Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.15. Показательная функция

a > 0 , b > 0;

a0 = 1, 1x = 1;

$a^{\frac{k}{n}}$ = $\sqrt[n]{a^k}$ (k ϵ Z, n ϵ N);

ax = $\frac{1}{a^x}$ ;

ax · ay = ax+y;

$\frac{a^x}{a^y}$ = ax−y;

(ax)y = axy;

ax · bx = (ab)x;

$\frac{a^x}{b^x}$ = $(\frac{a}{b})^x$

Функцию вида f (x) = , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции f (x) = :

 

при a > 1

0 < a < 1

Область определения

D (f) = (−∞; +∞)

D (f) = (−∞; +∞)

Область значений

E (f) = (0; +∞)

E (f) = (0; +∞)

Монотонность

Возрастает

Убывает

Непрерывность

Непрерывная

Непрерывная

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Простейшие показательные уравнения

Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1.

Показательное уравнение af(ˣ) = ag(ˣ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению

f (x) = g (x).

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

ax = b, где а > 0, а ≠ 1. Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = loga b.

Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:

  • Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4x лучше писать 2²ˣ, а вместо 0,01xвообще 10²ˣ;
  • В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Помните: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делениивычитаются;
  • Если все сделано правильно, получим уравнение вида a f (x) = a g(x), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f (x) = g (x), которое легко решается.
  • Помните, что корнитоже степени, но с дробным основанием:

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}};\; \sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{6}}; \; \sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{3^3} = 3^{\frac{3}{5}}$

Задача. Решите уравнение: 4x$ = \frac{1}{256}$

Решение:

Итак, приведем все степени к основанию 2:

4x = (22)x = 22x; 1 = 20; 256 = 28.

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

4x = $\frac{1}{256}$ $\Rightarrow$ 22x = $\frac{2^0}{2^8}$ $\Rightarrow$ 22x = 20−8 $\Rightarrow$ 22x = 2−8.

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основаниеполучаем:

2x = −8 ⇒ x = −4.

Ответ: −4.

Задача: Решите уравнение: 92x = $\frac{1}{27}$ .

Решение

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

92x = (32)2x = 34x; 1 = 30; 27 = 33.

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:

92x = $\frac{1}{27}$ $\Rightarrow$ 34x = $\frac{3^0}{3^3}$ $\Rightarrow$ 34x = 30−3 $\Rightarrow$ 34x = 3−3.

Осталось избавиться от основания степени:

4x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75.

Ответ: −0,75.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно