Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.19. Системы уравнений

Ключевым моментом в решении систем уравнений является понимание самой сути системы. Система означает, что необходимо учитывать решения нескольких уравнений или нескольких неравенств при записи решения. То есть нужно решить. И первое, И второе уравнение/неравенство, ответом самой системы будет пересечение этих ответов.

Рассмотрим несколько простейших систем.

$ \begin{cases}x = 2\\x = 5\end{cases}\leftrightarrow \emptyset $

Решением системы являются все значения переменной, при которых выполняются все перечисленные условия. Может ли x одновременно равняться и 2, и 5? Нет, поэтому у этой системы решений нет.

Часто системы усложняются неравенствами.

$\begin{cases}x>2\\x=5\end{cases}\leftrightarrow x=5$

В этой системе требуется, чтобы x был одновременно и равен 5, и был больше 2. При каких значениях это возможно? Только при x =5.

Рассмотрим ещё одну систему:

$ \begin{cases}x > 2\\x < 5\end{cases}\leftrightarrow\emptyset$

Мы видим 2 отрезка, у которых нет пересечения, поэтому корней данная система не имеет.

Также иногда вам придётся работать с совокупностью. Совокупность предполагает вариативность: может выполняться ИЛИ то, ИЛИ другое условие.

Например:

$\begin{cases}x = 2\\x = 5\end{cases}\leftrightarrow x \in \{ 2;5 \} $

В ответ пойдут обе точки: и 2, и 5. Обратите внимание, что если у нас в ответе конечное количество точек, то их принято писать в фигурных скобочках.

$\begin{cases}x > 2\\x = 5\end{cases}\leftrightarrow x \in ( 2;=+\infty)$

Там подходят или 5, или те x, которые больше 2. Но 5 больше 2, значит, нам просто подходит промежуток от 2 до бесконечности.

$\begin{cases}x < 2\\x > 5\end{cases}\leftrightarrow x \in ( -\infty;=2 )\cup (5;+\infty) $

Здесь мы будем рассматривать объединение: если x является корнем хотя бы одного уравнения, неравенства из совокупности, значит, он уже является решением.

Но и это ещё не всё. Иногда совокупность включает в себя систему или система включает себя совокупность. Давайте посмотрим.

$\left[\begin{gathered}\begin{cases}x = 5\\x >2\end{cases} \\ \begin{cases}x = 2\\x > 5\end{cases} \end{gathered}\leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=5\\\emptyset \end{gathered}\leftrightarrow x=5 \right.\right. $

Такая ситуация называется «совокупность двух систем». То есть в ответ пойдут все x, которые удовлетворяют первой системе, и все x, которые удовлетворяют второй системе. Поэтому для того чтобы её решить, нужно сначала решить внутренние системы, а затем в ответ написать все полученные в них корни.

Следующий пример немного другой:

$ \begin{cases}x > 2\\ \left[ \begin{gathered} x =1\\x = 5 \end{gathered}\right.\end{cases}\leftrightarrow x = 5\leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases}x = 1\\x >2\end{cases} \\ \begin{cases}x = 5\\x > 2\end{cases} \end{gathered}\leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \emptyset\\ x=5 \end{gathered}\leftrightarrow x=5 \right.\right. $

Итак, у нас есть система. Это означает, что должно выполняться 2 условия:

1. x должен быть больше 2.

2. x должен быть равен либо 1, либо 5.

В таких случаях необходимо рассмотреть каждый корень из второго условия на соответствие первому, то есть перейти к совокупности двух систем.

Методы решения систем

Существует несколько основных методов решения систем:

1. Метод подстановки

2. Метод алгебраического сложения

3. Графический метод решения

4. Метод замены переменной

Рассмотрим их на примере следующей системы:

$ \begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}$

Метод подстановки

1. Выразим y через x из первого уравнения.

$\begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}-2y=8-5x\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2, 5x\\3x+ 5y=11\end{cases} $

2. Подставим данное выражение вместо y во второе уравнение и решим данное уравнение.

$ \begin{cases}y=-4+2,5x\\3x+ 5\cdot (-4+2,5x)\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5x\\3x-20+12,5x=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5x\\15,5x=31\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5x\\x=2\end{cases} $

3. Подставим найденное значение x в первое уравнение и найдём y.

$\begin{cases}y=-4+2,5x\\x=2\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5\cdot 2\\x=2\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}$

4. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Метод алгебраического сложения

1. Приведём к такому виду, когда перед одной из переменных в уравнениях стоят равные по модулю коэффициенты, но с противоположными знаками. Например, домножим первое уравнение на 5, а второе – на 2.

$\begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}25x-10y=40\\6x+ 10y=22\end{cases}$

2. Сложим первое уравнение и второе и запишем эту сумму на месте первого уравнения. Второе уравнение оставим неизменным.

$ \begin{cases}25x-10y=40\\6x+ 10y=22\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}25x-10y+6x+10y=40+22\\6x+ 10y=22 \end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}31x=62\\6x+ 10y=22\end{cases} \leftrightarrow\begin{cases}x=2\\6x+ 10y=22\end{cases}$

3. Подставим найденное значение x во второе уравнение и найдём y.

$\begin{cases}x=2\\6x+ 10y=22\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}x=2\\6\ \cdot 2+ 10y=22\end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$

4. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Графический метод решения

1. Выразим y через x, чтобы к виду уже известных нам функций.

$ \begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}-2y=8-5x\\5y=-3+11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=2,5x-4\\y=-0,6x+2,2\end{cases}$

2. Рассмотрим две функции и построим их графики:

$y_1(x)=2,5x-4 \\ y_2(x)=-0,6x+2,2$

3. Найдём точку пересечения графиков. Видим, что это точка с координатами (2;1).

4. Подставим координаты точки в уравнение и проверим, что равенство выполняется.

$\begin{cases}5 \cdot 2-2\cdot1=8\\3\cdot2+5\cdot1=11\end{cases} \leftrightarrow\begin{cases}8=8\\11=11\end{cases}$

5. Проанализируем монотонность и докажем, что других решений нет.

Функция $y_1(x)=2,5x-4$ монотонно возрастающая.

Функция $y_2(x)=-0,6x+2,2$ монотонно убывающая.

Значит, они имеют только одну точку пересечения. Тогда найденная точка является единственным решением.

6. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Метод замены переменной

Представим, что вместо изначальной системы мы решаем систему вида:

$\begin{cases}5 \sqrt{a}-2\sqrt{b}=8\\3\sqrt{a}+5\sqrt{b}=11\end{cases}$

1. Сделаем замену переменных.

Пусть $\sqrt{a}=x,\sqrt{b}=y, x\geq0, y\geq0$ .

2. Перепишем систему с новыми переменными.

$ \begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}$

3. Решим систему любым удобным способом.

Получаем ответ (2;1).

4. Вернёмся к исходным переменным.

$\begin{cases}\sqrt{a}=2\\\sqrt{b}=1\end{cases} \leftrightarrow\begin{cases}a=4\\b=1\end{cases}$

5. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Таким образом можно решить любое сложное уравнение, если увидеть повторяющиеся элементы и правильно их заменить.

При решении сложных систем уравнений важно мысленно попробовать все способы, чтобы сразу определить наиболее быстрый и правильный путь решения.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно