40. Алгебра
Читать 0 мин.
40.626. Иррациональные уравнения
Арифметический корень
Пусть n — натуральное число, отличное от единицы, а — неотрицательное число.
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.
Для арифметического корня n−й степени из неотрицательного числа а, используется обозначение $\displaystyle\sqrt[n]{a}$. Если n = 2, пишут $\displaystyle\sqrt{a}$.
По определению $(\displaystyle\sqrt[n]{a})^n=a$.
Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, в частности, $\displaystyle\sqrt{a}=|a|$ и $\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$.
Свойства арифметического корня
Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:
$\sqrt[n]{a^m}=(\displaystyle\sqrt[n]{a})^m$;
$\displaystyle\sqrt[n]{ab}=\displaystyle\sqrt[n]{a\vphantom{b}}\cdot\sqrt[n]{b}$ ;
$\displaystyle\sqrt[n\,]{\frac{a}{b}}=\frac{\displaystyle\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},~b\ne0$;
$\displaystyle\sqrt[k\,]{\!\displaystyle\sqrt[n]{a}}=\sqrt[kn]{a}$;
$\displaystyle\sqrt[n]{a}\cdot\displaystyle\sqrt[k]{a}=\displaystyle\sqrt[nk]{a^{k+n}}$;
$\displaystyle\sqrt[n]{a}:\displaystyle\sqrt[k]{a}=\displaystyle\sqrt[nk]{a^{k-n}}$.
Степень с дробным показателем
Если a — положительное число, m — целое число, n — натуральное число и n ≥ 2, то
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\displaystyle\sqrt[n]{a})^m$.
Формулы сокращенного умножения
|
Квадрат суммы: Квадрат разности: Кубсуммы: Кубразности: Разность квадратов: Суммакубов: Разность кубов: |
(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a – b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a + b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³; a² − b² = (a – b)(a + b); a³ + b³= (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (а – b)(a² + ab + b²). |
Дробно−рациональные уравнения
Свойства рациональных дробей:
$\fbox{$\displaystyle\frac{a}{b}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b\ne0\end{aligned}\right.;\\ \displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{c}{b}=\displaystyle\frac{a+c}{b}\quad(b\ne0);\\ \displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\quad(b\ne0,c\ne0);\\ \displaystyle\frac{a}{b}\cdot\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\quad(b\ne0,d\ne0);\\ \displaystyle\frac{a}{b}:\displaystyle\frac{c}{d}=\displaystyle\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\quad(b\ne0,d\ne0,c\ne0)$}$
