66. Стереометрия Читать 0 мин.
66.304. Расстояния
Расстояния
Задача на нахождения расстояния в стереометрической фигуре является главной и самой важной из всех. Прежде всего определимся с тем, что имеется ввиду под словом «расстояние», ведь их может быть бесконечно много.
Расстояние между объектами в геометрии – это кратчайшее из расстояний между ними.
Обозначение:
В стереометрии найти расстояние можно между следующими комбинациями фигур:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Расстояние между точками– это длина отрезка, соединяющего эти точки.
В задачах на стереометрию мы не можем просто воспользоваться линейкой, и длину этого отрезка должны найти аналитически. Поэтому длину отрезка AB между точками A и B находят как сторону треугольника, если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон.
То есть если в задаче предлагается найти расстояние между точками, нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является стороной?», затем построить этот треугольник и найти в нем нужную сторону.
Например:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Этот отрезок перпендикуляра можно вычислить, включив его в треугольник (или трапецию) в качестве одной из высот. То есть нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является высотой?», затем построить этот треугольник и найти в нем высоту.
Например:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Существует несколько способов нахождения расстояния от точки до плоскости:
- Построение перпендикуляра из точки на плоскость.
- К этому способу обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной линии с M.
- Построение перпендикуляра из точки прямой к плоскости.
- Построение перпендикуляра из точки плоскости на плоскость.
К этому способу, аналогично, обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной плоскости с M.
- Через двойное выражение объема.
Расстояние от точки M до плоскости β – это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, то есть по сути это высота в некоторой пирамиде с вершиной M и плоскостью основания, лежащей на β. Если легко вычислить объем этой пирамиды, используя другое основание и другую высоту, то через этот объем можно найти нужное расстояние.
Например:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Существует несколько способов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
1. Построение взаимного перпендикуляра.
2. Построение параллельной прямой.
К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и одна из скрещивающихся прямых уже заключена в удобную плоскость.
К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и скрещивающиеся прямые уже заключены в удобные плоскости.
3. Построение параллельной плоскости.