40. Алгебра
Читать 0 мин.
40.351. Правила дифференцирования
Название производной происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Производная характеризует темп изменения функции.
Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Если говорить совсем просто, то для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию.
ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ:
ЧИСЛО, СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИЯ С КОЭФФИЦИЕНТОМ
| Функция | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Число | $ c^{ \prime }=0 $ |
$ 7^{ \prime }=0$ Важно! $ (7)^{ \prime }=0$ $ (In7)^{ \prime }=0$ $ \pi^ { \prime }=0$ Так как это число, а не функция |
| Степенная функция | $ (x^{n})^{ \prime }=n \cdot x^{n-1} $ | $ (x^{7})^{ \prime }=7 \cdot x^{7-1}=7 \cdot x^{6} $ |
| Частный случай - квадратный корень | $( \sqrt {x})^{ \prime } = \frac {1}{2 \sqrt {x}}$ |
Вывод формулы: $( \sqrt {x})^{ \prime } = \big(x^{ \frac {1}{2}} \big)^{ \prime } = \frac {1}{2} x^{ \frac {1}{2}-1}=\frac {1}{2} x^{ -\frac {1}{2}} = \frac {1}{2 \sqrt {x}}$ |
| Частный случай - обратная функция | $ \big( \frac {1}{x} \big) ^{ \prime } = - \frac {1}{x^{2}} $ |
Вывод формулы: $ \big( \frac {1}{x} \big) ^{ \prime } = (x^{-1})^{ \prime } = -1 \cdot x^{-1-1} = - \frac {1}{x^{2}} $ |
| Производная от функции, умноженной на коэффициент | $ (с \cdot f(x))^{ \prime } = с \cdot f^{ \prime } (x) $ |
$ (7x)^{ \prime } = 7 \cdot x^{ \prime } = 7 \cdot 1=7 $ $ (3x^{7})^{ \prime } = 3 \cdot (x^{7})^{ \prime } = 3 \cdot 7 \cdot x^{7-1}=21 \cdot x^{6} $ |
ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
| Показательно степенная функция | $ (a^{x})^{ \prime }=a^{x} \cdot In\; a $ | $ (7^{x})^{ \prime }=7^{x} \cdot In\; 7 $ |
| Частные случаи показательно-степенной функции - основание е (экспонента) | $ (e^{x})^{ \prime }=e^{x} $ |
Вывод формулы: $ (e^{x})^{ \prime }=e^{x} \cdot In \; e=e^{x} \cdot 1=e^{x} $ |
| Логарифмическая функция | $( log_{ \; a} x)^{ \prime } = \frac {1}{x \; In \; a}$ |
$( log_{ \; 7} x)^{ \prime } = \frac {1}{x \; In \; 7}$ |
| Частный случай - логарифмической функции - с натуральным логарифмом (основание логарифма - e) | $ (In \; x )^{ \prime } = \frac {1}{x} $ |
Вывод формулы: $ (In \; x)^{ \prime } = \frac {1}{x \cdot In \; e} = \frac {1}{x \cdot 1} = \frac {1}{x} $ |
ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
| Синус | $ (sin \; x) ^{ \prime }=cos \; x $ | - |
| Косинус | $ (cos \; x) ^{ \prime }=-sin \; x $ | - |
| Тангенс | $ (tg \; x) ^{ \prime }=\frac {1}{cos^{2} x} $ | Вывод формулы: |
| $ (tg \; x)^{ \prime }=\big( \frac {sin \; x}{cos \; x}) ^{ \prime }= \frac{(sin \; x) ^{ \prime } \cdot cos \; x - sin \; x \cdot (cos \; x)^{ \prime }}{cos^{2} x} = \frac{cos \; x \cdot cos \; x - sin \; x \cdot (-sin \; x)}{cos^{2} x}= \frac{cos^{2} x+sin^{2} x}{cos^{2} x}= \frac{1}{cos^{2} x} $ | ||
| Косинус | $ (ctg \; x) ^{ \prime }=-\frac{}1{sin^{2} x} $ | $ (ctg \; x)^{ \prime }=\big( \frac {cos \; x}{sin \; x}) ^{ \prime }= \frac{(cos \; x) ^{ \prime } \cdot sin \; x - cos \; x \cdot (sin \; x)^{ \prime }}{sin^{2} x} = \\= \frac{-sin \; x \cdot sin \; x - cos \; x \cdot (-sin \; x)}{cos^{2} x}= \frac{cos^{2} x+sin^{2} x}{cos^{2} x}= \frac{1}{cos^{2} x}= \\ = \frac{-1 \cdot cos^{2} x+sin^{2} x}{cos^{2} x}= -\frac{1}{sin^{2} x} $ |
ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
| Арксинус | $ (arcsin \;x)^{ \prime }= \frac {1}{\sqrt{1-x^{2}}} $ | Арктангенс | $ (arctg \;x)^{ \prime }= \frac {1}{{1+x^{2}}} $ |
| Арккосинус | $ (arccos \;x)^{ \prime }= -\frac {1}{\sqrt{1-x^{2}}} $ | Арккотангенс | $ (arcctg \;x)^{ \prime }= -\frac {1}{{1+x^{2}}} $ |
ПРОИЗВОДНАЯ ОТ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ
| Сума функций | $ (f (x)+g(x)) ^{ \prime }=f^{ \prime } (x)+g^{ \prime }(x) $ | $ (7^{x}+7) ^{ \prime }=(7^{x})^{ \prime }+7^{ \prime }=7^{x}\cdot In \; 7 $ |
| Произведение функций | $ (f (x) \cdot g(x)) ^{ \prime }= f^ { \prime } (x) \cdot g(x) + f (x) \cdot g^{ \prime }(x) $ | $ (x^{7} \cdot cos \; x) ^{ \prime }=(x^{7})^{ \prime } \cdot cos \; x +x^{7} \cdot (cos \; x)^{ \prime }= \\ =7 \cdot x^{6} \cdot cos \; x+x^{7} \cdot (-sin \; x)= \\ =7 \cdot x^{6} \cdot cos \; x-x^{7} \cdot sin \; x $ |
| Частное функций | $ \big( \frac {f (x)}{g(x)} \big) ^{ \prime }= \frac {f^ { \prime } (x) \cdot g(x) - f (x) \cdot g^{ \prime }(x)} {g^{2}(x)} $ | $ \big( \frac {x^{7}} {cos \; x} \big) ^{ \prime }=\frac {(x^{7})^{ \prime } \cdot cos \; x - x^{7} \cdot (cos \; x)^{ \prime }}{cos^{2}(x)}= \\ = \frac {7 \cdot x^{6} \cdot cos \; x - x^{7} \cdot (-sin \; x)}{cos^{2}(x)}= \\ = \frac {7 \cdot x^{6} \cdot cos \; x + x^{7} \cdot sin \; x}{cos^{2}(x)} $ |
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ
Сложная функция – это когда внутри функции находится другая функция. То есть аргументом функции является другая функция. Как понять, что функция сложная: если в функции вместо икс стоит что-то другое – это сложная функция.
Например:
| $ cos \; x $ - простая функция | $ \Rightarrow $ | $ cos \sqrt{x} $ - сложная функция: внутри функции косинуса стоит функция корня |
| $ e^{x} $ - простая функция | $ \Rightarrow $ | $ e^{2x-7} $ - сложная функция: внутри показательно-степенной функции стоит линейная функция $ 2x-7 $ |
Общая формула:
$ (f ( g(x)) ^{ \prime }= f^ { \prime } (g) \cdot g^{ \prime }(x) $
Что она означает: мы берем производную от внешней функции, сохраняя ее аргумент таким, какой он был (то есть сохраняем ту функцию, которая стояла внутри), а потом умножаем ее на производную внутренней функции.
Примеры:
|
$ cos (3x-2) $ Косинус - внешняя функция, сначала берём производную от неё $ f^{ \prime } (g)=(cos (3x-2))^{ \prime }=-sin(3x-2) $ Обратите внимание, что внутренняя функция $ g=3x-5 $ не изменилась, её мы не трогаем. Отдельно находим от неё производную. $ g^{ \prime }(x)=(3x-2)^{ \prime }=3 $ Теперь перемножим функции по формуле: $ (cos (3x-2))^{ \prime }=-sin(3x-2) \cdot 3 $ |
|
$ log_{12}(x^{2}) $ Внешняя функция логарифмическая, сначала берём производную от неё $ f^{ \prime } (g)=(log_{12}(x^{2}))^{ \prime }=\frac{1}{x^{2} \cdot In \; 12} $ Обратите внимание, что внутренняя функция $ g=x^{2} $ не изменилась, её мы не трогаем. Отдельно находим от неё производную. $ g^{ \prime }(x)=(x^{2})^{ \prime }=2x $ Теперь перемножим функции по формуле: $ (log_{12}(x^{2}))^{ \prime }=\frac{2x}{x^{2} \cdot In \; 12} $ |
|
$ 4^{x^{2}-2x+7} $ Внешняя функция логарифмическая, сначала берём производную от неё $ f^{ \prime } (g)=(4^{x^{2}-2x+7})^{ \prime }=4^{x^{2}-2x+7} \cdot In \; 4 $ Обратите внимание, что внутренняя функция $ g=x^{2} $ не изменилась, её мы не трогаем. Отдельно находим от неё производную. $ g^{ \prime }(x)=(x^{2}-2x+7)^{ \prime }=2x-2 $ Теперь перемножим функции по формуле: $ (4^{x^{2}-2x+7})^{ \prime }=4^{x^{2}-2x+7} \cdot In \; 4 \cdot (2x-2) $ |
АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ
Геометрический смысл производной: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициент k в уравнении) касательной, проведенной в данной точке.
$ f^{\prime}(x_{0})=tg \; \alpha = k $
Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как можно анализировать функцию с помощью производной:
|
1. Функция возрастает. Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный $ k > 0 $. Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна. Функция возрастает $ \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) > 0 $ |
|
2. Функция убывает. Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна. Функция убывает $ \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) < 0 $ |
|
3. Экстремум. Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция находится в пиковом значении, она и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше). Точка экстремума $ \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) = 0 $ Максимум. До него функция возрастает, после него убывает. В максимуме производная сменяет свой знак с плюса на минус. Максимум: $ f^{\prime}(x_{0}) + \Rightarrow - $ Минимум. До него функция убывает, после него возрастает. В минимуме производная сменяет свой знак с минуса на плюс. Максисмум: $ f^{\prime}(x_{0}) - \Rightarrow + $ |
Отсюда можно вывести общий порядок действий при анализе функций:
1. Находим производную от функции.
2. Находим точки экстремума: приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.
3. Определяем знаки производной между точками экстремума.
- Если в точке знак производной меняется с плюса на минус – это максимум.
- Если в точке знак производной меняется с минуса на плюс – это минимум.
