Введение в стереометрию

Стереометрией называют раздел геометрии, в котором изучают свойства пространственных фигур. Простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

1. Свойства прямых и плоскостей

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует такой плоскости, в которой они обе лежат.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой и носкости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Плоскость и прямая, не принадлежащая плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и плоскости.

Свойства плоскости и прямой, параллельной плоскости:

1) если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой;

2) если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым.

Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Свойства прямой, перпендикулярной плоскости.

1) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости;

2) прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

На рисунке 1 прямая b − наклонная к плоскости, прямая c — проекция этой наклонной на плоскость и поскольку а ┴ с, то a ┴ b

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. На рисунке 2 прямая b — наклонная к плоскости, прямая a — проекция этой наклонной на плоскость, α — угол между этой наклонной и плоскостью.

Двугранный угол образуется в результате пересечения двух плоскостей. Прямая, полученная в результате пересечения двух плоскостей, называется ребром двугранного угла. Две полуплоскости с общим ребром называются гранями двугранного угла.

Полуплоскость, граница которой совпадает с ребром двугранного угла и которая делит двугранный угол на два равных угла, называется биссекторной плоскостью.

Двугранный угол измеряется соответствующим линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол между перпендикулярами, проведенными в каждой грани к ребру.

2. Призма

Многогранник, две грани которого равные n — угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы, называется n-угольной призмой.

Два n — угольника являются основаниями призмы, параллелограммы — боковыми гранями. Стороны граней называются ребрами призмы, а концы ребер — вершинами призмы.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани.

Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 3).

Наклонной призмой называется призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований (рис. 4).

Объем и площадь поверхности призмывысоты h находят по формулам:

$V = S_{\text{осн.}} \cdot h, \quad S_{\text{пов.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы можно вычислить по формуле $S_{\text{бок.}} = P_{\text{осн.}}\cdot h$

Объем и площадь поверхностинаклонной призмы (рис. 4) можно вычислить также иначе: где Δ PNK — сечение, перпендикулярное ребру l.

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Параллелепипедом называется призма, все грани которой — параллелограммы.

Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d ² = a ² + b ² + c ², где a, b, c— длины ребер, выходящих из одной вершины, d — диагональ параллелепипеда (рис. 3).

Объем прямоугольного параллелепипеданаходят по формуле V = abc.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба — квадраты.

Объем, площадь поверхности и диагональ кубас ребромa находят по формулам:

$V = a^3, \quad S_{\text{пов.}} = 6a^2d^2 = 3a^2 $

3. Пирамида

Многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания.

Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.

Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.

Например, на рисунке 5 изображена правильная треугольная пирамида SABC (тетраэдр): AB = BC = AC = a, OD = r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, OA = R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC, SO =h — высота

пирамиды, SD = l— апофема, $\angle{SAO} = \alpha$ — уголнаклона бокового

ребра SA к плоскости основания, $\angle{SDO} = \varphi$— уголнаклонабоковой грани SBC к плоскости основания пирамиды.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

Объем пирамиды и площадь ее поверхностинаходят по формулам:

$V = \displaystyle\frac{1}{3}S_{\text{осн.}} \cdot h, \quad S_{\text{пов.}} = S_{\text{осн.}}+ S_{\text{бок.}}$, где h — высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамидынаходят по формуле $S_{\text{бок.}} = \displaystyle\frac{1}{2}P_{\text{осн.}}\cdot h_{\text{бок.}}$ , где $h_{\text{бок.}}$ — апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называется многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.

Объем усеченной пирамидынаходят поформуле $V = \frac{1}{3}h (S_1 + S_2 +\sqrt{S_1S_2})$,где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований, h — высота усеченной пирамиды.

4. Правильные многогранники

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани − правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Грани правильного многогранника могут быть или равносторонними треугольниками, или квадратами, или правильными пятиугольниками.

Если у правильного многогранника грани — правильные треугольники, то соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр (он имеет 4 грани), правильный октаэдр (он имеет 8 граней), правильный икосаэдр (он имеет 20 граней).

Если у правильного многогранника грани — квадраты, то многогранник называется кубом или гексаэдром (он имеет 6 граней).

Если у правильного многогранника грани — правильные пятиугольники, то многогранник называется додекаэдром (он имеет 12 граней).

5.Цилиндр

Цилиндром называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке 6 прямая $OO_1$ — ось вращения; $OO_1 = h$ — высота, l — образующая; ABCD— осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольник а $OO_1CD$ вокруг стороны $OO_1$. Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам: $V = S_{\text{осн.}}\cdot h, \quad S_{\text{осн.}} = \pi R^2, \quad S_{\text{пов.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}, \quad S_{\text{бок.}} = 2\pi Rl$ где R—радиус основания, h — высота, l — образующая цилиндра.

6.Конус

Конусом называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. На рисунке 7 прямая OB — ось вращения; OB = h — высота, l — образующая; ΔABC — осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника OBC вокруг катета OB.

Объем и площадь поверхности конусанаходят по формулам:

$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн.}}\cdot h, \quad S_{\text{осн.}} = \pi R^2, \quad S_{\text{пов.}} = S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}$

$S_{\text{бок.}} = \pi Rl$, где R — радиус основания, h — высота, l — образующая конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.

Площадь поверхности и объем усеченного конусанаходят по формулам:

$S_{\text{бок.}} = \pi(R_1 + R_2)l, \quad V = \frac{1}{3}\pi h (R_1^2 + R_2^2 + R_1R_2)$, где $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований, h — высота усеченного конуса.

7.Сфера и шар

Сферой называется фигура, полученная в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра.

Площадь сферы радиуса R находят по формуле $S_{\text{сф.}} = 4\pi R^2$.

Шаром называется фигура, полученная вращением полукруга вокруг его диаметра.

Объем шара радиуса R находят по формуле $V_{\text{шара.}} = \displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3$.

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом.

Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания.

Сферическим (шаровым) сегментом называется часть сферы (шара), отсекаемая плоскостью. Высотой h шарового сегмента называется длина отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (на рис. 8 AB = h).

Площадь сферической поверхности и объем шарового сегментанаходят по формулам:

$S_{\text{пов.}} = 2\pi Rh, \quad V_{\text{сегм.}} = \pi h^2 (R - \frac{1}{3}h)$ где R — радиус шара; h — высота сегмента.

Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов. Высотой шарового сектора называется высота части его сферической поверхности.

Объем шарового сектора находят по формуле:

$V_{\text{сект.}} = \displaystyle\frac{2}{3}\pi R^2 h$ где R — радиус шара; h — высота сегмента.

8.Комбинации многогранников и тел вращения

Многогранник и шар

Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.

Шар описан около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.

Решение задач, как правило, необходимо начинать с определения расположения центра шара и радиуса шара.

В прямоугольном параллелепипеде с высотой h и диагональю d центром вписанного и описанного шара является точка пересечения диагоналей параллелепипеда; радиус вписанного шара находят по формуле $R_{\text{вп.}} = \displaystyle\frac{h}{2}$, а радиусописанного шара — по формуле $R_{\text{оп.}} = \displaystyle\frac{d}{2}$

В произвольном многограннике центром шара, вписанного в многогранник, является точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника, а центром шара, описанного около многогранника, является точка пересечения всех плоскостей, проходящих через середины ребер многогранника и перпендикулярных им.

Комбинация тел вращения

Шар вписан в конус, если он касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центра основания и образующей конуса.

Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.

Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра по большой окружности шара, параллельной основаниям. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара находят по формуле $R_{\text{вп.}} = \displaystyle\frac{h}{2}$, где h — высота цилиндра Шар описан около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара находят по формуле $R_{\text{оп.}} = \displaystyle\frac{d}{2}$, где d — диагональ осевого сечения цилиндра.

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром другого основания цилиндра.

При решении задач целесообразно строить вспомогательное сечение, проходящее через ось цилиндра или конуса и центр шара. При этом в сечении цилиндра будет получаться прямоугольник, в сечении конуса — равнобедренный треугольник, в сечении шара — круг с радиусом, равным радиусу шара.