55. Планиметрия
Читать 5 мин.
55.101. Векторы
ОСИ КООРДИНАТ:
Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».
- ось x — ось абсцисс;
- ось y — ось ординат,
- точка О — начало координат.
Любой точке плоскости сопоставляются два числа:
- абсцисса x0,
- ордината y0.
Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.
ВЕКТОР:
Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.
Пусть имеются две точки:
- A с координатами (x_1;\,y_1)
- B с координатами (x_2;\,y_2).
Тогда мы имеем вектор \,\overline {\!AB\,}, который обозначим за \overline a.
На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.
Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:
Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора \overline a его координатами будут: (a_x;\,a_y). Свойства координат вектора:
- Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
- У равных векторов соответствующие координаты равны.
Нахождение координат вектора:
Координаты вектора \overline a\;(a_x;\,a_y)\colon
\begin{aligned}&a_x=x_2-x_1\\&a_y=y_2-y_1\end{aligned}
То есть, координаты вектора \overline a\colon (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1).
Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.
|\overline a|=\sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2\vphantom{\bigl(}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\vphantom{\bigl(}}
Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.
Координаты вектора \overline a\;(a_x;\,a_y;\,a_z):
\begin{aligned}&a_x = x_2-x_1 \\ &a_y = y_2-y_1 \\ &a_z = z_2 - z_1\end{aligned}
То есть, координаты вектора \overline a\colon (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1).
Модуль вектора \overline a\colon
|\overline a|=\sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2+(a_z)^2\vphantom{\bigl(}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2\vphantom{\bigl(}}
СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:
Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:
1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.
2. Разделить на два.
|
НА ПЛОСКОСТИ |
В ПРОСТРАНСТВЕ |
|
O — середина вектора \,\overline {\!AB\,} |
|
|
|
|
|
\begin{aligned}&A\,(x_1;\,y_1),\ B\,(x_2;\,y_2) \\[3pt] &O(x;y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)\end{aligned} |
\begin{aligned}&A\,(x_1;\,y_1;\,z_1),\ B\,(x_2;\, y_2;\, z_2) \\[3pt] &O(x;y;z)=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2};\,\frac{z_1+z_2}{2}\right)\end{aligned} |
ВИДЫ ВЕКТОРОВ:
Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.
Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.
Коллинеарные и компланарные векторы
|
Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.
Два коллинеарных вектора |\overline a|\ и\ |b| называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу: |\overline a|{\small \uparrow\uparrow}|\overline b| |
Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными. |
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:
| НА ПЛОСКОСТИ | В ПРОСТРАНСТВЕ | |
| Координаты вектора \overline {c\,} |
Сложение векторов: \overline {c\,}=\overline a + \overline b |
|
| x | c_x = a_x + b_x | c_x = a_x + b_x |
| y | c_y = a_y + b_y | c_y = a_y + b_y |
| z | — | c_z = a_z + b_z |
| Координаты вектора \overline {c\,} |
Вычитание векторов: \overline {c\,}=\overline a - \overline b |
|
| x | c_x = a_x - b_x | c_x = a_x - b_x |
| y | c_y = a_y - b_y | c_y = a_y - b_y |
| z | — | c_z = a_z - b_z |
| Координаты вектора \overline {b} |
Умножение вектора на число: \overline b = \lambda\overline a |
|
| x | \overline b_x = \lambda a_x | \overline b_x = \lambda a_x |
| y | \overline b_y = \lambda a_y | \overline b_y = \lambda a_y |
| z | — | \overline b_z = \lambda a_z |
| Значение числа s | Скалярное умножение векторов: s = \overline a\cdot\overline b |
|
| s=a_x\!\cdot b_x + a_y\!\cdot b_y | s=a_x\!\cdot b_x + a_y\!\cdot b_y + a_z\!\cdot b_z | |
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:
СЛОЖЕНИЕ
Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: \overline {c\,} = \overline a + \overline b.
{\mathbf {Теорема\colon}}\\ Для\ любых\ трёх\ точек\ A,\,B,\,C\ справедливо\ соотношение\colon\ \overline{\!AB\,}+\,\overline{\!BC\,}=\,\overline{\!AC\,}\!.
{\mathbf {РАЗНОСТЬ}}\\Разность\ двух\ векторов\ \overline a\ и\ \overline b\;—\ это\ вектор\ \overline {c\,},\ который\ в\ сумме\ с\ вектором\ \overline b\ даёт\ вектор\ \overline a \\ \overline b + \overline{c\,} = \overline a\quad\Rightarrow\quad\overline{c\,} = \overline a - \overline b
Вектор\ \overline {c\,}\ можно\ найти\ также,\ складывая\ с\ вектором\ \overline a\ вектор\ \bigl(-\overline b\bigr),\ противоположный\ вектору\ \overline b\colon \\ \overline {c\,} = \overline a + \bigl(-\overline b\bigr)
