Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.7. Смысл производной

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Уравнение касательной в точке $ x_{0} $ выглядит следующим образом: 

$ y=f'(x_{0})x-f'(x_{0}) \cdot x_{0}+f(x_{0}) $

$ f'(x_{0}) $ - значение производной в точке $ x_{0} $
$ x_{0} $ - координата самой точки
$ f(x_{0}) $ - значение функции в точке $ x_{0}$

Производная функция в точке $ x_{0}$ равно коэффициенту наклона касательной, проведённая в точке $ x_{0}$
$ f'(x_{0})=k=tg \; a $


Функция возрастает
$ tg \; a>0 $

Функция убывает
$ tg \; a<0 $

Экстремум
$ tg \; a=0 $

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как связаны значение производной и поведение функции:

1. Функция возрастает.

Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.

Функция возрастает $ \Rightarrow f'(x_{0})>0 $

2. Функция убывает.

Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.

Функция убывает $ \Rightarrow f'(x_{0})<0 $

3. Экстремум.

Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).

Функция возрастает $ \Rightarrow f'(x_{0})=0 $

Точка максимума

До неё функция возрастает, после него убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус.

Максимум: $ f'(x_{0}) + \Rightarrow - $

Точка минимума

До неё функция убывает, после него возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс.

Максимум: $ f'(x_{0}) - \Rightarrow + $

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ:

Допустим есть некоторая точка, которая двигается вдоль оси ОХ, и ее координата меняется со временем по закону $ x(t) $. Получается, что $ x(t) $ – это функция того, как меняется расстояние.

Мы знаем определение производной: это темп изменения функции. Если говорить про темп изменения расстояния, то можно догадаться, что это скорость.

То есть:

  • Чтобы найти скорость материальной точки, необходимо взять производную от функции координаты:

$ v(t)=x'(t) $

Темп изменения скорости – это ускорение. Поэтому:

  • Чтобы найти ускорение, необходимо взять производную от функции скорости, то есть вторую производную от координаты:

$ a(t)=v'(t)=x''(t) $

Таким образом, скорость материальной точки – это первая производная от функции расстояния (координаты), а ускорение – вторая производная от функции расстояния.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно