Оглавление

4. Планиметрия Читать 0 мин.

4.4. Параллелограммы

Среди произвольных четырехугольников можно выделить два особенных: параллелограмм и трапеция. Параллелограммы можно разделить на:

  • произвольный параллелограмм,
  • прямоугольник;
  • ромб;
  • квадрат.

Часто для решения задания достаточно знать определение фигуры и уметь им пользоваться.

Параллелограмм.

Параллелограмм ― это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны (АВ || CD, AC || BD).

То есть, если у четырехугольника есть хотя бы одна пара равных и параллельных противоположных сторон, то этот четырехугольник – параллелограмм, а значит, все его противоположные стороны равны и параллельны.

Свойства параллелограмма

Из определения параллелограмма вытекает ряд его свойств. Для любого параллелограмма (то есть произвольного и особенного, вроде ромба или прямоугольника) выполняются условия:

1. Противоположные стороны равны (АВ = СD, AC = BD).

2. Противоположные углы равны (∠А = ∠D, ∠B = ∠C).

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠BAC + ∠ACD = 180°, ∠ABD + ∠BCD = 180° (это вытекает из параллельности противоположных сторон, так как указанные углы являются односторонними).

4. Из параллельности сторон вытекает равенство частей углов (например, ∠DAB = ∠ADC; ∠BCD = ∠ABC как накрестлежащие).

5. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников ∆ABC = ∆BCD, ∆ABD = ∆ACD (по стороне и двум углам).

6. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (АО = OD, CO = OB).

Интересные, но редко применимые свойства параллелограмма:

7. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны.

8. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом.

Признаки параллелограмма

Для того, чтобы в задании с развернутым ответом доказать, что фигура действительно является параллелограммом, нужно знать, какими свойствами мы можем пользоваться. Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон: AB||CD и BC||AD.

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон: AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD).

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны: AB = CD, BC = AD.

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны: ∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA.

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD.

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°: ∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°.

Формулы площади параллелограмма

Существую три формулы площади параллелограмма, которые применимы как для произвольного параллелограмма, так и для ромба, прямоугольника, квадрата.

1

2

3

$S = bh_1 = ah_2$

$S = ab\;\sin \alpha$

$S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin \gamma$

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Прямоугольник

Прямоугольник ― это параллелограмм, у которого все углы прямые. Для того, чтобы параллелограмм был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы один его угол был равен 90°, тогда и все остальные будут равны 90°.

Кроме свойств параллелограмма, у прямоугольника есть и несколько своих:

1. Диагонали прямоугольника равны (AD = BC).

Стороны прямоугольника являются его высотами.

В связи с этими свойствами, формулы площади параллелограмма для прямоугольника можно немного изменить. 1 и 2 формула обращаются в одну, во второй формуле произведение диагоналей можно заменить на квадрат одной диагонали.

1

2

$S = ab$

$S = \frac{1}{2}d^2\sin\gamma$

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата его диагонали на синус угла между диагоналями.

Ромб

Ромб ― это параллелограмм, у которого все стороны равны. На самом деле, достаточно, чтобы были равны хотя бы две его соседние стороны, тогда все стороны будут равны.

Кроме свойств параллелограмма, у ромба есть несколько своих:

1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AD ⊥ BC).

То есть, параллелограмм является ромбом, если выполняется хотя бы одно из условий:

  • Две его смежные стороны равны;
  • Его диагонали пересекаются под прямым углом;
  • Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам;
  • Все высоты равны.

На основании свойств можно немного изменить формулы площади параллелограмма для ромба:

1

2

3

$S = ab$

$S = a^2 \sin \alpha$

$S = \frac{1}{2}d_1d_2$

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту (при чем для любой стороны это выражение будет одинаковым, так как стороны равны).

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Квадрат

Квадрат ― это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны (AB = BC = CD = DA и ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°). То есть квадрат сочетает в себе свойства и ромба, и прямоугольника, поэтому ему присущи не только свойства параллелограмма, но и ромба с прямоугольником. Надо запомнить, что любой квадрат является ромбом и прямоугольником, но не любой ромб или прямоугольник является квадратом.

Центры вписанной и описанной окружностей квадрата совпадают и одновременно являются точкой пересечения диагоналей (т. О).

Формулы площади квадрата:

1

2

$S = ab$

$S = \frac{1}{2}d^2\sin \gamma$

Площадь квадрата равна его стороне, возведенной в квадрат.

Площадь квадрата равна одной второй квадрата его диагонали.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно