Оглавление

1. Базовая математика Читать 0 мин.

1.6. Прогрессии

Прогрессии

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение («progression», что означает «движение вперед»), был введен римским математиком Боэцием в 6 веке.

Что такое прогрессия? Это тип последовательности. А что такое последовательность? Это бесконечный набор чисел, подчиняющийся определенному правилу. Например, последовательность составляют все числа, делящиеся на 2. Их бесконечно много, и они подчиняются определенному правилу. Последовательность можно задать формулой n-го члена, где n – номер члена последовательности.

Например,

$ M_{n}=2^{n}-1 $ (числа Мерсенна)

$ M_{1}=2^{1}-1=1 $

$ M_{2}=2^{2}-1=3 $

$ M_{5}=2^{5}-1=31 $

Последовательность также может задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Например, первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Тогда получаем последовательность чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (называемых числами Фибоначчи)

Есть два вида последовательностей, которые изучаются в курсе математики– это арифметические и геометрические прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число d.

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d < 0, то — убывающей последовательностью. А если d = 0 ? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d = 2 (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и ее разность d, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

  • an = a1 + d · (n−1) — формула n-го члена,

Пример: найдите члены а8, а1000 арифметической прогрессии, у которой а1 = -2, d = 5

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

а8 = a1 + d · (8 −1) = -2 + 7 · 5 = 33.

а1000 = a1 + d · (1000 −1) = -2 + 999 · 5 = 4993.

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

  • $ S_{n}= \frac {a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n = \frac {2a_{1}+d(n-1)}{2} \cdot n; $

Пример: определить сумму k первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с a1 = 1 и d = 2

$ S_{k}= \frac {2a_{1}+d(k-1)}{2} \cdot k = \frac {2 \cdot 1+2(k-1)}{2} \cdot k = \frac {2+2k-2}{2} \cdot k=k^{2} $

Например, сумма первых пяти нечетных чисел:

Можно убедиться, что 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

  • $ a_{n}= \frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2} $ — свойство n-го члена.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если q > 0, то прогрессия считается знакоположительной, при q < 0 – знакопеременной.

Если |q |>1, прогрессия возрастающая, если |q | <1 – убывающая. Заметим, что при q < 0 сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если b1 — первый член прогрессии (b1 ≠ 0), а q — знаменатель прогрессии (q ≠ 0), то справедливы следующие формулы:

  • bn = b1 · q n -1 формула n-го члена

Пример: найдите b4, b11 геометрической прогрессии, если b1 = 3, q = 2

Решение:

По формуле найдем:

b4 = b1 · q 4 - 1= 3 · 2 3 = 24,

b11 = b1 · q 11 - 1= 3 · 2 10 = 3072.

  • $ S_{n}= b_{1} \frac {q^{n}-1}{q-1} $ — формула суммы n первых членов;

Пример: найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой b1 = 2, q = 3

Решение:

$ S_{5}= b_{1} \frac {(q^{5}-1)}{q-1} = 2 \frac {(3^{5}-1)}{3-1} = 2 \frac {(243-1)}{2}=242 $

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

  • $ b_{n}= \sqrt {b_{n-1} \cdot b_{n+1}} $ - свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле $ S= \frac {b_{1}}{1-q} $

Замечание:

Формула n-го члена прогрессии:

  • арифметической:an = a1 + d · (n − 1)
  • геометрической: bn = b1 · q n - 1

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.

Сложные проценты

Есть два вида процентов доходности – простые и сложные.

Чтобы с ними разобраться, представим двух братьев: Расчетливого Сашу и Простака Петю. Их отец дал каждому по 1000 рублей, и оба кладут их в банк. Расчетливый Саша всегда пользуется счетом со сложными процентами, а Простак Петя больше любит поступать по старинке и предпочитает счета с простыми процентами.

Сложный процент - это проценты с процентов.

У простого процента такой особенности нет, его рассчитывают от стартовой суммы, которую называют «основным капиталом». Пете легко в этом разобраться: основной капитал зарабатывает каждый год одну и ту же сумму.

Если вы откладываете деньги, занимаете их, пользуетесь кредитной картой, берёте в ипотеку или покупаете пожизненную ренту, формула сложного процента работает на (или против) вас.

Давайте выведем формулу сложных процентов. Допустим, у нас есть некоторая сумма S, в конце года мы ее увеличиваем на некоторый процент (%). Полученную сумму S1 после начисления процентов можно посчитать так:

$ S_{1}=S+\frac{\%}{100} \cdot S = S \big( 1+\frac{\%}{100} \big) $

В следующем году полученную сумму снова увеличим на тот же процент. Тогда можем записать верное равенство:

$ S_{2}=S_{1}+\frac{\%}{100} \cdot S_{1} = S_{1} \big( 1+ \frac{\%}{100} \big) = S \big( 1+ \frac{\%}{100} \big) \big( 1+ \frac{\%}{100} \big) = S \big( 1+ \frac{\%}{100} \big)^{2} $

Аналогично мы можем посчитать полученную сумму еще через год:

$ S_{3}=S_{2}+\frac{\%}{100} \cdot S_{2} = S_{2} \big( 1+ \frac{\%}{100} \big) = S_{1} \big( 1+ \frac{\%}{100} \big)^{2} \big( 1+ \frac{\%}{100} \big) = S \big( 1+ \frac{\%}{100} \big)^{3} $

Таким образом, если периодов n, то можем записать формулу вычисления сложных процентов:

$ S_{n}=S \big( 1+ \frac {\%}{100} \big)^{n} $ начисление процентов (%) на сумму S через n периодов.

Тогда последовательность остатков долга будет следующей:

$ S; S \big( 1+ \frac {\%}{100} \big); S \big( 1+ \frac {\%}{100} \big)^{2}; S \big( 1+ \frac {\%}{100} \big)^{3}... S \big( 1+ \frac {\%}{100} \big)^{n} $

Видим, что это геометрическая прогрессия.

Итак, Саша размещает свои 1000 рублей на счете и получает ежегодно 7% дохода. Давайте посчитаем, сколько он получит за три года? В данном случае S = 1000, % = 7, n = 3, $ S_{3} $– общая сумма, получаемая по формуле сложного процента:

$ S_{3} = 1000 \big(1+\frac{7}{100} \big)^{3}=1225,04 \; (руб). $

Счет Пети – тоже 7%-ный, но процент у него простой. Какие деньги заработает за три года Петя? В первый год он получит 70 рублей, столько же – во второй и в третий. Таким образом, проценты составят 3 · 70 = 210 рублей, итого общая сумма на счете - 1210 рублей. Инвестиционное решение Саши, очевидно, выгоднее.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно