Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.2. Рациональные уравнения

Правила преобразования уравнений

Первым этапом решения уравнения является приведение его к нужному виду с помощью разрешенных преобразований.

1. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это относится как к числам:

$ 2x+1=2 \\ 2x=2-1 \\ 2x=1 $

Так и к выражениям, содержащим переменные:

$ 1-x=0 \\ 1=x $

2. Можно умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же ненулевое число или выражение (при умножении на ноль уравнение теряет смысл; а делить на ноль нельзя). Умножение помогает избавиться от знаменателей:

$ \frac{x}{5}+2=\frac{2}{3} \big| \cdot 15 \\ 3x+30=10 $

А деление – уменьшить коэффициент в уравнении:

$ 2t+4=8|:2 \\ t+2=4 $

3. Можно раскрывать скобки и упрощать выражения в обеих частях:

$ 2(m+4)=(m+1)(m+2) \\ 2m+8=m^{2}+2m+m+2 \\ 2m+8=m^{2}+3m+2 $

Рациональные уравнения

Уравнение называется рациональным, если содержит переменную в целой степени, например, 1, 2, -5. Чаще всего встречаются следующие типы рациональных уравнений:

1. Линейные

2. Квадратные

3. Кубические

4. Уравнения высших степеней

5. Дробно-рациональные

Линейные уравнения

Линейным называется уравнение, содержащее переменную в первой степени. С помощью преобразований его можно привести к виду

$ ax=b, $ где $ a \neq 0, b $ ‒ некоторые числа.

Для решения достаточно поделить обе части равенства на $ a $:

$ x= \frac{b}{a} $

Рассмотрим пример:

$ 3(x-5)-5=-x $

1. Приведем выражение к виду $ ax=b $. Для этого раскроем скобки и соберем слагаемые, содержащие переменные, с одной стороны равенства, а не содержащие – с другой.

$ 3x-15-5=-x \rightarrow 3x-20=-x \rightarrow 3x-20+x=0 \rightarrow 4x-20=0 \rightarrow 4x=20 $

2. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

$ 4x=20 \rightarrow x=5 $

Ответ: 5

Уравнение будет линейным, даже если в нем присутствуют дроби. Главное, чтобы переменной не было в знаменателе. Рассмотрим еще один пример:

$ \frac {x}{3}-1= \frac{5}{2} $

1. Умножим обе части равенства на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, чтобы избавиться от дробей.

$ \frac {x}{3}-1= \frac{5}{2} \big| \cdot 6 \rightarrow 2x-6=15 $

2. Приведем выражение к виду $ ax=b $.

$ 2x=21 $

3. Разделим обе части равенства на коэффициент при x.

$ x=10,5 $

Ответ:10,5

Квадратные уравнения

Квадратным называется уравнение, содержащее переменную во второй степени. В общем виде оно выглядит следующим образом:

$ ax^{2} + bx+с=0, $ где $ a \neq 0, b, c $ – некоторые числа.

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта $ D=b^{2}-4ac $ по

$ \left [ \begin{array}{c}x_{1}=\frac {-b+\sqrt{D}}{2a} \\ x_{2}=\frac {-b-\sqrt{D}}{2a} \end{array} \right. $

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если же дискриминант меньше нуля, то корней нет.

Рассмотрим пример:

$ x^{2}=-x+6 $

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

$ x^{2} + x-6=0 $

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

$ D=1^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-6)=25=5^{2} $

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

$ \left [ \begin{array}{c}x_{1}=\frac {-1+5}{2} \\ x_{2}=\frac {-1-5}{2} \end{array} \right. \\ \left [ \begin{array}{c}x_{1}= 2 \;\;\; \\ x_{2}= -3 \end{array} \right. $

Ответ: 2; -3

В некоторых случаях (например, $ a=1 $ ) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

$ \begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = \frac {c}{a} \\ x_{1} + x_{2} = - \frac {b}{a} \end{cases} $

Применим эту теорему для нахождения корней уравнения $ x^{2}-5x+6=0 $

1. Составим систему:

$ \begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 6 \\ x_{1} + x_{2} = 5 \end{cases} $

2. Подберем $ x_{1}, x_{2} $ так, чтобы оба равенства выполнялись. В данном случае подходят числа $ x_{1}=2,x_{2}=3 $ .

Ответ: 2; 3

Кубические уравнения

Общий вид уравнения третьей степени представлен ниже:

$ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 $, где $ a \neq 0, b, c, d $ - некоторые числа.

Целые корни такого уравнения (в случае, если коэффициенты тоже целые) находятся среди делителей свободного члена $ d $.

У уравнения $ x^{3} -3x^{2}-4x+12=0 $ свободный член $ d=12 $. Его делителями являются числа $ \pm 1, \pm2, \pm 3, \pm 4 $. Для того, чтобы определить, какие из этих чисел являются решениями, подставим их по очереди в исходное уравнение. Если при этом получится верное равенство, то поздравляю, вы нашли корень.

Проверим: $ x=1:-1-3+4+12=12 \neq 0 $. Не является корнем.

Проверим: $ x=2:8-12-8+12=0 $. Является корнем.

Возможна ситуация, когда ни один из делителей корнем не будет. В таком случае говорят, что исходное уравнение не имеет целых решений.

