Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.17. Уравнения с модулем

Определение

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна −а, если а меньше нуля:

$|a|=\left\{\begin{aligned}&a,&\hskip-10pt если\ a\ge0; \\ &-a,&\hskip-10pt если\ a<0. \end{aligned}\right.$

Из определения следует, что для любого действительного числа а, │а│ ≥ 0.

Геометрически │а│ означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.

Если а ≠ 0, то на координатной прямой существует две точки а и −а, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если а = 0, то на координатной прямой │а│изображается точкой 0.

Графиком функции y = │x│ является «уголок».

I) Уравнения вида │f (x) │ = A, A ϵ R решаются следующим образом:

Если A < 0, то корней нет.

Если A = 0, то уравнению │f (x) │ = A соответствует уравнение f (x) = 0.

Если A > 0, то уравнению │f (x) │ = A соответствует равносильная совокупность:

$\left[\begin{aligned}&f(x)=A\\&f(x)=-A\end{aligned}\right.$

II) Уравнения вида │f (x)│ = g (x) решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению │f (x)│ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

$\left[\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &g(x)\ge0\\ &f(x)=g(x) \end{aligned}\right.\\ &\left\{\begin{aligned} g(x)&\ge0\\ -f(x)&=g(x)\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned} \right.$

Способ №2

Уравнению │f (x) │ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

$\left[\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &f(x)\ge0\\ &f(x)=g(x) \end{aligned}\right.\\ &\left\{\begin{aligned} f(x)&\ge0\\ -f(x)&=g(x)\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned} \right.$

III) Уравнения вида │f (x) │ = │g (x) │ решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению │f (x) │ = │g (x) │ соответствует равносильное уравнение f2 (x) = g2 (x).

Способ №2

Уравнению │f (x)│ = │g (x) │ соответствует равносильная совокупность:

$\left[\begin{aligned}&f(x)=g(x)\\&f(x)=-g(x)\end{aligned}\right.$

IV) Уравнения вида │f (x) │ = f (x) и │f (x) │ = f (x) решаются следующим образом:

Уравнению │f (x) │ = f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≤ 0.

Уравнению │f (x) │ = f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≥ 0.

V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.

Например:

x2 − 1│ + │x2 − 4│ = 3.

Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.

x = ±1, x = ±2.

И раскроем модуль на каждом из 5 промежутков, на которые оказалась разделена числовая ось числами x = ±1, x = ±2.

I) $\left\{\begin{aligned}&x\le-2\\&x^2-1+x^2-4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x\le-2\\&x=\pm2\end{aligned}\right.$

(−∞; −2] — промежуток, значит в ответ попадает только решение x = −2.

II) $\left\{\begin{aligned}&-2< x<-1\\&x^2-1-x^2+4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&-2< x<-1\\&3=3,\ верно\end{aligned}\right.$

В ответ будет входить весь промежуток.

III) $\left\{\begin{aligned}&-1\le x\le1\\&-x^2+1-x^2+4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&-1\le x\le1\\&x=\pm1\end{aligned}\right.$

Оба решения попадают в рассматриваемый промежуток.

IV) $\left\{\begin{aligned}&1< x<2\\&x^2-1-x^2+4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&1< x<2\\&3=3,\ верно\end{aligned}\right.$

В ответ будет входить весь промежуток.

V) $\left\{\begin{aligned}&x\ge2\\&x^2-1+x^2-4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x\ge2\\&x=\pm2\end{aligned}\right.$

[2; +∞) — промежуток, т. е. подходит решение x = 2.

Ответ: $[-2;-1]\cup[1;2]$.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно