Самый наглядный способ представления информации – графический. Этот тезис применим и в математике. А при правильном подходе график может дать гораздо больше информации о поведении функции, чем просто положении точек на координатной плоскости.

Что может рассказать график $ y=f(x) $?

1. Область определения функции – значения аргумента $ x $, которые можно «подать на вход». Аргумент откладывается на горизонтальной оси.

2. Область значения функции – значения функции $ y $, получаемые «на выходе». Значения отмечаются на вертикальной оси.

3. Непрерывность функции. Для всех ли аргументов существуют значения?

4. Промежутки монотонности функции (возрастания или убывания).

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции то есть  $ x_{1} < x_{2}\Rightarrow y_{1} < y_{2} $.

Если же большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (то есть  $ x_{1} < x_{2}\Rightarrow y_{1} > y_{2} $), то функция называется убывающей.

Существуют функции, которые всегда возрастают (например,  $ y=x^{3} $) или всегда убывают (например,  $ y=-x $).

Но чаще функции имеют несколько промежутков возрастания и убывания. Например, функция  $ y=x^{2} $ убывает при  $ x \in (0; +\infty) $ и возрастает при  $ x \in (- \infty; 0) $.

А график функции косинус имеет множество таких промежутков, сменяющих друг друга.

5. Точки минимума и максимума.

Значения аргумента, в которых функция перестает возрастать и начинает убывать, называются точками максимума. Если же в них, наоборот, функция перестает убывать и начинает возрастать – точками минимума. На графике  $ y = sin(x) $ красным отмечены точки минимума, синим – максимума.

Всегда возрастающие и убывающие функции таких точек не имеют.

6. Ограниченность функции. Есть ли значения, за которые функция «не заходит»?

Функции могут быть неограниченными; ограниченными сверху, снизу, слева, справа, а также сразу с нескольких сторон.

Уже знакомая нам функция косинуса, например, ограничена и сверху, и снизу. Парабола  $ y=x^{2} $ ограничена снизу. А график функции  $ y=x^{3} $неограничен нигде.

7. Четность функции.

Функция называется четной, если выполняется равенство  $ f(-x)=f(x) $. Такой функцией является парабола  $ y=x^{2} $ так как верно, что  $ -x^{2} = x^{2} $. Наглядным признаком четности является симметрия графика относительно оси ОY.

Если выполняется равенство $ f(-x)=-f(x) $, то функция считается нечетной. Примером такого типа функций может служить кубическая парабола  $ y=x^{3} $ для которой  $ (-x)^{3} = -x^{3} $. График нечетной функции будет симметричен относительно начала координат.

Не всякую функцию можно отнести одной из этих групп. Если не выполняется ни одно из названных условий, говорят, что функция не обладает четностью.

Рассмотрим функцию $ y = (x+2)^{2} $ и исследуем ее $ на четность.

$ y(-x) = (-x+2)^{2} = (-1(x-2))^{2} = (-1)^{2} \cdot (x-2)^{2} = (x-2)^{2} $

Видно, что   $ (x-2)^{2} \neq (x+2)^{2} = y(x);$ и $ (x-2)^{2} \neq -(x+2)^{2} = -y(x) $

То есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

8. Периодичность функции.

Если с какого-то момента график функции начинает повторяться, то такая функция называется периодичной. Таким свойством обладают все тригонометрические функции.

Помимо вышеназванных свойств у функций и их графиков есть особенные признаки, которые позволяют быстро и схематично их изобразить. Рассмотрим самые часто встречающиеся в математике зависимости.

Линейная функция

Формула	$ y=kx+b, k \neq 0 $
График
Особые свойства	$ k=tga $ тангенс угла наклона, $ b $ точка пересечения с $ OY $
Область определения	$ R $
Область значения	$ R $
Непрерывность	да
Монотонность	$ k > 0 $ - возростает, $ k < 0 $ - убывает
Точки минимума и максимума	нет
Ограниченность	неограничено
Четность	нечетная
Периодичность	нет

Квадратичная функция (парабола)

Формула	$ y=ax^{2}+bx+c, a \neq 0 $
График
Особые свойства	$ a > 0 $ ветви направлены вверх, $ a < 0 $ $ b $ - точка пересечения с $ OY $ $ x_{вершины}=\frac{-b}{2a} $
Область определения	$ R $
Область значения	$ R $
Непрерывность	да
Монотонность	При $ a > 0 (-\infty;x_{вершины}) $ - убывает $ x_{вершины};+\infty $ - возростает. При $ a < 0 $ - наоборот.
Точки минимума и максимума	$ a > 0 x_{вершины} $ - точка минимума, при $ a < 0 $ - максимума
Ограниченность	При $ a > 0 $ ограничена снизу, при $ a < 0 $ - сверху
Четность	$ b=0 $ - четная, $ b \neq 0 $ - не обладает четностью
Периодичность	нет

Кубическая парабола

Формула	$ y=ax^{3}+b, a \neq 0 $
График
Особые свойства	$ b $ - точка пересечения с $ OY $
Область определения	$ R $
Область значения	$ R $
Непрерывность	да
Монотонность	При $ a > 0 $ - возростает, $ a < 0 $ - убывает.
Точки минимума и максимума	нет
Ограниченность	Неограничена
Четность	$ b=0 $ - нечетная, иначе - не обладает четностью
Периодичность	нет

Квадратный корень

Формула	$ y=a \sqrt {x}, a \neq 0 $
График
Особые свойства	График располагается справа от нуля
Область определения	$ x \geq 0 $
Область значения	$ a \geq 0 \Rightarrow y \geq 0 $ $ a \leq 0 \Rightarrow y \leq 0 $
Непрерывность	да
Монотонность	При $ a > 0 $ - возростает, $ a < 0 $ - убывает.
Точки минимума и максимума	$ a > 0 - x = 0 $ точка минимума, $ a < 0 - x = 0 $ точка максимума
Ограниченность	При $ a > 0 $ ограничена снизу и слева, при $ a < 0 $ - сверху и слева
Четность	Не обладает четностью
Периодичность	нет

Гипербола

Формула	$ y= \frac{k}{x}, k \neq 0 $
График
Особые свойства	График имеет 2 асимптоты (прямые, к которым бесконечно приближается, но никогда не пересекает) $ x=0, y=0 $
Область определения	$ x \neq 0 $
Область значения	$ y \neq 0 $
Непрерывность	Разрыв в точке $ x \neq 0 $
Монотонность	$ k > 0 $ убывает $ (-\infty ; 0) $, возрастает $ (0;+\infty) $ \\ $ k < 0 $ возрастает $ (-\infty ; 0) $, убывает $ (0;+\infty) $
Точки минимума и максимума	нет
Ограниченность	Неограничена
Четность	Нечетная
Периодичность	Нет

Окружность

Формула	$ (x-a)^{2} + (y-b)^{2}= R^{2} $
График
Особые свойства	Центр окружности в точке $ a, b $, радиус $ R $
Область определения	$ R $
Область значения	$ R $
Непрерывность	Да
Монотонность
Точки минимума и максимума	нет
Ограниченность	С 4 сторон
Четность	При $ a=b=0 $ - четная, иначе не обладает четностью
Периодичность	Нет

Показательная функция

Формула	$ y=a^{x}, a > 0, a \neq 1 $
График
Особые свойства	Все показательные функции проходят через точку (0,1)
Область определения	$ R $
Область значения	$ (0;+\infty) $
Непрерывность	Да
Монотонность	$ a > 1 $ - возрастает, $ 0 < a < 1 $ - убывает
Точки минимума и максимума	нет
Ограниченность	Ограничена с низу
Четность	Не обладает четностью
Периодичность	Нет

Логарифмическая функция

Формула	$ y=log_{a}x, a > 0, a \neq 1 $
График
Особые свойства	Все показательные функции проходят через точку (1,0)
Область определения	$ (0;+\infty) $
Область значения	$ R $
Непрерывность	Да
Монотонность	$ a > 1 $ - возрастает, $ 0 < a < 1 $ - убывает
Точки минимума и максимума	нет
Ограниченность	Нет
Четность	Нет
Периодичность	Нет

Синус

Формула	$ y=sin(x) $
График
Особые свойства
Область определения	$ R $
Область значения	[-1;1]
Непрерывность	Да
Монотонность	Да
Точки минимума и максимума	Точки минимума $ \frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z $, точки минимума $ -\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z $
Ограниченность	Сверху и снизу
Четность	Нечетная
Периодичность	Период $ 2\pi $

Косинус

Формула	$ y=cos(x) $
График
Особые свойства
Область определения	$ R $
Область значения	[-1;1]
Непрерывность	Да
Монотонность	Да
Точки минимума и максимума	Точки минимума $ 2\pi k, k\in Z $, точки минимума $ \pi+2\pi k, k\in Z $
Ограниченность	Сверху и снизу
Четность	Четная
Периодичность	Период $ 2\pi $

Тангенс

Формула	$ y=tgx $
График
Особые свойства	Имеет бесконечное число асимптот
Область определения	$ x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z $
Область значения	$ R $
Непрерывность	Разрыв в точках $ (-\frac{\pi}{2}+\pi k; \frac{\pi}{2}+\pi k), k \in Z $
Монотонность	Возрастает на каждом промежутке $ x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z $
Точки минимума и максимума	Нет
Ограниченность	Нет
Четность	Четная
Периодичность	Период $ \pi $

Котангенс

Формула	$ y=ctgx $
График
Особые свойства	Имеет бесконечное число асимптот
Область определения	$ x \neq \pi k, k\in Z $
Область значения	$ R $
Непрерывность	Разрыв в точках $ x = \pi k, k\in Z $
Монотонность	Убывает на каждом промежутке $ (\pi k, \pi + \pi k), k \in Z $
Точки минимума и максимума	Нет
Ограниченность	Нет
Четность	Нечетная
Периодичность	Период $ \pi $

Преобразование графиков функции

График любой зависимости можно построить по точкам. Но в некоторых случаях гораздо проще преобразовать график какой-либо известной функции с помощью сдвигов, отражений и растяжений.

1. Симметрия относительно оси  $ OX: f(x) \rightarrow - f(x) $

Все абсциссы остаются неизменными, а все ординаты меняют знак на противоположный.

2. Симметрия относительно оси  $ OY: f(x) \rightarrow f(-x) $

Все ординаты графика остаются неизменными, а абсциссы меняют знак на противоположный.

При таком преобразовании четной функции, график остается неизменным.

3. Сдвиг вдоль оси $ OX: f(x) \rightarrow f(x-a) $

Ординаты остаются неизменными, а абсциссам прибавляется  $ a $. Если  $ a > 0 $, то график сдвигается вправо, иначе – влево.

4. Сдвиг вдоль оси  $ OY: f(x) \rightarrow f(x)+b $

Абсциссы не меняются, а к ординатам прибавляется  $ : b $. При  $ b > 0 $ график сдвигается вверх, иначе – вниз.

Обратите внимание, что в пункте 3. перед $ a $ стоит знак «–», в то время как в 4. перед  $ b $ стоит «+». При этом знаки параметров  $ a,b $ могут быть любыми.

5. Сжатие и растяжение вдоль оси  $ OX: f(x) \rightarrow f(ax), a > 0 $

Ординаты остаются неизменными, а абсциссы делятся на $ a $. Точки пересечения графика функции с осью  $ OY $ остаются на месте.

6. Сжатие и растяжение вдоль оси  $ OY: f(x) \rightarrow kf(x), k > 0 $

Абсциссы остаются неизменными, а ординаты умножаются на $ k $. Точки пересечения графика функции с осью  $ OX $ остаются на месте.

7. Модуль функции: $ f(x) \rightarrow|\;f(x)\;| $

Точки с положительными ординатами остаются на месте, точки с отрицательными ординатами отбражаются симметрично относительно оси  $ OX $.

8. Модуль аргумента: $ f(x) \rightarrow f(|x|) $

Точки, соответствующие отрицательным абсциссами, стираются. Точки с положительными абсциссами остаются на месте, а так же отображаются симметрично относительно оси  $ OY $. Функция становится четной.

Приведенные выше преобразования можно комбинировать и выполнять друг за другом.

Пример 1.

Построите график функции $ y=-2(x-3)^{2}+4 $.

Данный график можно получить из $ y=x^{2} $ последовательными сжатием вдоль оси  $ OY $ в 2 раза, сдвигом вдоль оси  $ OX $ на 3 вправо, сдвигом вдоль оси  $ OY $ на 4 вверх и отражением относительно оси  $ OX $.