40. Алгебра
Читать 0 мин.
40.529. Тригонометрический круг
Тригонометрия пришла людям на помощь, когда выяснилось, что для многих расчетов недостаточно тех углов, которые определялись обычной геометрией. И правда, в геометрии мы не встретим углы больше, чем 360⁰. Ненасытные ученые хотели больше. Поэтому, по сути, тригонометрия – это раздел математики, посвященный углам.
Нарисуем тригонометрический круг.
Алгоритм для создания тригонометрического круга:
- Рисуем системы координат;
- Изображаем круг. Центр совпадает с центром системы координат. Рекомендуется выбирать за длину радиуса 4, 6 или 8 клеточек в зависимости от того, какого размера вы хотите круг.
- Ставим точку отсчёта 0 для измерения углов.
- Затем изобразим угол: одну сторону зафиксируем на горизонтальной оси, а другая останется свободной и сможет крутиться, куда вздумает, как на шарнире.
- Теперь мысленно вращаем незакрепленную сторону. Пусть она вращается против часовой стрелки. Вот она совершила полный оборот и вернулась на свое место. Визуально угол остался прежним, но на самом деле к нему добавился полный оборот, то есть 360⁰.
- Учитывая полные обороты, каждый угол можно представить, как
$ a+360^{\circ} \cdot n $, где n – целое число
Договоримся, что вращение против часовой стрелки – это положительно направление, а по часовой – отрицательное.
Измерение углов
В математике углы измеряют не только в привычных нам градусах, но и в радианах. Соответствие между ними установить очень просто.
Некоторые углы очень легко определить:
$ \pi = 180^{\circ} $, тогда $ 90^{\circ}= \frac{\pi}{2}, \; 45^{\circ}=\frac {\pi}{4} $
Можно пользоваться формулой: $ \alpha = \frac {\phi\cdot\pi}{180} $
Также есть обратная формула: $ \phi = \frac {(\alpha \cdot 180)}{\pi} $
| Градусы | Радианы |
| $ 0^{\circ}$ | 0 |
| $ 30^{\circ}$ | $ \frac {\pi}{6}$ |
| $ 45^{\circ}$ | $\frac {\pi}{4}$ |
| $ 60^{\circ}$ | $\frac {\pi}{6}$ |
| $ 90^{\circ}$ | $\frac {\pi}{2}$ |
| $ 180^{\circ}$ | $ \pi $ |
| $ 360^{\circ}$ | $ 2\pi $ |
Изображение табличных значений на тригонометрическом круге.
Нарисуем тригонометрический круг.
Далее идём по кругу с шагом в 45, то есть, $ \frac {\pi}{4} $. Эти углы делят каждую четверть пополам.
Затем идём по кругу с шагом в 30, то есть, $ \frac {\pi}{4} $, Каждая четверть таким образом делится на 3 равные части.
Снизу заполним не большими углами, а отрицательными. То есть, зеркально отразим верхнюю часть круга вниз.
Теперь заполним новый круг, но уже углами от 0 до $ 2\pi $.
Определение значений тригонометрических функций
С греческого тригонометрия переводится как «измерение треугольника». Именно треугольник дает понимание о том, что же такое тригонометрические функции в окружности. Возьмем прямоугольный треугольник.
| $ sin \; \alpha = \frac {прот.катет}{гипотенуза} $ | $ cos \; \alpha = \frac {прил.катет}{гипотенуза} $ |
| $ tg \; \alpha = \frac {прот.катет}{прил.катет} $ | $ ctg \; \alpha = \frac {прил.катет}{прот.катет} $ |
Снова перейдем к окружности. Вставим в нее прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза совпала с радиусом, который мы будем принимать за 1.
Точка пересечения радиуса с окружностью, как и любая точка в плоскости, имеют свои координаты (x,y). Причем, для отмеченного нами угла противолежащий катет равен y, а прилежащий – x. А теперь немного магии. Заменим на x, y и 1 величины в определении тригонометрических функций.
| $ sin \; \alpha = \frac {y}{1}=y $ | $ cos \; \alpha = \frac {x}{1}=x $ |
| $ tg \; \alpha = \frac {y}{x}=\frac {sin \; \alpha}{cos \; \alpha} $ | $ ctg \; \alpha = \frac {x}{y}=\frac {cos \; \alpha}{sin \; \alpha} $ |
Получается, что косинус – это значения на оси абсцисс, а синус – значения на оси ординат.
Ось тангенсов параллельна оси синусов и проходит через точку с координатой x = 1, ось котангенсов параллельна оси косинусов и проходит через точку y = 1. Соответствующее значение на них получается продлением радиуса до пересечения с одной из осей.
