Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.8. Первообразная

Определение первообразной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции – это функция, от которой взяли производную и получили .

Например:

  • Функция F(x) = х² является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х²)' = 2x = f(x)

  • Функция F(x) = х³+6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х², так как

F'(x) = (х²)' = 3х² = f(x)

* - Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х², F(x) = х²+5, F(x) = х²+17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х² + C, а C называются константой интегрирования.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВООБРАЗНОЙ

Пусть имеется график функции $ f(x) $ На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком Требуется найти площадь, ограниченную графиком $ f(x) $ осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции $ f(x) $.

$ S = \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$, где $ F $ - первообразная $ f(x) $

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной $ f(x) $ (то есть $ F(x) $), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

1. Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке – F(b).

2. Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке - F(a).

3. Вычислить F(b) - F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).

$ S = F(b)-F(a) $

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно