Оглавление

4. Планиметрия Читать 0 мин.

4.9. Отношения

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: AO : AM = 2 : 1.

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: $MN = \frac{1}{2}BC$

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине $CM = \frac{1}{2}AB$

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Произвольный параллелограмм или ромб:

АО = ОС, BO = OD

Прямоугольник или квадрат:

АО = ОС = BO = OD

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника: $S_{ACM} = S_{AMB} = S$

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

$S_{AKO} = S_{ALO} = S_{CKO} = S_{CMO} = S_{BMO} = S_{BLO} = S$

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна $\frac{3}{4}S$

$S_{AKC(LMB)} = \frac{3}{4}S_{ABC}$

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

Лемма 1

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

$S_{ABC} \sim S_{EKF} \\ \displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{EKF}} = (\frac{AC}{EF})^2 = k^2$

Лемма 2

Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

$\displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{ABE}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot AC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{AC}{AE} \\ \\ \displaystyle\frac{S_{EBC}}{S_{ABE}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot EC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{EC}{AE}$

Лемма 3

Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.

$\displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}} = \frac{BE}{OE}$

Лемма 4

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.

$\displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{EBF}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC\cdot\sin\angle{B}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF\cdot\sin\angle{B}} = \frac{AB\cdot BC}{EB\cdot BF}$

Продолжение леммы 4:

Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.

$\sin\angle{FBE} = \sin(180^{\circ} - \angle{ABC}) = \sin\angle{ABC} \\ \\ \displaystyle\frac{S_{ABC}}{S_{EBF}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC\cdot\sin\angle{ABC}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF\cdot\sin\angle{FBE}} = \frac{AB\cdot BC}{EB\cdot BF} $

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно