Уравнение касательной в точке $ x_{0} $ выглядит следующим образом: 

$ y=f'(x_{0})x-f'(x_{0}) \cdot x_{0}+f(x_{0}) $

$ f'(x_{0}) $ - значение производной в точке $ x_{0} $
$ x_{0} $ - координата самой точки
$ f(x_{0}) $ - значение функции в точке $ x_{0}$

1. Функция возрастает.

Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.

Функция возрастает $ \Rightarrow f'(x_{0})>0 $

2. Функция убывает.

Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.

Функция убывает $ \Rightarrow f'(x_{0})<0 $

3. Экстремум.

Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).

Функция возрастает $ \Rightarrow f'(x_{0})=0 $

Точка максимума

До неё функция возрастает, после него убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус.

Максимум: $ f'(x_{0}) + \Rightarrow - $

Точка минимума

До неё функция убывает, после него возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс.

Максимум: $ f'(x_{0}) - \Rightarrow + $

Допустим есть некоторая точка, которая двигается вдоль оси ОХ, и ее координата меняется со временем по закону $ x(t) $. Получается, что $ x(t) $ – это функция того, как меняется расстояние.

Мы знаем определение производной: это темп изменения функции. Если говорить про темп изменения расстояния, то можно догадаться, что это скорость.

То есть:

• Чтобы найти скорость материальной точки, необходимо взять производную от функции координаты:

$ v(t)=x'(t) $

Темп изменения скорости – это ускорение. Поэтому:

• Чтобы найти ускорение, необходимо взять производную от функции скорости, то есть вторую производную от координаты:

$ a(t)=v'(t)=x''(t) $

Таким образом, скорость материальной точки – это первая производная от функции расстояния (координаты), а ускорение – вторая производная от функции расстояния.