После того, как будет определено хотя бы одно решение, можно понизить степень уравнения, превратив его в квадратное. Для этого разделим столбиком исходное уравнение на выражение $ (x-a) $, где $ a $ – корень.

Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком.

1. Упрощаем выражение и переносим все слагаемые влево.

2. Записываем выражения как для деления в столбик:

$ x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} $

3. Определяем выражение, на которое нужно умножить старший коэффициент в делителе, чтобы получить старший коэффициент в делимом. В данном примере это $ x^{2}$.

$ \_x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad x^{2} $

4. Умножаем на это выражение делитель и вычитаем его из делимого. «Сносим» следующее слагаемое.

$ \_x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} \\ \underline{x^{3}-2x^{2}}\qquad\qquad\quad x^{2} \\ \qquad -x^{2}-4x $

5. Повторяем процедуру до тех пор, пока не получим разность, равную 0.

$ \_x^{3}-3x^{2}-4x+12| \underline{x-2} \\ \underline{x^{3}-2x^{2}}\qquad\qquad\quad x^{2}-x-6 \\ \qquad \_-x^{2}-4x \\ \qquad\quad -x^{2}+2x \\ \qquad\qquad\qquad \_-6x+12 \\ \qquad\qquad\qquad\quad \underline{-6x+12} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad 0 $

6. -Проверяем ответ. Произведение частного и делителя должно совпасть с делимым.

$ (x-2)(x^{2}-x-6)=x^{3}-3x^{2}-4x+12 $

Корни квадратного уравнения $ x^{2}-x-6=0 $ можно определить с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$ \begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -6 \\ x_{1} + x_{2} = 1 \end{cases} \\ \begin{cases}x_{1} = 3 \\ x_{2} = 2 \end{cases}$

Значит, уравнение $ x^{3}-3x^{2}-4x+12=0 $ имеет три решения: $ x=-2, x=2, x=3 $.

Как действовать в частном случае, когда $ b=c=0 $, рассмотрим в следующем разделе.

Уравнения высших степеней

$ ax^{n}=b, a \neq 0 $

В таком уравнении переменная может содержаться в любой степени. Рассмотрим пример:

$ 6x^{3}+15=9 $

1. Соберем слагаемые, содержащие переменную с одной стороны, а не содержащие – с другой:

$ 6x^{3}=-15+9 \rightarrow 6x^{3}=-6 $

2. Упростим уравнение с помощью разрешенных преобразований:

$ 6x^{3}=-6 \rightarrow x^{3}=-1 $

3. Извлечем корень 3 степени из обеих частей равенства. Обратите внимание, что в данном случае не важно, какой знак имеет число, так как степень нечетная.

$ x=-1 $

Ответ: -1

Точно так же можно решить уравнение с любой, даже самой страшной, степенью.

$ 2x^{8}=512 $

4. Разделим обе части уравнения на 2. Чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы справа стояло неотрицательное число, так как степень переменной четная.

$ x^{8}=256 $

5. Извлечем корень 8 степени из обеих частей равенства. В силу четности степени, уравнение будет иметь два решения:

$ \left[ \begin{array}{c} x=2 \;\; \\ x=-2 \end{array} \right. $

Ответ: -2, 2

Дробно-рациональные уравнения

Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной. Поэтому может возникнуть опасная ситуация – переменная примет такое значение, что знаменатель обратиться в ноль. Чтобы этого не произошло, заранее исключим из рассмотрения нули знаменателя и определим область допустимых значений:

$ \frac {1}{x-2} = \frac {2}{x+4} \\ \begin{cases}x-2 \neq 0\\x+4 \neq 0\end{cases} \\ \begin{cases}x \neq 2\\x \neq -4\end{cases} $

То есть решением данного уравнения может быть любое число кроме 2 и -4.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения рассмотрим на примере:

$ \frac {x-3}{x-5} + \frac {1}{x} = \frac {x+5}{x(x-5)} $

1. Определим область допустимых значений:

$ \begin{cases}x-5 \neq 0\\x \neq 0 \\ x(x-5) \neq 0\end{cases} \\ \begin{cases}x \neq 5\\ x \neq 0\end{cases}$

2. Умножим обе части равенства на общий знаменатель всех дробей и сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе там, где это возможно:

$ \frac {x-3}{x-5} + \frac {1}{x} = \frac {x+5}{x(x-5)} \big| \cdot x(x-5) $

$ \frac {(x-3)x(x-5)}{x-5} + \frac {x(x-5)}{x} = \frac {(x+5)x(x-5)}{x(x-5)} $

$ (x-3)x+x=x+5 $

3. Упрощаем уравнение с помощью разрешенных преобразований:

$ x^{2}-3x+x-5=x+5 \rightarrow x^{2}-2x-5-x-5=0 \rightarrow x^{2}-3x-10=0 $

4. Определяем тип получившегося уравнения (линейное, квадратное или кубическое) и решаем подходящим методом. В данном случае получилось квадратное уравнение, причем коэффициент при $ x^{2} $ равен 1. Значит, удобно использовать теорему Виета:

$ \begin{cases}x_{1} \cdot x_{2}=-10 \\ x_{1} + x_{2}=3 \end{cases} $

Подходит пара чисел -2 и 5.

5. Исключаем те значения корней, которые обращают в ноль знаменатель, то есть не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: -2

При подстановке корней в уравнение должно получится верное равенство. Это свойство можно использовать для проверки полученных ответов.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно