Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.10. Тригонометрический круг

Тригонометрия пришла людям на помощь, когда выяснилось, что для многих расчетов недостаточно тех углов, которые определялись обычной геометрией. И правда, в геометрии мы не встретим углы больше, чем 360⁰. Ненасытные ученые хотели больше. Поэтому, по сути, тригонометрия – это раздел математики, посвященный углам.

Нарисуем тригонометрический круг.

Алгоритм для создания тригонометрического круга:

  • Рисуем системы координат;
  • Изображаем круг. Центр совпадает с центром системы координат. Рекомендуется выбирать за длину радиуса 4, 6 или 8 клеточек в зависимости от того, какого размера вы хотите круг.
  • Ставим точку отсчёта 0 для измерения углов.
  • Затем изобразим угол: одну сторону зафиксируем на горизонтальной оси, а другая останется свободной и сможет крутиться, куда вздумает, как на шарнире.

  • Теперь мысленно вращаем незакрепленную сторону. Пусть она вращается против часовой стрелки. Вот она совершила полный оборот и вернулась на свое место. Визуально угол остался прежним, но на самом деле к нему добавился полный оборот, то есть 360⁰.
  • Учитывая полные обороты, каждый угол можно представить, как

$ a+360^{\circ} \cdot n $, где n – целое число

Договоримся, что вращение против часовой стрелки – это положительно направление, а по часовой – отрицательное.

Измерение углов

В математике углы измеряют не только в привычных нам градусах, но и в радианах. Соответствие между ними установить очень просто.

Некоторые углы очень легко определить:

$ \pi = 180^{\circ} $, тогда $ 90^{\circ}= \frac{\pi}{2}, \; 45^{\circ}=\frac {\pi}{4} $

Можно пользоваться формулой: $ \alpha = \frac {\phi\cdot\pi}{180} $

Также есть обратная формула: $ \phi = \frac {(\alpha \cdot 180)}{\pi} $

Градусы Радианы
$ 0^{\circ}$ 0
$ 30^{\circ}$ $ \frac {\pi}{6}$
$ 45^{\circ}$ $\frac {\pi}{4}$
$ 60^{\circ}$ $\frac {\pi}{6}$
$ 90^{\circ}$ $\frac {\pi}{2}$
$ 180^{\circ}$ $ \pi $
$ 360^{\circ}$ $ 2\pi $

Изображение табличных значений на тригонометрическом круге.

Нарисуем тригонометрический круг.

Далее идём по кругу с шагом в 45, то есть, $ \frac {\pi}{4} $. Эти углы делят каждую четверть пополам.

Затем идём по кругу с шагом в 30, то есть, $ \frac {\pi}{4} $, Каждая четверть таким образом делится на 3 равные части.

Снизу заполним не большими углами, а отрицательными. То есть, зеркально отразим верхнюю часть круга вниз.

Теперь заполним новый круг, но уже углами от 0 до $ 2\pi $.

Определение значений тригонометрических функций

С греческого тригонометрия переводится как «измерение треугольника». Именно треугольник дает понимание о том, что же такое тригонометрические функции в окружности. Возьмем прямоугольный треугольник.

$ sin \; \alpha = \frac {прот.катет}{гипотенуза} $ $ cos \; \alpha = \frac {прил.катет}{гипотенуза} $
$ tg \; \alpha = \frac {прот.катет}{прил.катет} $ $ ctg \; \alpha = \frac {прил.катет}{прот.катет} $

Снова перейдем к окружности. Вставим в нее прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза совпала с радиусом, который мы будем принимать за 1.

Точка пересечения радиуса с окружностью, как и любая точка в плоскости, имеют свои координаты (x,y). Причем, для отмеченного нами угла противолежащий катет равен y, а прилежащий – x. А теперь немного магии. Заменим на x, y и 1 величины в определении тригонометрических функций.

$ sin \; \alpha = \frac {y}{1}=y $ $ cos \; \alpha = \frac {x}{1}=x $
$ tg \; \alpha = \frac {y}{x}=\frac {sin \; \alpha}{cos \; \alpha} $ $ ctg \; \alpha = \frac {x}{y}=\frac {cos \; \alpha}{sin \; \alpha} $

Получается, что косинус – это значения на оси абсцисс, а синус – значения на оси ординат.

Ось тангенсов параллельна оси синусов и проходит через точку с координатой x = 1, ось котангенсов параллельна оси косинусов и проходит через точку y = 1. Соответствующее значение на них получается продлением радиуса до пересечения с одной из осей.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно