Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.14. Иррациональные уравнения

Арифметический корень

Пусть n натуральное число, отличное от единицы, а неотрицательное число.

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Для арифметического корня n−й степени из неотрицательного числа а, используется обозначение $\displaystyle\sqrt[n]{a}$. Если n = 2, пишут $\displaystyle\sqrt{a}$.

По определению $(\displaystyle\sqrt[n]{a})^n=a$.

Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, в частности, $\displaystyle\sqrt{a}=|a|$ и $\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$.

Свойства арифметического корня

Если a и b неотрицательные числа, n и k натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:

$\sqrt[n]{a^m}=(\displaystyle\sqrt[n]{a})^m$;

$\displaystyle\sqrt[n]{ab}=\displaystyle\sqrt[n]{a\vphantom{b}}\cdot\sqrt[n]{b}$ ;

$\displaystyle\sqrt[n\,]{\frac{a}{b}}=\frac{\displaystyle\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},~b\ne0$;

$\displaystyle\sqrt[k\,]{\!\displaystyle\sqrt[n]{a}}=\sqrt[kn]{a}$;

$\displaystyle\sqrt[n]{a}\cdot\displaystyle\sqrt[k]{a}=\displaystyle\sqrt[nk]{a^{k+n}}$;

$\displaystyle\sqrt[n]{a}:\displaystyle\sqrt[k]{a}=\displaystyle\sqrt[nk]{a^{k-n}}$.

Степень с дробным показателем

Если a положительное число, m целое число, n натуральное число и n ≥ 2, то

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\displaystyle\sqrt[n]{a})^m$.

Формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Кубсуммы:

Кубразности:

Разность квадратов:

Суммакубов:

Разность кубов:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(ab)² = a² − 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

(a + b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³;

a² − b² = (ab)(a + b);

a³ + b³= (a + b)(a² − ab + b²);

a³ − b³ = (а – b)(a² + ab + b²).

Дробно−рациональные уравнения

Свойства рациональных дробей:

$\fbox{$\displaystyle\frac{a}{b}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b\ne0\end{aligned}\right.;\\ \displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{c}{b}=\displaystyle\frac{a+c}{b}\quad(b\ne0);\\ \displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\quad(b\ne0,c\ne0);\\ \displaystyle\frac{a}{b}\cdot\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\quad(b\ne0,d\ne0);\\ \displaystyle\frac{a}{b}:\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\quad(b\ne0,d\ne0,c\ne0)$}$

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно