9. Базовая математика Читать 0 мин.

9.254. Уравнения в целых числах

Уравнения в целых числах – уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями таких уравнений являются целые числа. Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы.

1 способ. Метод перебора вариантов.

Решим уравнение  $ (x-2)(y+3)=4 $  в целых числах.

Так как x и у целые числа, совершим перебор вариантов:

$ {x-2=1;\; y+3=4\rightarrow\;x=3;\;y=1\\ x-2=4;\; y+3=1\rightarrow\;x=6;\;y=-2\\ x-2=-1;\; y+3=-4\rightarrow\;x=1;\;y=-7\\ x-2=-4;\; y+3=-1\rightarrow\;x=-2;\;y=-4\\ x-2=2;\; y+3=2\rightarrow\;x=4;\;y=-1\\ x-2=-2;\; y+3=-2\rightarrow\;x=0;\;y=-5\\} $

Ответ: (3; 1), (6; -2), (1; -7), (-2; -4), (4; -1), (0; -5).

Решим уравнение 10х + 10у = 2019 в целых числах.

Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

Пусть нужно решить уравнение в целых числах:  $ 5x+4y=22. $

Методом перебора находим решение  $ x_1=2;\;y_1=3. $

Получаем систему уравнений:

$ {\begin{cases}5x=4y=22\\5\cdot2=4\cdot3=22\end{cases}\\ 5(x-2)=4(y-3)=0\\ 5(x-2)=-4(y-3)} $

$ \ x-2=\frac{-4(y-3)}{5} $

Из полученного равенства видно, что число (х – 2) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 3) делится на 5, т.е. у – 3 = 5n, где n какое-нибудь целое число.

Имеем:

$ {\ y=3+5n\\ x-2=-4\cdot\frac{5n}{5}=-4n\\ x=2-4n} $

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

$ \ (2-4n;\;3=5n),\; где\; n \in Z. $

Ответ:  $ \ (2-4n;\;3=5n),\; где\; n \in Z. $

2 способ. Алгоритм Евклида

Пусть нужно решить уравнение в целых числах:  $ \ 5x+7y=6. $

Сделаем это с помощью Алгоритма Евклида. Ищем НОД чисел 5 и 7 с помощью него:

НОД (5, 7) = НОД (5, 7-5) = НОД (5, 2) = НОД (5 - 2∙2, 2) = НОД (1, 2) = 1

Запишем этот процесс в обратном порядке:

$ \ 1=2-1=2-(5-2\cdot2)=2\cdot3-5\cdot1=(7-5)\cdot3-5\cdot1=7\cdot3-5\cdot4. $

То есть:

$ \ 1=5\cdot(-4)+7\cdot3 $

Тогда:

$ {\ 1\cdot6=5\cdot(-4)\cdot6+7\cdot3\cdot6\\ 6=5\cdot(-24)+7\cdot18\\ 6=5x+7y} $

Тогда  $ {\ x=-24 \;и \; y=18} $  является решением уравнения.

Общее решение записывается в виде:

$ {\ x=-24+7n; \; y=18+5n,} $  где n – любое целое число.

Выполним проверку:

$ {\ 5(-24+7n)+7(18+5n)=6\\ -120+35n+126+35n=6\\ 70n=0} $

$ {\ n} $  – любое целое.

Верно.

Это не всевозможные способы решения. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т.п.

Пример.

Решим уравнение:

$ \ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Разложить на множители и выразить переменную мы здесь не можем. Воспользуемся методом перебора остатков.

Если левая часть уравнения в целых числах кратна какому-то числу, то и другая обязательно должна быть кратна этому же числу. Отсюда следует, что и остатки от деления обеих частей уравнения на одно и то же число будут давать одинаковые остатки.

Будем делать выводы о делимости одной части уравнения на какое-либо число (или смотреть, какой остаток от деления при этом получается) и проверять, при каких значениях переменных вторая часть уравнения также делится на это число (либо даёт такой же остаток).

Левая часть кратна 5. И остатки от деления на 5 у обеих частей также будут равны.

Про пятёрку уже сказали, что правая часть делится на неё без остатка, значит и левая тоже должна делиться.

Рассмотрим остатки от деления на 4.

 Z   $ \ 5^{z} $  Остаток при делении на 4
 1  5  1
 2  25  1
 3  125  1
 4  625  1

Видим простую закономерность, что 5 в любой степени при делении на 4 будет давать остаток 1.

Теперь левая часть: будет делиться на 4 без остатка.

Рассмотрим остатки от деления на 4 числа  $ \ 3^{x} $

 Z   $ \ 3^{x} $  Остаток при делении на 4
 1  3  3
 2  9  1
 3  27  3
 4  81  1
 5  243  3

И так далее. Закономерность: при чётных х остаток 1, при нечётных остаток 3.

Отсюда делаем вывод, что х - число чётное, значит, мы можем представить его как х = 2n.

Теперь рассмотрим остатки при делении обеих частей на 3.

Правая часть:

 Z   $ \ 5^{z} $  Остаток при делении на 3
 1  5  2
 2  25  1
 3  125  2
 4  625  1

И так далее. Видим закономерность, что при чётных z остаток равен 1, при нечетных z остаток равен 2.

Рассмотрим левую часть. Число  $ \ 3^{x} $  даёт остаток 0 при делении на 3.

Рассмотрим остатки от деления на 3 числа  $ \ 4^{y} $

 Z   $ \ 4^{y} $  Остаток при делении на 3
 1  4  1
 2  16  1
 3  64  1
 4  256  1
 5  1024  1

Получается, что левая часть при делении на 3 может давать только остаток 1. Значит, и правая тоже. Это происходит при чётных z.

Вернёмся к нашему уравнению  $ \ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Рассмотрев все остатки от деления, мы делаем выводы, что х и z - чётные числа. Тогда х = 2n, z = 2m, где m, n натуральные. Подставим в уравнение:

$ \ 3^{2n}+4^{y}=5^{2m} $ , заметим также, что  $ \ 4^{y}=2^{2y} $

Теперь мы можем разложить на множители, используя формулу разности квадратов:

$ \ 2^{2y}=5^{2m}-3^{2n} $

$ \ (5^{m}-3^{n})(5^{m}+3^{n})=2^{2y} $ . Получается, что обе скобки должны быть степенями двойки. Мы не можем сделать никаких обоснованных выводов. Наша группировка неудачная. Попробуем иначе:

$ {\ 5^{2m}-2^{2y}=3^{2n}\\ (5^{m}-2^{y})(5^{m}+2^{y})=3^{2n}} $

Теперь у нас обе скобки являются произведением троек. Рассмотрим такую ситуацию,

$ \ a\cdot b=3^{2n} $ , это означает, что и а, и b кратны 3. Либо одно из чисел кратно 3, а другое равно 1.

Рассмотрим случай, когда и а, и b кратны трём. Вспомним основные свойства делимости.

Ключевым признаком здесь будет второй: в нашем случае разность a-b также будет делиться на 3.

Рассмотрим разность скобок:

$ \ 5^{m}+2^{y}-(5^{m}-2^{y})=2\cdot 2^{y} $  - это число никогда не будет кратно 3. Значит, в нашем произведении один из множителей равен 1, а другой равен 32n. Так как  $ \ 5^{m}+2^{y}> 1 $ ,

$ \ 5^{m}-2^{y}=1,5^{m}+2^{y})=3^{2n} $ Итак, мы с вами уже решаем немного другое уравнение, с переменными m и n, которые зависят от х и у. И пришли к выводу, что  $ \ 5^{m}+2^{y}=1 $

 m    $ \ 5^{m} $  y    $ \ 2^{y} $
 0  1  0  1
 1  5  1  2
 2  25  2  4
 3  125  3  8

Эта таблица показывает, что  $ \ 5^{m}+2^{y}=1 $  только в одном случае при m = 1, y = 2. При их увеличении разница между и будет всё больше, поэтому это единственное решение.

Тогда z = 2m = 2, x = 2.

Ответ: (2, 2, 2)

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно