Правила преобразования уравнений

Первым этапом решения уравнения является приведение его к нужному виду с помощью разрешенных преобразований.

1. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это относится как к числам:

$ 2x+1=2 \\ 2x=2-1 \\ 2x=1 $

Так и к выражениям, содержащим переменные:

$ 1-x=0 \\ 1=x $

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же ненулевое число или выражение (при умножении на ноль уравнение теряет смысл; а делить на ноль нельзя). Умножение помогает избавиться от знаменателей:

$ \frac{x}{5}+2=\frac{2}{3} \big| \cdot 15 \\ 3x+30=10 $

А деление – уменьшить коэффициент в уравнении:

$ 2t+4=8|:2 \\ t+2=4 $

3. Можно раскрывать скобки и упрощать выражения в обеих частях:

$ 2(m+4)=(m+1)(m+2) \\ 2m+8=m^{2}+2m+m+2 \\ 2m+8=m^{2}+3m+2 $

Рациональные уравнения

Уравнение называется рациональным, если содержит переменную в целой степени, например, 1, 2, -5. Чаще всего встречаются следующие типы рациональных уравнений:

1. Линейные

2. Квадратные

3. Кубические

4. Уравнения высших степеней

5. Дробно-рациональные

Линейные уравнения

Линейным называется уравнение, содержащее переменную в первой степени. С помощью преобразований его можно привести к виду

$ ax=b, $ где $ a \neq 0, b $ ‒ некоторые числа.

Для решения достаточно поделить обе части равенства на $ a $:

$ x= \frac{b}{a} $

Рассмотрим пример:

$ 3(x-5)-5=-x $

1. Приведем выражение к виду $ ax=b $. Для этого раскроем скобки и соберем слагаемые, содержащие переменные, с одной стороны равенства, а не содержащие – с другой.

$ 3x-15-5=-x \rightarrow 3x-20=-x \rightarrow 3x-20+x=0 \rightarrow 4x-20=0 \rightarrow 4x=20 $

2. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

$ 4x=20 \rightarrow x=5 $

Ответ: 5

Уравнение будет линейным, даже если в нем присутствуют дроби. Главное, чтобы переменной не было в знаменателе. Рассмотрим еще один пример:

$ \frac {x}{3}-1= \frac{5}{2} $

1. Умножим обе части равенства на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, чтобы избавиться от дробей.

$ \frac {x}{3}-1= \frac{5}{2} \big| \cdot 6 \rightarrow 2x-6=15 $

2. Приведем выражение к виду $ ax=b $.

$ 2x=21 $

3. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

$ x=10,5 $

Ответ:10,5

Квадратные уравнения

Квадратным называется уравнение, содержащее переменную во второй степени. В общем виде оно выглядит следующим образом:

$ ax^{2} + bx+с=0, $ где $ a \neq 0, b, c $ – некоторые числа.

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта $ D=b^{2}-4ac $ по

$ \left [ \begin{array}{c}x_{1}=\frac {-b+\sqrt{D}}{2a} \\ x_{2}=\frac {-b-\sqrt{D}}{2a} \end{array} \right. $

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если же дискриминант меньше нуля, то корней нет.

Рассмотрим пример:

$ x^{2}=-x+6 $

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$ x^{2} + x-6=0 $

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

$ D=1^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-6)=25=5^{2} $

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

$ \left [ \begin{array}{c}x_{1}=\frac {-1+5}{2} \\ x_{2}=\frac {-1-5}{2} \end{array} \right. \\ \left [ \begin{array}{c}x_{1}= 2 \;\;\; \\ x_{2}= -3 \end{array} \right. $

Ответ: 2; -3

В некоторых случаях (например, $ a=1 $ ) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

$ \begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = \frac {c}{a} \\ x_{1} + x_{2} = - \frac {b}{a} \end{cases} $

Применим эту теорему для нахождения корней уравнения $ x^{2}-5x+6=0 $

1. Составим систему:

$ \begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 6 \\ x_{1} + x_{2} = 5 \end{cases} $

2. Подберем $ x_{1}, x_{2} $ так, чтобы оба равенства выполнялись. В данном случае подходят числа $ x_{1}=2,x_{2}=3 $ .

Ответ: 2; 3

Кубические уравнения

Общий вид уравнения третьей степени представлен ниже:

$ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 $, где $ a \neq 0, b, c, d $ - некоторые числа.

Целые корни такого уравнения (в случае, если коэффициенты тоже целые) находятся среди делителей свободного члена $ d $.

У уравнения $ x^{3} -3x^{2}-4x+12=0 $ свободный член $ d=12 $. Его делителями являются числа $ \pm 1, \pm2, \pm 3, \pm 4 $. Для того, чтобы определить, какие из этих чисел являются решениями, подставим их по очереди в исходное уравнение. Если при этом получится верное равенство, то поздравляю, вы нашли корень.

Проверим: $ x=1:-1-3+4+12=12 \neq 0 $. Не является корнем.

Проверим: $ x=2:8-12-8+12=0 $. Является корнем.

Возможна ситуация, когда ни один из делителей корнем не будет. В таком случае говорят, что исходное уравнение не имеет целых решений.

После того, как будет определено хотя бы одно решение, можно понизить степень уравнения, превратив его в квадратное. Для этого разделим столбиком исходное уравнение на выражение $ (x-a) $, где $ a $ – корень.

Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком.

1. Упрощаем выражение и переносим все слагаемые влево.

2. Записываем выражения как для деления в столбик:

$ x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} $

3. Определяем выражение, на которое нужно умножить старший коэффициент в делителе, чтобы получить старший коэффициент в делимом. В данном примере это $ x^{2}$.

$ \_x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad x^{2} $

4. Умножаем на это выражение делитель и вычитаем его из делимого. «Сносим» следующее слагаемое.

$ \_x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} \\ \underline{x^{3}-2x^{2}}\qquad\qquad\quad x^{2} \\ \qquad -x^{2}-4x $

5. Повторяем процедуру до тех пор, пока не получим разность, равную 0.

$ \_x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} \\ \underline{x^{3}-2x^{2}}\qquad\qquad\quad x^{2}-x-6 \\ \qquad \_-x^{2}-4x \\ \qquad\quad -x^{2}+2x \\ \qquad\qquad\qquad \_-6x+12 \\ \qquad\qquad\qquad\quad \underline{-6x+12} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad 0 $

6. -Проверяем ответ. Произведение частного и делителя должно совпасть с делимым.

$ (x-2)(x^{2}-x-6)=x^{3}-3x^{2}-4x+12 $

Корни квадратного уравнения $ x^{2}-x-6=0 $ можно определить с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$ \begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -6 \\ x_{1} + x_{2} = 1 \end{cases} \\ \begin{cases}x_{1} = 3 \\ x_{2} = 2 \end{cases}$

Значит, уравнение $ x^{3}-3x^{2}-4x+12=0 $ имеет три решения: $ x=-2, x=2, x=3 $.

Как действовать в частном случае, когда $ b=c=0 $, рассмотрим в следующем разделе.

Уравнения высших степеней

$ ax^{n}=b, a \neq 0 $

В таком уравнении переменная может содержаться в любой степени. Рассмотрим пример:

$ 6x^{3}+15=9 $

1. Соберем слагаемые, содержащие переменную с одной стороны, а не содержащие – с другой:

$ 6x^{3}=-15+9 \rightarrow 6x^{3}=-6 $

2. Упростим уравнение с помощью разрешенных преобразований:

$ 6x^{3}=-6 \rightarrow x^{3}=-1 $

3. Извлечем корень 3 степени из обеих частей равенства. Обратите внимание, что в данном случае не важно, какой знак имеет число, так как степень нечетная.

$ x=-1 $

Ответ: -1

Точно так же можно решить уравнение с любой, даже самой страшной, степенью.

$ 2x^{8}=512 $

4. Разделим обе части уравнения на 2. Чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы справа стояло неотрицательное число, так как степень переменной четная.

$ x^{8}=256 $

5. Извлечем корень 8 степени из обеих частей равенства. В силу четности степени, уравнение будет иметь два решения:

$ \left[ \begin{array}{c} x=2 \;\; \\ x=-2 \end{array} \right. $

Ответ: -2, 2

Дробно-рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратиться в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определим область допустимых значений:

$ \frac {1}{x-2} = \frac {2}{x+4} \\ \begin{cases}x-2 \neq 0\\x+4 \neq 0\end{cases} \\ \begin{cases}x \neq 2\\x \neq -4\end{cases} $

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и -4.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения рассмотрим на примере:

$ \frac {x-3}{x-5} + \frac {1}{x} = \frac {x+5}{x(x-5)} $

1. Определим область допустимых значений:

$ \begin{cases}x-5 \neq 0\\x \neq 0 \\ x(x-5) \neq 0\end{cases} \\ \begin{cases}x \neq 5\\ x \neq 0\end{cases}$

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

$ \frac {x-3}{x-5} + \frac {1}{x} = \frac {x+5}{x(x-5)} \big| \cdot x(x-5) $

$ \frac {(x-3)x(x-5)}{x-5} + \frac {x(x-5)}{x} = \frac {(x+5)x(x-5)}{x(x-5)} $

$ (x-3)x+x=x+5 $

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

$ x^{2}-3x+x-5=x+5 \rightarrow x^{2}-2x-5-x-5=0 \rightarrow x^{2}-3x-10=0 $

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае получилось квадратное уравнение, причем коэффициент при $ x^{2} $ равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

$ \begin{cases}x_{1} \cdot x_{2}=-10 \\ x_{1} + x_{2}=3 \end{cases} $

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: -2

При подстановке корней в уравнение должно получится верное равенство. Это свойство можно использовать для проверки полученных ответов.