66. Стереометрия
Читать 0 мин.
66.53. Основные стереометрические фигуры
Среди огромного множества объемных фигур можно выделить три большие группы:
ПРИЗМЫ:
n-угольная призма - многогранник, две грани которого равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней − параллелограммы.
Примеры:
|
|
|
|
|
Треугольная призма |
Четырехугольная призма |
Шестиугольная призма |
Элементы призмы:
|
|
Два n − угольника являются основаниями призмы (ABCD), параллелограммы − боковыми гранями (AB B₁A₁). Стороны граней называются ребрами призмы (например, AD), а концы ребер − вершинами призмы (например, D). Высота призмы - отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы (СO). Для наклонной призмы высота может находится за пределами призмы или лежать внутри нее. Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани (например, B₁D) |
Виды призм:
|
Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований. |
Наклонная призма – призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований. |
|
$ABCA_1B_1C_1$– прямая треугольная призма |
$ABCA_1B_1C_1$– наклонная треугольная призма |
Правильная призма - прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы:
- Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
- Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
- Боковые ребра призмы параллельные и равны.
- Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
|
$V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}}\cdot h$ Для прямой призмы высотой будет является любое из боковых ребер. |
|
|
|
|
|
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — произвольная призма. $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD}\cdot B_1O$ |
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая призма. $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD}\cdot AA_1$ |
- Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и двойной
площади основания.
|
|
$S_{\text{полн.поверх}} = S_{\text{бок.}} + 2S_{\text{осн.}}$ Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{\text{бок.}} = P \cdot h$ где P — периметр перпендикулярного сечения, h — высота. То есть: $S_{\text{полн.поверх}} = P \cdot h + 2S_{\text{осн.}}$ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямая призма. $S_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = P_{ABCD}\cdot AA_1 + 2S_{ABCD}$ |
Особенные призмы:
Параллелепипед - призма, все грани которой − параллелограммы.
Прямой параллелепипед - параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.
|
|
|
|
Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Все грани – прямоугольники. |
Куб (гексаэдр) - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани − квадраты. |
|
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d² = a² + b² + c², где a, b, c − длины ребер, выходящих из одной вершины, d − диагональ параллелепипеда. |
Квадрат диагонали куба равен квадрату его ребра, умноженному на 3: d² = 3a², где a − длина ребра куба. Площадь поверхности куба можно найти по формуле: S = 6a² |
|
Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = abc |
Объем куба можно найти по формуле: V = a³ |
ПИРАМИДЫ:
n-угольная пирамида – многогранник, одна грань которого – n-угольник, а остальные грани − треугольники с общей вершиной.
Примеры:
|
|
|
|
|
Треугольная пирамида |
Четырехугольная пирамида |
Шестиугольная пирамида |
Элементы пирамиды:
|
|
n-угольник называется основанием пирамиды (ABCD), а треугольники − боковыми гранями (например, SBC). Высота пирамиды - отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания (SO). Для абсолютно произвольной пирамиды положение точки O заранее неизвестно. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины (SH). |
Особенные пирамиды:
Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. В правильной пирамиде обязательно равны между собой ребра основания, и равны между собой боковые ребра. Но не обязательно боковое ребро равно ребру в основании.
Тетраэдр - треугольная пирамида. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
Усеченная пирамида – многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.
Свойства пирамиды:
- Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.
- Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.
|
|
|
|
Если$\angle{DPO} = \angle{DKO} = \angle{DMO}\;$то $\qquad$ О – центр вписанной окружности |
Если $DA=DB=DC$,то О – центр описанной окружности |
- Объем пирамиды равен произведению площади ее основания на высоту, деленному на три:
|
|
$V_{\text{пир.}} = \frac{1}{3}S_{\text{осню.}}\cdot h$ $ \begin{cases} ABCD - \text{произвольная пирамида} \\ DO \perp ABC \end{cases} \Rightarrow V_{ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot DO $ |
- Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и суммы площадей всех боковых граней (при этом для произвольной пирамиды эти грани могут быть разные, поэтому площади у них тоже будут разные).
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по одной формуле
$S_{\text{полн.пир}}= \displaystyle\frac{1}{2}P_{\text{осн.}} \cdot h_{\text{бок.}}$
где $P_{\text{осн.}}$ — периметр основания, $h_{\text{бок.}}$ — апофема пирамиды.
|
|
Если ABCD — произвольная пирамида, то $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{DAC} + S_{DBC} + S_{DAB}$ Если ABCD — правильная пирамида, то $S_{ABCD} = S_{ABC} + \frac{1}{2}P_{ABC}\cdot DH$ |
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ:
Цилиндр – фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Элементы цилиндра:
|
|
l (AB, CD) – образующая ABCD − осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольника $OO_1CD$ вокруг его стороны $OO_1CD$ |
Свойства цилиндра:
Любое сечение цилиндра, параллельное его основанию – круг, равный основанию цилиндра. Сечение цилиндра, наклонное к его оси и основанию – эллипс.
$V_{\text{цил.}} = S_{\text{осн.}}\cdot h$ где $S_{\text{осн.}} = \pi R^2$ – площадь основания цилиндра; h – высота.
$S_{\text{пов.цил.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}$ Боковая поверхность равна: $S_{\text{бок.}} = 2\pi Rl$ где R − радиус основания, h − высота, l − образующая цилиндра. |
Конус – фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Элементы конуса:
|
|
OС − ось вращения и высота l (AC, CB) – образующая ABC − осевое сечение конуса, полученного вращением треугольника ABC вокруг его стороны OС |
Свойства конуса:
Любое сечение конуса, параллельное его основанию – круг, подобный основанию конуса. Сечение конуса, наклонное к его основанию и не проходящее через вершину – эллипс.
$V_{\text{кон.}} = \displaystyle\frac{1}{3}S_{\text{осн.}}\cdot h$ где $S_{\text{осн.}} = \pi R^2$– площадь основания конуса; h – высота.
$S_{\text{пов.кон}} = S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}$ Боковая поверхность равна: $S_{\text{бок.}} = \pi Rl$ где R − радиус основания, l − образующая конуса. |
Сфера – фигура, полученная в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра.
Шар – фигура, полученная вращением полукруга вокруг его диаметра.
Свойства шара и сферы:
|
|
Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом (круг радиуса R).
$V_{\text{шара}} = \displaystyle\frac{4}{3} \pi R^3$
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$ |
