Множество – это совокупность определенных объектов, объединённые по какому-нибудь общему признаку или свойству.

Примеры:

1) Множество натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, …};

2) Множество учеников в классе;

3) Множество букв русского алфавита: {А, Б, В, Г, …, Э, Ю, Я}.

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами.

Название множества обозначают большими латинскими буквами: A, B, C…

Элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами: a, b, c, d₁, d₂…

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел.

По числу элементов множества делятся на три класса:

• Бесконечные (например, множество натуральных чисел)
• Конечные (например, {0, 1})
• Пустые

Операции над множествами

1) Два множества А и В равны (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 1, 2} то А = В.

2) Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, то А ∪ B = {1, 2, 3, 4}

3) Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А = {1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

4) Разностью множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А = {1,2,3,4}, B = {3,4,5}, то А\В = {1,2}

Разбиение множества

Разбиением множества А на подмножества называется система его непустых подмножеств, обладающая следующими свойствами:

1) объединение всех подмножеств этой системы равно множеству А;

2) никакие два различные подмножества не содержат общих элементов.

Пример 1.

Разбиение множество целых чисел на четные и нечетные числа.

\[Z = Z_{2n}\;\cup \;Z_{2n+1}\]

Пример 2.

Разбиение множество параллелограммов на прямоугольники, ромбы, параллелограммы с неравными сторонками и непрямыми углами невозможно, так как квадрат будет являться элементом подмножества прямоугольников и ромбов.