Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.9. Логарифмические уравнения

Логарифмом числа $ b $ по основанию $ a(c=log_{a}b) $ называется такой показатель степени $ c $, в которую нужно возвести $ a $, чтобы получить $ b $ (то есть $ a^{c}=b $). При этом задаются ограничения: $ a>0, \; a \neq 1, \; b>0$. Значение $ c $ логарифма может быть любым.

Вычислите:

$ log_{3}27, \; log_{\frac {1}{3}}27 $

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

$ 3=log_{3}27 $

2. При возведении $ \big(\frac{1}{3} \big)^{-3}=27 $ значит, $ -3=log_{\frac{1}{3}}27 $

Ответ: 3; -3.

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть $ y=log_{2}x $. Подставим вместо $ x $ разные числа и определим соответствующие значения переменной $ y $.

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Легко заметить, что функция все время возрастает. Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь $ y=log_{\frac{1}{2}}x $. Составим таблицу значений для этого случая.

Тогда график функции будет выглядеть следующим образом.

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять $ log_{10}a=lga $ и логарифмы с натуральным основанием $ e \approx 2.72 \; log_{e} \; a=In \; a $.

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Правило Формула 
Логарифм 1 по любому основанию равен 0.  $log_{a}1=0$
Логарифм числа по равному ему основанию равен 1. $log_{a}a=1$
Основное логарифмическое тождество. При разведении основание в степень логарифма получается подлогарифмическое выражение. $a^{log_{a}b}=b$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов.  $log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c$
Логарифм частного равен разности логарифмов. $log_{a} \frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c$
Показатель степени можно выносить из подлогарифмического выражения за знак логарифма. $log_{a}b^{p}=plog_{a}b$
Показатель степени можно выносить из основания логарифма, возводя его в -1 степень. $log_{a^{a}}b=\frac{1}{q}log_{a}b$
Можно представить логарифмов в виде частного логарифмов с новым основанием.

$log_{a}b=\frac {log_{c}b}{log_{c}a}$

Если поменять местами подлогарифмическое выражение и основание логарифма, получится логарифм, обратный исходному. $log_{a}b=\frac {1}{log_{b}a}$

Используем рассмотренные свойства для решения некоторых задач.

Пример 2

Вычислите $ log_{5}3125 $

1. Представим $ 3125=5^{5} $.

2. Вынесем степень из—под знака логарифма:

$ log_{5}3125=log_{5}5^{5}=5log_{5}5 $

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1:

$ 5log_{5}5=5 $

Ответ: 5.

Пример 3

Вычислите $ 5^{2+log_{5}3} $

1. Воспользуемся свойством степеней:

$ 5^{2+log_{5}3}=5^{2} \cdot 5^{log_{5}3} $

2. Используем основное логарифмическое тождество:

$ 5^{2} \cdot 5^{log_{5}3}=25 \cdot 3=75 $

Ответ: 75.

Пример 4

Вычислите $ lg125+lg8 $

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

$ lg125+lg8=lg1000 $

2. Представим 1000 = 103 и вынесем 3 за знак логарифма:

$ lg1000=lg10^{3}=3lg10 $

3. Воспользуемся тем, что $ lg10=1 $.

Ответ: 3.

Пример 5

Вычислить $ log_{36}84-log_{36}14 $.

1. Воспользуемся формулой для частного логарифмов:

$ log_{36}84-log_{36}14=log_{36}6 $

2. Преобразуем основание логарифма 36 = 62 и вынесем, «перевернув», вынесем показатель:

$ log_{36}6=log_{6^{2}}6= \frac {1}{2}log_{6}6 $

3. Воспользуемся тем, что $ log_{6}6=1 $

Ответ: 0,5.

Пример 6

Вычислите $ \frac {lg8+lg18}{2lg2+lg3} $.

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов:

$ \frac {lg8+lg18}{2lg2+lg3}=\frac {lg144}{2lg2+lg3} $

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма:

$ 2lg2=lg2^{2}=lg4 $

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя:

$ \frac {lg144}{lg4+lg3}=\frac {lg144}{lg12} $

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12:

$ \frac {lg144}{lg12}=log_{12}144 $

5. Представим 144 = 122, вынесем степень за знак логарифма и воспользуемся соотношением $ log_{12}12=1 $

$ log_{12}144=log_{12}12^{2}=2log_{12}12=2 $

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами, на экзамене могут встретиться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример 7

Вычислите $ log_{125}\frac {a^{2} \cdot a}{a^{3}} $

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

$ \frac {a^{2} \cdot a}{a^{3}}=a^{2+1-3}=a^{0}=1 $

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0:

$ log_{125}1=0 $

Ответ: 0.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно