Логарифмом числа $ b $ по основанию $ a(c=log_{a}b) $ называется такой показатель степени $ c $, в которую нужно возвести $ a $, чтобы получить $ b $ (то есть $ a^{c}=b $). При этом задаются ограничения: $ a>0, \; a \neq 1, \; b>0$. Значение $ c $ логарифма может быть любым.

Вычислите:

$ log_{3}27, \; log_{\frac {1}{3}}27 $

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

$ 3=log_{3}27 $

2. При возведении $ \big(\frac{1}{3} \big)^{-3}=27 $ значит, $ -3=log_{\frac{1}{3}}27 $

Ответ: 3; -3.

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть $ y=log_{2}x $. Подставим вместо $ x $ разные числа и определим соответствующие значения переменной $ y $.

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Легко заметить, что функция все время возрастает. Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь $ y=log_{\frac{1}{2}}x $. Составим таблицу значений для этого случая.

Тогда график функции будет выглядеть следующим образом.

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять $ log_{10}a=lga $ и логарифмы с натуральным основанием $ e \approx 2.72 \; log_{e} \; a=In \; a $.

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Используем рассмотренные свойства для решения некоторых задач.

Пример 2

Вычислите $ log_{5}3125 $

1. Представим $ 3125=5^{5} $.

2. Вынесем степень из—под знака логарифма:

$ log_{5}3125=log_{5}5^{5}=5log_{5}5 $

3. Логарифм числа по равному ему основанию равен 1:

$ 5log_{5}5=5 $

Ответ: 5.

Пример 3

Вычислите $ 5^{2+log_{5}3} $

1. Воспользуемся свойством степеней:

$ 5^{2+log_{5}3}=5^{2} \cdot 5^{log_{5}3} $

2. Используем основное логарифмическое тождество:

$ 5^{2} \cdot 5^{log_{5}3}=25 \cdot 3=75 $

Ответ: 75.

Пример 4

Вычислите $ lg125+lg8 $

1. Воспользуемся формулой для суммы логарифмов:

$ lg125+lg8=lg1000 $

2. Представим 1000 = 10³ и вынесем 3 за знак логарифма:

$ lg1000=lg10^{3}=3lg10 $

3. Воспользуемся тем, что $ lg10=1 $.

Ответ: 3.

Пример 5

Вычислить $ log_{36}84-log_{36}14 $.

1. Воспользуемся формулой для частного логарифмов:

$ log_{36}84-log_{36}14=log_{36}6 $

2. Преобразуем основание логарифма 36 = 6² и вынесем, «перевернув», вынесем показатель:

$ log_{36}6=log_{6^{2}}6= \frac {1}{2}log_{6}6 $

3. Воспользуемся тем, что $ log_{6}6=1 $

Ответ: 0,5.

Пример 6

Вычислите $ \frac {lg8+lg18}{2lg2+lg3} $.

1. Применим в числителе формулу для сумы логарифмов:

$ \frac {lg8+lg18}{2lg2+lg3}=\frac {lg144}{2lg2+lg3} $

2. В знаменателе внесем 2 под знак логарифма:

$ 2lg2=lg2^{2}=lg4 $

3. Воспользуемся формулой суммы логарифмов для знаменателя:

$ \frac {lg144}{lg4+lg3}=\frac {lg144}{lg12} $

4. Перейдем от частного к логарифму с основанием 12:

$ \frac {lg144}{lg12}=log_{12}144 $

5. Представим 144 = 12², вынесем степень за знак логарифма и воспользуемся соотношением $ log_{12}12=1 $

$ log_{12}144=log_{12}12^{2}=2log_{12}12=2 $

Ответ: 2.

Кроме выражений с числами, на экзамене могут встретиться выражения, содержащие переменные. В этом случае можно использовать те же формулы и правила.

Пример 7

Вычислите $ log_{125}\frac {a^{2} \cdot a}{a^{3}} $

1. Преобразуем отдельно подлогарифмическое выражение:

$ \frac {a^{2} \cdot a}{a^{3}}=a^{2+1-3}=a^{0}=1 $

2. Логарифм 1 по любому основанию равен 0:

$ log_{125}1=0 $

Ответ: 0.