7 с помощью него:

НОД (5, 7) = НОД (5, 7-5) = НОД (5, 2) = НОД (5 - 2∙2, 2) = НОД (1, 2) = 1

Запишем этот процесс в обратном порядке:

$ \ 1=2-1=2-(5-2\cdot2)=2\cdot3-5\cdot1=(7-5)\cdot3-5\cdot1=7\cdot3-5\cdot4. $

То есть:

$ \ 1=5\cdot(-4)+7\cdot3 $

Тогда:

$ {\ 1\cdot6=5\cdot(-4)\cdot6+7\cdot3\cdot6\\ 6=5\cdot(-24)+7\cdot18\\ 6=5x+7y} $

Тогда  $ {\ x=-24 \;и \; y=18} $  является решением уравнения.

Общее решение записывается в виде:

$ {\ x=-24+7n; \; y=18+5n,} $  где n – любое целое число.

Выполним проверку:

$ {\ 5(-24+7n)+7(18+5n)=6\\ -120+35n+126+35n=6\\ 70n=0} $

$ {\ n} $  – любое целое.

Верно.

Это не всевозможные способы решения. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т.п.

Пример.

Решим уравнение:

$ \ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Разложить на множители и выразить переменную мы здесь не можем. Воспользуемся методом перебора остатков.

Если левая часть уравнения в целых числах кратна какому-то числу, то и другая обязательно должна быть кратна этому же числу. Отсюда следует, что и остатки от деления обеих частей уравнения на одно и то же число будут давать одинаковые остатки.

Будем делать выводы о делимости одной части уравнения на какое-либо число (или смотреть, какой остаток от деления при этом получается) и проверять, при каких значениях переменных вторая часть уравнения также делится на это число (либо даёт такой же остаток).

Левая часть кратна 5. И остатки от деления на 5 у обеих частей также будут равны.

Про пятёрку уже сказали, что правая часть делится на неё без остатка, значит и левая тоже должна делиться.

Рассмотрим остатки от деления на 4.

Видим простую закономерность, что 5 в любой степени при делении на 4 будет давать остаток 1.

Теперь левая часть: будет делиться на 4 без остатка.

Рассмотрим остатки от деления на 4 числа  $ \ 3^{x} $

И так далее. Закономерность: при чётных х остаток 1, при нечётных остаток 3.

Отсюда делаем вывод, что х - число чётное, значит, мы можем представить его как х = 2n.

Теперь рассмотрим остатки при делении обеих частей на 3.

Правая часть:

И так далее. Видим закономерность, что при чётных z остаток равен 1, при нечетных z остаток равен 2.

Рассмотрим левую часть. Число  $ \ 3^{x} $  даёт остаток 0 при делении на 3.

Рассмотрим остатки от деления на 3 числа  $ \ 4^{y} $

Получается, что левая часть при делении на 3 может давать только остаток 1. Значит, и правая тоже. Это происходит при чётных z.

Вернёмся к нашему уравнению  $ \ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Рассмотрев все остатки от деления, мы делаем выводы, что х и z - чётные числа. Тогда х = 2n, z = 2m, где m, n натуральные. Подставим в уравнение:

$ \ 3^{2n}+4^{y}=5^{2m} $ , заметим также, что  $ \ 4^{y}=2^{2y} $

Теперь мы можем разложить на множители, используя формулу разности квадратов:

$ \ 2^{2y}=5^{2m}-3^{2n} $

$ \ (5^{m}-3^{n})(5^{m}+3^{n})=2^{2y} $ . Получается, что обе скобки должны быть степенями двойки. Мы не можем сделать никаких обоснованных выводов. Наша группировка неудачная. Попробуем иначе:

$ {\ 5^{2m}-2^{2y}=3^{2n}\\ (5^{m}-2^{y})(5^{m}+2^{y})=3^{2n}} $

Теперь у нас обе скобки являются произведением троек. Рассмотрим такую ситуацию,

$ \ a\cdot b=3^{2n} $ , это означает, что и а, и b кратны 3. Либо одно из чисел кратно 3, а другое равно 1.

Рассмотрим случай, когда и а, и b кратны трём. Вспомним основные свойства делимости.

Ключевым признаком здесь будет второй: в нашем случае разность a-b также будет делиться на 3.

Рассмотрим разность скобок:

$ \ 5^{m}+2^{y}-(5^{m}-2^{y})=2\cdot 2^{y} $  - это число никогда не будет кратно 3. Значит, в нашем произведении один из множителей равен 1, а другой равен 3²ⁿ. Так как  $ \ 5^{m}+2^{y}> 1 $ ,

$ \ 5^{m}-2^{y}=1,5^{m}+2^{y})=3^{2n} $ Итак, мы с вами уже решаем немного другое уравнение, с переменными m и n, которые зависят от х и у. И пришли к выводу, что  $ \ 5^{m}+2^{y}=1 $

Эта таблица показывает, что  $ \ 5^{m}+2^{y}=1 $  только в одном случае при m = 1, y = 2. При их увеличении разница между и будет всё больше, поэтому это единственное решение.

Тогда z = 2m = 2, x = 2.

Ответ: (2, 2, 2)