Оглавление

4. Планиметрия Читать 0 мин.

4.2. Векторы

ОСИ КООРДИНАТ:

Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».

  • ось x — ось абсцисс;
  • ось y — ось ординат,
  • точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа:

  • абсцисса x0,
  • ордината y0.

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

ВЕКТОР:

Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.

Пусть имеются две точки:

  • A с координатами $(x_1;\,y_1)$
  • B с координатами $(x_2;\,y_2)$.

Тогда мы имеем вектор $\,\overline {\!AB\,}$, который обозначим за $\overline a.$

На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.

Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:

Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $\overline a$ его координатами будут: $(a_x;\,a_y).$ Свойства координат вектора:

  • Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
  • У равных векторов соответствующие координаты равны.

Нахождение координат вектора:

Координаты вектора $\overline a\;(a_x;\,a_y)\colon$

$\begin{aligned}&a_x=x_2-x_1\\&a_y=y_2-y_1\end{aligned}$

То есть, координаты вектора $\overline a\colon (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1).$

Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.

$|\overline a|=\sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2\vphantom{\bigl(}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\vphantom{\bigl(}}$

Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.

Координаты вектора $\overline a\;(a_x;\,a_y;\,a_z)$:

$\begin{aligned}&a_x = x_2-x_1 \\ &a_y = y_2-y_1 \\ &a_z = z_2 - z_1\end{aligned}$

То есть, координаты вектора $\overline a\colon (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1).$

Модуль вектора $\overline a\colon$

$|\overline a|=\sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2+(a_z)^2\vphantom{\bigl(}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2\vphantom{\bigl(}}$

СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:

1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.

2. Разделить на два.

НА ПЛОСКОСТИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

O — середина вектора $\,\overline {\!AB\,}$

 

$\begin{aligned}&A\,(x_1;\,y_1),\ B\,(x_2;\,y_2) \\[3pt] &O(x;y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)\end{aligned}$

$\begin{aligned}&A\,(x_1;\,y_1;\,z_1),\ B\,(x_2;\, y_2;\, z_2) \\[3pt] &O(x;y;z)=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2};\,\frac{z_1+z_2}{2}\right)\end{aligned}$

ВИДЫ ВЕКТОРОВ:

Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

Два коллинеарных вектора $|\overline a|\ и\ |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу:

$|\overline a|{\small \uparrow\uparrow}|\overline b|$

Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:

  НА ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты
вектора $\overline {c\,}$
Сложение векторов:
$\overline {c\,}=\overline a + \overline b$
$x$ $c_x = a_x + b_x$ $c_x = a_x + b_x$
$y$ $c_y = a_y + b_y$ $c_y = a_y + b_y$
$z$ $c_z = a_z + b_z$
Координаты
вектора $\overline {c\,}$
Вычитание векторов:
$\overline {c\,}=\overline a - \overline b$
$x$ $c_x = a_x - b_x$ $c_x = a_x - b_x$
$y$ $c_y = a_y - b_y$ $c_y = a_y - b_y$
$z$ $c_z = a_z - b_z$
Координаты
вектора $\overline {b}$
Умножение вектора на число:
$\overline b = \lambda\overline a$
$x$ $\overline b_x = \lambda a_x$ $\overline b_x = \lambda a_x$
$y$ $\overline b_y = \lambda a_y$ $\overline b_y = \lambda a_y$
$z$ $\overline b_z = \lambda a_z$
Значение числа $s$ Скалярное умножение векторов:
$s = \overline a\cdot\overline b$
$s=a_x\!\cdot b_x + a_y\!\cdot b_y$ $s=a_x\!\cdot b_x + a_y\!\cdot b_y + a_z\!\cdot b_z$

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:

СЛОЖЕНИЕ

Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $\overline {c\,} = \overline a + \overline b$.

${\mathbf {Теорема\colon}}\\ Для\ любых\ трёх\ точек\ A,\,B,\,C\ справедливо\ соотношение\colon\ \overline{\!AB\,}+\,\overline{\!BC\,}=\,\overline{\!AC\,}\!.$

${\mathbf {РАЗНОСТЬ}}\\Разность\ двух\ векторов\ \overline a\ и\ \overline b\;—\ это\ вектор\ \overline {c\,},\ который\ в\ сумме\ с\ вектором\ \overline b\ даёт\ вектор\ \overline a \\ \overline b + \overline{c\,} = \overline a\quad\Rightarrow\quad\overline{c\,} = \overline a - \overline b$

$Вектор\ \overline {c\,}\ можно\ найти\ также,\ складывая\ с\ вектором\ \overline a\ вектор\ \bigl(-\overline b\bigr),\ противоположный\ вектору\ \overline b\colon \\ \overline {c\,} = \overline a + \bigl(-\overline b\bigr)$

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно