Ключевым моментом в решении систем уравнений является понимание самой сути системы. Система означает, что необходимо учитывать решения нескольких уравнений или нескольких неравенств при записи решения. То есть нужно решить. И первое, И второе уравнение/неравенство, ответом самой системы будет пересечение этих ответов.

Рассмотрим несколько простейших систем.

$ \begin{cases}x = 2\\x = 5\end{cases}\leftrightarrow \emptyset $

Решением системы являются все значения переменной, при которых выполняются все перечисленные условия. Может ли x одновременно равняться и 2, и 5? Нет, поэтому у этой системы решений нет.

Часто системы усложняются неравенствами.

$\begin{cases}x>2\\x=5\end{cases}\leftrightarrow x=5$

В этой системе требуется, чтобы x был одновременно и равен 5, и был больше 2. При каких значениях это возможно? Только при x =5.

Рассмотрим ещё одну систему:

$ \begin{cases}x > 2\\x < 5\end{cases}\leftrightarrow\emptyset$

Мы видим 2 отрезка, у которых нет пересечения, поэтому корней данная система не имеет.

Также иногда вам придётся работать с совокупностью. Совокупность предполагает вариативность: может выполняться ИЛИ то, ИЛИ другое условие.

Например:

$\begin{cases}x = 2\\x = 5\end{cases}\leftrightarrow x \in \{ 2;5 \} $

В ответ пойдут обе точки: и 2, и 5. Обратите внимание, что если у нас в ответе конечное количество точек, то их принято писать в фигурных скобочках.

$\begin{cases}x > 2\\x = 5\end{cases}\leftrightarrow x \in ( 2;=+\infty)$

Там подходят или 5, или те x, которые больше 2. Но 5 больше 2, значит, нам просто подходит промежуток от 2 до бесконечности.

$\begin{cases}x < 2\\x > 5\end{cases}\leftrightarrow x \in ( -\infty;=2 )\cup (5;+\infty) $

Здесь мы будем рассматривать объединение: если x является корнем хотя бы одного уравнения, неравенства из совокупности, значит, он уже является решением.

Но и это ещё не всё. Иногда совокупность включает в себя систему или система включает себя совокупность. Давайте посмотрим.

$\left[\begin{gathered}\begin{cases}x = 5\\x >2\end{cases} \\ \begin{cases}x = 2\\x > 5\end{cases} \end{gathered}\leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=5\\\emptyset \end{gathered}\leftrightarrow x=5 \right.\right. $

Такая ситуация называется «совокупность двух систем». То есть в ответ пойдут все x, которые удовлетворяют первой системе, и все x, которые удовлетворяют второй системе. Поэтому для того чтобы её решить, нужно сначала решить внутренние системы, а затем в ответ написать все полученные в них корни.

Следующий пример немного другой:

$ \begin{cases}x > 2\\ \left[ \begin{gathered} x =1\\x = 5 \end{gathered}\right.\end{cases}\leftrightarrow x = 5\leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases}x = 1\\x >2\end{cases} \\ \begin{cases}x = 5\\x > 2\end{cases} \end{gathered}\leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \emptyset\\ x=5 \end{gathered}\leftrightarrow x=5 \right.\right. $

Итак, у нас есть система. Это означает, что должно выполняться 2 условия:

1. x должен быть больше 2.

2. x должен быть равен либо 1, либо 5.

В таких случаях необходимо рассмотреть каждый корень из второго условия на соответствие первому, то есть перейти к совокупности двух систем.

Методы решения систем

Существует несколько основных методов решения систем:

1. Метод подстановки

2. Метод алгебраического сложения

3. Графический метод решения

4. Метод замены переменной

Рассмотрим их на примере следующей системы:

$ \begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}$

Метод подстановки

1. Выразим y через x из первого уравнения.

$\begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}-2y=8-5x\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2, 5x\\3x+ 5y=11\end{cases} $

2. Подставим данное выражение вместо y во второе уравнение и решим данное уравнение.

$ \begin{cases}y=-4+2,5x\\3x+ 5\cdot (-4+2,5x)\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5x\\3x-20+12,5x=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5x\\15,5x=31\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5x\\x=2\end{cases} $

3. Подставим найденное значение x в первое уравнение и найдём y.

$\begin{cases}y=-4+2,5x\\x=2\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=-4+2,5\cdot 2\\x=2\end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}$

4. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Метод алгебраического сложения

1. Приведём к такому виду, когда перед одной из переменных в уравнениях стоят равные по модулю коэффициенты, но с противоположными знаками. Например, домножим первое уравнение на 5, а второе – на 2.

$\begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}25x-10y=40\\6x+ 10y=22\end{cases}$

2. Сложим первое уравнение и второе и запишем эту сумму на месте первого уравнения. Второе уравнение оставим неизменным.

$ \begin{cases}25x-10y=40\\6x+ 10y=22\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}25x-10y+6x+10y=40+22\\6x+ 10y=22 \end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}31x=62\\6x+ 10y=22\end{cases} \leftrightarrow\begin{cases}x=2\\6x+ 10y=22\end{cases}$

3. Подставим найденное значение x во второе уравнение и найдём y.

$\begin{cases}x=2\\6x+ 10y=22\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}x=2\\6\ \cdot 2+ 10y=22\end{cases}\leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}$

4. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Графический метод решения

1. Выразим y через x, чтобы к виду уже известных нам функций.

$ \begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}-2y=8-5x\\5y=-3+11\end{cases}\leftrightarrow \begin{cases}y=2,5x-4\\y=-0,6x+2,2\end{cases}$

2. Рассмотрим две функции и построим их графики:

$y_1(x)=2,5x-4 \\ y_2(x)=-0,6x+2,2$

3. Найдём точку пересечения графиков. Видим, что это точка с координатами (2;1).

4. Подставим координаты точки в уравнение и проверим, что равенство выполняется.

$\begin{cases}5 \cdot 2-2\cdot1=8\\3\cdot2+5\cdot1=11\end{cases} \leftrightarrow\begin{cases}8=8\\11=11\end{cases}$

5. Проанализируем монотонность и докажем, что других решений нет.

Функция $y_1(x)=2,5x-4$ монотонно возрастающая.

Функция $y_2(x)=-0,6x+2,2$ монотонно убывающая.

Значит, они имеют только одну точку пересечения. Тогда найденная точка является единственным решением.

6. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Метод замены переменной

Представим, что вместо изначальной системы мы решаем систему вида:

$\begin{cases}5 \sqrt{a}-2\sqrt{b}=8\\3\sqrt{a}+5\sqrt{b}=11\end{cases}$

1. Сделаем замену переменных.

Пусть $\sqrt{a}=x,\sqrt{b}=y, x\geq0, y\geq0$ .

2. Перепишем систему с новыми переменными.

$ \begin{cases}5x-2y=8\\3x+ 5y=11\end{cases}$

3. Решим систему любым удобным способом.

Получаем ответ (2;1).

4. Вернёмся к исходным переменным.

$\begin{cases}\sqrt{a}=2\\\sqrt{b}=1\end{cases} \leftrightarrow\begin{cases}a=4\\b=1\end{cases}$

5. Ответ запишем парно.

Ответ: (2; 1).

Таким образом можно решить любое сложное уравнение, если увидеть повторяющиеся элементы и правильно их заменить.

При решении сложных систем уравнений важно мысленно попробовать все способы, чтобы сразу определить наиболее быстрый и правильный путь решения.