55. Планиметрия
Читать 0 мин.
55.511. Отношения
Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.
ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:
1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: AO : AM = 2 : 1.
2. Средняя линия треугольника равна половине основания: $MN = \frac{1}{2}BC$
3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине $CM = \frac{1}{2}AB$
4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
|
Произвольный параллелограмм или ромб: АО = ОС, BO = OD
|
Прямоугольник или квадрат: АО = ОС = BO = OD
|
ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:
1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника: $S_{ACM} = S_{AMB} = S$
2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:
$S_{AKO} = S_{ALO} = S_{CKO} = S_{CMO} = S_{BMO} = S_{BLO} = S$
3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна $\frac{3}{4}S$
$S_{AKC(LMB)} = \frac{3}{4}S_{ABC}$
ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:
|
Лемма 1
|
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. $S_{ABC} \sim S_{EKF} \\ \displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{EKF}} = (\frac{AC}{EF})^2 = k^2$ |
|
Лемма 2
|
Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания. $\displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{ABE}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot AC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{AC}{AE} \\ \\ \displaystyle\frac{S_{EBC}}{S_{ABE}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot EC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{EC}{AE}$ |
|
Лемма 3
|
Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE. $\displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}} = \frac{BE}{OE}$ |
|
Лемма 4
|
Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу. $\displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{EBF}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC\cdot\sin\angle{B}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF\cdot\sin\angle{B}} = \frac{AB\cdot BC}{EB\cdot BF}$ |
|
Продолжение леммы 4:
|
Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В. $\sin\angle{FBE} = \sin(180^{\circ} - \angle{ABC}) = \sin\angle{ABC} \\ \\ \displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{EBF}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC\cdot\sin\angle{ABC}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF\cdot\sin\angle{FBE}} = \frac{AB\cdot BC}{EB\cdot BF} $ |
